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极坐标与参数方程测试(解析)



极坐标与参数方程测试

3? )化为直角坐标为( ) 2 A. (0,2) B. (0,-2) C. (2,0) D. (-2,0) 【答案】B 【解析】

1.将极坐标(2,

试题分析: x ? 2cos

3? 3? ? 0, y ? 2sin ? ?2 ,所以选 B. 2 2

/>考点:极坐标化为直角坐标 2.在极坐标中,与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线方程为( ) A. ? sin ? ? 2 【答案】B 【解析】 试题分析: 将极坐标方程化为直角坐标方程得:圆 ? ? 4sin ? ? ? 2 ? 4? sin ? 的直角 坐标方程: x 2 ? y 2 ? 4 y 化为标准方程得 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 知其圆心为 (0, 2)半径为 2.对于 A: ? sin ? ? 2 ? y ? 2 ; 对于 B: ? cos ? ? 2 ? x ? 2 ;对于 C: ? cos ? ? 4 ? x ? 4 ;对于 D: ? cos ? ? ?4 B. ? cos ? ? 2 C. ? cos ? ? 4 D. ? cos ? ? ?4

? x ? ?4 ;作出草图知只有直线 x ? 2 与已知圆相切;故选 B.
考点:极坐标方程. 3.在直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴且单位长度相同建立极 坐标系,

? x ? 4 ? 2sin ? ? 2 ? y ? ?2 ? 2cos ? ( ? 为参数)与曲线 ? ? 4? cos? ? 21 的交点个数为(
A.0 B.1 【答案】A 【解析】 C.2 D. 3



试题分析:参数方程化为普通方程为 ? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 ,圆心为 ? 4, ?2 ? ,半径为
2 2

r1 ? 2 ,曲线极坐标方程化直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 25 ,圆心为 ? 2, 0? ,半径
2

r2 ? 5 ,所以圆心距 d ? 22 ? 22 ? 2 2 ? r2 ? r1 ,所以两圆内含,无交点
考点:1.参数方程与极坐标方程;2.两圆的位置关系 4. 若曲线 ? 的值为(

? x ? 2 ? t sin 300 ? ( t 为参数) 与曲线 ? ? 2 2 相交于 B , C 两点, 则 | BC | 0 ? ? y ? ?1 ? t sin 30
) .

试卷第 1 页,总 9 页

A. 2 7 【答案】D 【解析】

B. 60

C. 7 2

D. 30

? x ? 2 ? t sin 30 0 ? 试题分析:将直线 ? 化为普通方程为 x ? y ? 1 ,曲线 ? ? 2 2 的直角 0 ? ? y ? ?1 ? t sin 30
坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 8 ;圆心到直线的距离 d ?

?1 2

?

2 ,根据圆中特殊三角形,则 2

BC ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 8 ?

1 ? 30 ,故选 D. 2

考点:直线的参数方程,圆的极坐标方程,直线被圆截得的弦长问题.

1 ? x ? 1- t ? 2 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点 5.直线 ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
坐标为( A. (3, ?3) 【答案】D. 【解析】 试题分析:消去 t ,得直线的普通方程为 ) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3)

3x ? y ? ?2 3 ,设 AB 的中点坐标为

? 3 x0 ? y0 ? ?2 3 ? ? ? x0 ? 3 ,解得 ,故选 D. M ?x0 , y0 ? ,则 ? y ? 3 0 ? ? y0 ? ? 3 ? ? 3 ? x0
考点:1.直线的参数方程;2.直线与圆的位置关系. 6.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标 系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是 ?

? x ? t ?1 , (t 为参数) ,圆 C 的极坐 ?y ? t ?3
) D. 2 2

标方程是 ? ? 4cos? 则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 【答案】D 【解析】 B. 2 14

C. 2

2 试题分析:直线的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,圆的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 , 2

圆心到直线的距离 d ?

2?4

?l? ? 2 ?? ? ? d 2 ? r 2 ?l ? 2 2 2 ? 2?

2

考点:1.参数方程化普通方程;2.极坐标与直角坐标的转化;3.直线与圆相交的弦 长问题
试卷第 2 页,总 9 页

7.在同一坐标系中,将曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是(
' ? ? x ? 3x A.? ' ? ?y ? 2y
' ? ? x ? 3x B.? ' ? ?y ? 2y



? x ' ? 3x ? C.? ' 1 ?y ? y 2 ?

? x ? 3x ' ? D.? 1 ' ?y ? y 2 ?

【答案】C 【解析】 试题分析:曲线 y ? 2 sin 3x 变为曲线 y ? sin x 需将横坐标扩大为原来的 3 倍,纵坐标缩 小为原来的

1 2

? x ' ? 3x ? 因此 ? 1 ' ?y ? y ? 2
考点:图像伸缩变化 8.曲线 ? A.

? x ? 5 cos? ( ? 为参数)的离心率是 ( ? y ? 4 sin ?
B. 5
5

) D. 3
4

4 5

C. 3
5

【答案】C 【解析】 试题分析:参数方程化普通方程 考点:椭圆参数方程与性质 9.设 P ? x, y ? 是曲线 C : ? 的取值范围是() A. ? ? 3, 3 ?

x2 y 2 c 4 ? ? 1 ? a ? 5, b ? 4 , e ? ? a 5 25 16

? x ? ?2 ? cos? y ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? )上任意一点,则 x ? y ? sin ?
B. ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

?

?

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D. ? ??, ?

? ? ?

? 3? ? 3 ? ? ? , ?? ? ? 3 ? ? 3 ?

【答案】C 【解析】

? x ? ?2 ? cos? C:? ? y ? sin ? ( ? 为 参 数 , 0 ? ? ? 2? ) 的 普 通 方 程 为 : 试题分析:曲线

? x ? 2?

2

? y 2 ? 1, P ? x, y ?

是曲线

C : ? x ? 2? ? y2 ? 1
2

y 上任意一点,则 x 的几何意义就

是圆上的点与坐标原点连线的斜率, 如图:
试卷第 3 页,总 9 页

y ? 3 3? ? ?? , ? x ? 3 3 ? .
故选 C.

考点:1.直线与圆的位置关系;2.直线的斜率;3.圆的参数方程. 10.直线 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ?t
B.



12 5

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

【答案】B 【解析】 试题分析:消参得 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,圆心到直线的距离为 d ?

3 5

,弦长公式等于

l ? 2 r2 ? d 2 ?

12 5, 5

考点:1.参数方程与普通方程的转化;2.圆的弦长公式.

11.在极坐标系中,极点为 O ,曲线 C1 : ? ? 6sin? 与曲线 C2 : ? sin(? ? 则曲线 C1 上的点到曲线 C2 的最大距离为 【答案】 3 ? 【解析】 试题分析: 由于曲线 C1 : ? ? 6sin ? 与曲线 C2 : ? sin(? ?
2 2 2 2

? )? 2 , 4



2 2
? ) ? 2 化为直角坐标方程分 4
2

别 为 C1 : ? ? 6? s i n 为圆心 ?? x ? y ? 6 y ? x ? (y ? 3) ?, 9是 以 C1 ( 0, 3)

r ? 3 为半径的圆,

C2 : ? sin ? ? ? cos? ? 2 ? x ? y ? 2 ? 0 是直线;
由于圆心 C1 (0,3) 到直线 C2 的距离为 d ?

0?3? 2 1 ?1
2 2

?

2 , 2

故知曲线 C1 上的点到曲线 C2 的最大距离为 3 ?

2 . 2

试卷第 4 页,总 9 页

故答案为: 3 ?

2 . 2

考点:1.极坐标方程;2.点到直线的距离. 12.极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ? 【答案】1 【解析】
2 试题分析:将圆和直线的极坐标转化为直角坐标后的方程为 x ? ? y ? 2 ? ? 4, y ? 3 x , 2

?
3

(? ? R ) 的距离是



结合图形可知圆心 ? 0, 2 ? 到直线的距离为 1 考点:1.直角坐标与极坐标的转化;2.点到直线的距离 13.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? x ? ?2 ? t 过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为 ? (t 为 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) . ? y ? ?4 ? t
参数) .设直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点.若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列,则

a 的值为________.
【答案】1 【解析】 试题分析: 曲线 C : ? sin2 ? ? 2a cos? (a ? 0),则 ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? ,所以可得直角坐标系 方程为 y ? 2ax ,
2

将直线的参数方程代入抛物线方程得: t ? (8 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0
2

t1 ? t2 ? 8 ? 2a, t1 ? t2 ? 16 ? 4a


| PM |,| MN |,| PN |
2


2 |P ?






2









|M

? N|

|P

1

? M|

2

N| 1? ,

t 2,? (

1

t? t

2

)

t?

1

(

2

t

)t

4t

2 化简得 (4 ? a) ? 5(4 ? a) 又因为 a ? 0或a ? ?4 ,所以 a ? 1 .

考点:化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题.

14.已知两曲线参数方程分别为 ?

3 2 ? ? ? x ? 3 cos? ?x ? t (0 ? ? ? ? ) 和 ? 2 (t ? R) ,它们 y ? sin ? ? ? ? ?y ? t

的交点坐标为_____. 【答案】 (1, 【解析】

6 ) 3

试卷第 5 页,总 9 页

x2 3 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1, ? 3 ? x ? 3) 及 x ? y 2 , 试题分析:由题意得两曲线方程为 2 3 x2 2 2 6 ? x ?1? x ? 1 或x ? ?(舍) 3 因此 , y 2 ? , y ? (负舍) ,交点坐标为 3 3 3 3
(1, 6 ) 3

考点:参数方程化普通方程

15.在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cosθ +sinθ 和直线 l: (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标. 【答案】 (1)x﹣y+1=0. (2)



【解析】 2 试题分析: (1)圆 O 的方程即 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ ,可得圆 O 的直角坐标方程为: 2 2 2 2 x +y =x+y,即 x +y ﹣x﹣y=0. (2)由 ,可得直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为(0,1) ,由此

求得线 l 与圆 O 公共点的极坐标. 2 解: (1)圆 O:ρ =cosθ +sinθ ,即 ρ =ρ cosθ +ρ sinθ , 2 2 2 2 故圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y ﹣x﹣y=0. 直线 l: y﹣x=1,即 x﹣y+1=0. (2)由 1) , 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 . ,可得 ,直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为(0, , 即 ρ sinθ ﹣ρ cosθ =1, 则直线的直角坐标方程为:

考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系. 16.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)在曲线 C 上求一点 D ,使它到直线 l : ? 距离最短,并求出点 D 的直角坐标.

? x ? 3t ? 3, ? ( t 为参数, t ? R )的 ? ? y ? ?3t ? 2

试卷第 6 页,总 9 页

2 【答案】 (Ⅰ) x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (或 x ? ? y ? 1? ? 1 ) ; (Ⅱ) ? 2

? 3 3? ? 2 ,2? ?. ? ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先两边同乘 ? 得 ? 2 ? 2? sin ? ,再利用 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? sin ? ? y 可 得曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)先消去 t 可得直线 l 的普通方程,再设点 D 的坐标,利 用垂直可得 x0 ,进而检验可得点 D 的坐标. 试题解析: (Ⅰ)解:由 ? ? 2 sin ? , ? ??0, 2?? , 可得 ? 2 ? 2? sin ? . 因为 ? 2 ? x2 ? y 2 , ? sin ? ? y ,
2 所以曲线 C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (或 x ? ? y ? 1? ? 1 ) . 2

(Ⅱ)解法一:因为直线的参数方程为 ?

? ? x ? 3t ? 3, ( t 为参数, t ? R ) , ? ? y ? ?3t ? 2

消去 t 得直线 l 的普通方程为 y ? ? 3x ? 5 .
2 因为曲线 C : x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 2

设点 D ? x0 , y0 ? ,且点 D 到直线 l : y ? ? 3x ? 5 的距离最短, 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l : y ? ? 3x ? 5 平行. 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 ? 1 ,即
2 因为 x0 ? ? y0 ? 1? ? 1 , 2

y0 ? 1 ? ? 3 ? ?1. x0

?

?

解得 x0 ? ?

3 3 或 x0 ? . 2 2
? ? ? 3 1? ? 3 3? , ?或? ,? ? ?. 2 2? ? ? 2 2?

所以点 D 的坐标为 ? ?

由于点 D 到直线 y ? ? 3x ? 5 的距离最短, 所以点 D 的坐标为 ?

? 3 3? ?. ? 2 , 2? ? ? ? x ? 3t ? 3, ? ( t 为参数, t ? R ) , ? ? y ? ?3t ? 2

解法二:因为直线 l 的参数方程为 ?

试卷第 7 页,总 9 页

消去 t 得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 0 .
2 因为曲线 C x ? ? y ? 1? ? 1 是以 G ?0,1? 为圆心,1 为半径的圆, 2

因为点 D 在曲线 C 上,所以可设点 D ? cos ?,1 ? sin ? ? ? ? ? 0, 2? ? .

?

?

所以点 D 到直线 l 的距离为 d ?

3 cos ? ? sin ? ? 4 2

?? ? ? 2 ? sin ? ? ? ? . 3? ?
因为 ? ??0, 2?? ,所以当 ? ? 此时 D ? ?

? 时, dmin ? 1 . 6

? 3 3? ? 3 3? ,所以点 D 的坐标为 ? ,? ?. ? ? 2 , 2? ? 2 2? ? ?

考点:1、极坐标方程与直角坐标方程的互化;2、参数方程与普通方程的互化. 17.已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?4t ? a ( t 为参数),在直角坐标系 xOy 中,以 O 点 y ? 3 t ? 1 ?

为极点, x 轴的非负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆 M 的方程为

? 2 ? 6? sin ? ? ?8 .
(1)求圆 M 的直角坐标方程; (2)若直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,求实数 a 的值.
2 2 【答案】 (1) x ? ( y ? 3) ? 1; (2) a ?

37 9 或a ? . 6 2

【解析】 试题分析: (1)利用 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 即可将极坐标方程化为直角坐标方程; (2)将直线 l 的参数方程化为普通方程,结合(1)中所得的圆的方程,再利用点到直 线距离公式即可求解. 试题解析: (1) ∵ ? ? 6? ∴圆 M i s n ? ? ?8 ? x ? y ? 6 y ? ? 8 ?x ( ? y 3? ) ? 1 ,
2 2 2 2 2

的直角坐标方程为 x ? ( y ? 3) ? 1; (2)把直线 l 的参数方程 ?
2 2

? x ? ?4t ? a ( t 为参数) ? y ? 3t ? 1

化为普通方程得: 3x ? 4 y ? 3a ? 4 ? 0 ,∵直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,且圆 M 的 圆心 M (0,3) 到直线 l 的距离 d ?

37 |16 ? 3a | 3 1 9 ,∴ ? 12 ? ( )2 ? ? a ? 或 a ? 6 5 2 2 2

a?

37 9 或a ? . 6 2

考点:1.导数的运用;2.分类讨论的数学思想.

试卷第 8 页,总 9 页

18.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ρ (sinθ + )=3

(φ 为参数) .以 O 为极点,

,射线 OM:θ =

与圆 C

的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 【答案】 (Ⅰ)ρ =2cosθ , (Ⅱ)2 【解析】 试题分析: (I)圆 C 的参数方程
2 2

(φ 为参数) .消去参数可得: (x﹣1)

+y =1.把 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 代入化简即可得到此圆的极坐标方程. )=3 ,射线 OM:θ = .可得

(II)由直线 l 的极坐标方程是 ρ (sinθ + 普通方程:直线 l ,射线 OM 利用两点间的距离公式即可得出. 解: (I)圆 C 的参数方程

.分别与圆的方程联立解得交点,再
2 2

(φ 为参数) .消去参数可得: (x﹣1) +y =1.

把 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 代入化简得:ρ =2cosθ ,即为此圆的极坐标方程. (II)如图所示,由直线 l 的极坐标方程是 ρ (sinθ + )=3 ,射线 OM: θ = . ,射线 OM .

可得普通方程:直线 l

联立

,解得

,即 Q



联立

,解得





∴P ∴|PQ|=

. =2.

考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系.

试卷第 9 页,总 9 页



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