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河北省沙河市第一中学高二数学《常用逻辑用语》课件



第一章

常用逻辑用语 复习

本章小结

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假 的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题,判断为假 的语句称为假命题. 命题的形式:“若P, 则q”

也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式
通常,我们把这种

形式的命题中的P叫做命 题的条件,q叫做结论. p? q 记做:

一个符号

二、 四 种 命 题

条件P的否定,记作“?P”。读作“非 P”。

原命题: 则q 若p 逆命题: 则p 若q

否命题:若? p 则? q
逆否命题:若? q 则? p

结论1:要写出一个命题的另外三个命 题关键是分清命题的题设和结论(即 把原命题写成“若P则Q”的形式) 注意:三种命题中最难写 的是否命题。 结论2:(1)“或”的否定为“且”, (2)“且”的否定为“或”, (3)“都”的否定为“不 都”。

三、四种命题形式及其关系
原命题 若p,则q 互 否 否命题 若? p,则? q 互逆 互为逆否 逆命题 若q,则p

同真同假
互逆

互 否
逆否命题 若? q,则? p

注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.

反证法
反证法的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理 论证,得出矛盾; (3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确。
反设

归谬 结论

练习一: 1. 有下列四个命题: ①“ 若 | x |? 3 ,则 x ? 3或 x ? ? 3 ”的逆命题; ②命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 “a+b 不是偶数,则 a、b 都不是偶数”; ③若有命题 p:7≥7,q:ln2>0, 则 p 且 q 是真命题; ④若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定是真. 其 中真命题为( D ) (A)①④ (B)②③ (C)②④ (D)③④ 2. 命题: “若 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x≠–1 且 x≠2” 的否命题是_______.

若x

2

?x?2?0

3. 已知 x , y ? R ,且 x ? y ? 2 ,求证: x , y 中至少有一个大于 1.

, 则x

? ?1 或 x ? 2

.

3.已知 x , y ? R ,且 x ? y ? 2 , 大于 1.

求证: x , y 中至少有一个

法一:假设 x , y 均不大于 1,即 x ≤ 1且 y ≤ 1, 则 x ? y ≤ 2 ,这说明原命题的逆否命题成立 ∴原命题成立.

法二:假设 x , y 均不大于 1,即 x ≤ 1且 y ≤ 1, 则 x ? y ≤ 2 ,这与已知条件 x ? y ? 2 矛盾 ? x, y 中至少有一个大于 1

§1.2

充分条件与必要条件

? §1.2.1充分条件与必要条件 ? 1.定义: ? (1)当“若p则q”形式的命题为真时,记作p ? q ,称 p是q的充分条件,q是p的必要条件. ? (2)当“若p则q”形式的命题为假时,记作p? q ,称 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. ? 2.判断方法: ? (1)利用逆否命题的等价性. ? (2)利用集合关系:A={x|x满足条件p},B={x|x满足条 件q}. ? ①若A ? B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. ? ②若B ? A,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. ? ③若A=B,则p是q(q是p)的充分且必要条件.

§1.2.2
? 1.定义:

充要条件

? 一般地,如果既有p ? q ,又有q ? p,记作p ? q ,称p是q的充要条件,显然q也是p的充要条件. ? 2.判定方法:

? (1)如果若p则q、若q则p都是真命题,p就是q 的充要条件,否则不是.
? (2)若条件p的集合A,条件q的集合B满足A=B, 则p是q的充要条件,否则不是. ? 3.充要条件的证明: 证充分性和必要性

? 【例 】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的的 充要条件是a-b+ c=0.

? 【证明】 ? ①充分性:∵a-b+c=0 即 a?(-1)2+b?(-1)+c=0 ? ∴-1是ax2+bx+c=0的一个根. ? ②必要性: ∵ ax2+bx+c=0有一个根是-1

? ∴ a?(-1)2+b?(-1)+c=0,即 a-b+ c=0.
? 由①②知ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+

c=0.

各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件

2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:
1)A B且B B且B B且B B且B A,则A是B的
充分非必要条件

2)若A 3)若A 4)A

A,则A是B的
必要非充分条件

A,则A是B的
既不充分也不必要条件

A,则A是B的
充分且必要条件

3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件
设 : A ? { x | x满 足 条 件 p } B ? { x | x满 足 条 件 q }
1 ) 若 A ? B 且 B ? A, 则 称 p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 2 ) 若 A ? B 且 B ? A, 则 称 p 是 q 的 必 要 不 充 分 条 件
1) 2) A A

B

B

3 ) 若 A ? B 且 B ? A, 那 么 p 是 q 的 既 不 充 分 也 不 必 要 件

4 ) 若 A ? B 且 B ? A, 既 A = B , 则 称 p 是 q 的 充 要 条 件

A

B

A =B

3 )

4 )

注意点
1.在判断条件时,要特别注意的是它们能否互相 推出,切不可不加判断以单向推出代替双向推出. 2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间 的区别与联系; ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间 的区别与联系

3、注意几种方法的灵活使用: 定义法、集合法、逆否命题法

练习1
1、填写“充分不必要,必要不充分,充要, 既不充分又不必要。
既不充分又不必要 1)sinA>sinB是A>B的___________条件。

2)在ΔABC中,sinA>sinB是 A>B的
充要条件 ________条件。

注、定义法(图形分析)

2、a>b成立的充分不必要的条件是( D ) A. ac>bc B. a/c>b/c C. a+c>b+c D. ac2>bc2 3.关于x的不等式:|x|+|x-1|>m的 解集为R的充要条件是( C ) (A)m<0 (C)m<1 (B)m≤0 (D)m≤1

练习2、
1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或 x∈N”是“x∈M∩N”的 B

A.充要条件
C充分不必要

B必要不充分条件
D不充分不必要

注、集合法
2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是 A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2

A

练习3、
1.已知P:|2x-3|>1;q:1/(x2+x-6)>0, 则┐p是┐q的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2、已知p:|x+1|>2,q:x2<5x-6, 则非p是非q的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

集合法与转化法

我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.

1.3.1 逻辑联结词 或、且、非

一般地,用逻辑联结词”且” 把命题p和命题q联结起来.就得 到一个新命题,记作

p?q
读作”p且 q”.

规定:当p,q都是真命题时, p ? q 是 真命题;当p,q两个命题中有一个命 题是假命题时, p ? q 是假命题.
全真为真,有假即假.
p q

一般地,用逻辑联结词”或”把 命题p和命题q联结起来.就得到一个 新命题,记作

p?q

规定:当p,q两个命题中有一个是真命题
p ? q 是真命题;当p,q两个命题中都是 时,

p ? q 是假命题. 假命题时,

当p,q两个命题中有一个是真命 题时, p ? q 是真命题;当p,q两个命 p?q 题都是假命题时, 是假命题.
开关p,q的闭合 对应命题的真假, 则整个电路的接 通与断开分别对 应命题 p ? q 的真与假.
p

q

一般地,对一个命题p全盘否定,就得 到一个新命题,记作

?p
读作”非p”或”p的否定” 若p是真命题,则 ? p 必是假命题;若 p是假命题,则 ? p 必是真命题.

特别注意对一些词语的否定
词语
等于 大于 小于 是

否定
不等于 不大于 不小于 不是

词语
任意的 所有的 且 都是

否定
某个 某些 或 不都是

至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个 至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个

“非 p”─ p 的全盘否定.特别注意!

§1.4 全称量词与存在量词
? 1、全称命题—含有全称量词的命题;

? 2、全称量词的种类:
? “ 对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、 “对每一个”、“任给”、“所有的”等;

? 3、全称命题的表示形式: x∈M,p(x). ? 4、全称命题的判定:

?

要对M中每一个元素x,证明p(x)成立;如果 在M中找到一个x0,使p(x0)不成立,则这个全称 命题为假命题.

? 1、特称命题—含有存在量词的命题; ? 2、存在量词的种类: ? “ 存在一个”、“至少有一个”、“有些”、 “有一个”、“对某个”、“有的”等; ? 3、特称命题的表示形式: x∈M,p(x). ? 4、特称命题的判定: ? 只需在M中找到一个元素x0 ,使p(x0)成立即可; 如果在M中,使p(x)成立的元素x不存在,则这个 特称命题为假命题.

? 【例 1】用符号“ ”与“ ”表示下面含有量 词的命题. ? (1)不等式|x-1|+|x-2|<3有实数解; ? (2)若a,b是偶数,则a+b也是偶数. ? 【解】 (1) x∈R,使|x-1|+|x-2|<3. ? (2) a,b ∈R,且a,b为偶数, 有a+b为偶数.

1.4.3 含有一个量词的命题的否定
? 1、命题p的否定即“非p”;全称命题的否定是特 称命题,反之亦然: ? (1)命题p: x∈M,p(x). ? 它的否定﹁ p: x∈M,﹁ p(x). ? (2)命题p: x∈M,p(x). ? 它的否定﹁ p: x∈M,﹁ p(x).

? 2、命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两 个不同的概念,对命题的否定是否定命题所作的 判断,而“否命题”是对“若则”的形式的命题 而言,既要否定条件也要否定结论.



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