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高一数学上册教案



高一数学(上册) 高一数学(上册)
教 案

编写:洪其强 编写: 执教: 执教:洪其强

二 00 四年八月

课题: 课题:2.1 映射
教学目的: 知识目标: (1)了解映射的概念及表示方法;(2)了解象与原象的概念;(3)会结合简单 的图示,了解一一映射的概念 能力目标: (1)重视基础知识

的教学、基本技能的训练和能力的培养; (2)启发学生能够 发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题; (3)通过教师指导发 现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 德育目标:激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意 志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。 教学重点:映射的概念 教学难点:映射的概念 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教学过程: 复习引入: 一、复习引入: 1°第一章学习了集合的有关知识,主要有元素与集合之间的表示方法,即属于或不属于; 两个集合之间的关系,即包含或不包含 2°初中我们学过对应,例如:①对于任何一个实数 a ,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; ②对于坐标平面内的任何一个点 A,都有唯一的一个有序实数对 ( x , y ) 和它对应;③对于任何一 个三角形,都有唯一的一个确定的面积和它对应;这一节我们将学习一种特殊的对应——映射 讲授新课: 二、讲授新课: (一) 映射的概念:看下面的例子 设 A,B 分别是两个集合,为简明起见,设 A,B 分别是两个有限集

说明: (3) (2) (4)这三个对应的共同特点是:对于左边集合 A 中的任何一个元素,在 右边集合 B 中都有唯一的元素和它对应。 映射:设 A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f,对于集合 A 中的任何一个元素, 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f) 叫做集合 A 到集合 B 的映射。记作: f : A → B 指出: (3) (2) (4)这三个对应都是集合 A 到集合 B 的映射;

考虑: (1)为什么不是集合 A 到集合 B 的映射? 考虑: 如果元素 a 和元素 b 对 原象: 给定一个集合 A 到集合 B 的映射, a ∈ A, b ∈ B , 且 象、 原象: 应,则元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 注意:1°映射三要素:集合 A、B 以及对应法则 f,缺一不可;2°集合 A 中的元素一定 有象,且唯一;3°集合 B 中的元素未必有原象,即使有也未必唯一;4°A={原象},B ? {象}; 5°A、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合;6°A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是两个不同 的映射 例:判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射?画出对应图 (1)设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 f : x → 2 x + 1 (2)设 A = N , B = {0,1} ,对应法则 f : x → x除以2得的余数
*

1 1 1 , , } f : x → x取倒数 2 3 4 (4) A = {( x, y ) || x |< 2, x + y < 3, x ∈ Z , y ∈ N } , B = {0,1,2} , f : ( x, y ) → x + y (5) A = { x | x > 2, x ∈ N }, B = N , f : x → 小于x的最大质数 (6) A = N , B = {0,1,2} , f : x → x被3除所得的余数 (二)一一映射
(3)设 X = {1,2,3,4}, Y = {1, 例如:

映射(1)有两个特点:①集合 A 中不同的元素在 B 中有不同的象;.②集合 B 中的元素 都有原象 一一映射:设 A,B 是两个集合, f : A → B 是集合 A 到集合 B 的映射,如果在这个映射下, 对于集合 A 中不同的元素在 B 中有不同的象,而且集合 B 中的每一个元素都有原象,这个映射 叫做 A 到 B 上的一一影射 上例中(1)是 A 到 B 上的一一映射, (2)是 A 到 B 的映射,但不是一一影射 注意:①一一映射中集合 A 中不同的元素在 B 中有不同的象,集合 B 中的元素都有原象; ②A={原象},B={象},若 B≠{象}则这个映射就不是 A 到 B 上的一一影射 三、课堂练习:教材 P49 练习 1,2,3,4 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.映射的概念;判断映射的方法 2.一一映射的概念及判断方法。 五、课后作业:教材 P49 习题 2.1 六、板书设计: 课题 (三) 例题: 2. 一、知识点 1. (一) (二)

§2.2 2

函数

教学目标:1.使学生理解函数的概念,明确决定函数的三个要素;2.使学生掌握函数的三 种主要表示方法;3.使学生能够正确使用“区间”“无穷大”等记号;4.使学生会求某些函数 、 的定义域;5.使学生理解静与动的辩证关系。 教学重点 函数的概念 教学难点:函数概念的理解 教学方法:师生共同讨论 教学过程:

(I)复习回顾
请同学回忆一下上节课我们学习的映射、象、原象、一一映射的概念并复述。 现在我们再来学习一种特殊的映射——非空数集到非空数集上的映射——函数 (导入课题, 板书课题) 。

(II)讲授新课: §2.2.1 函数的概念
课下大家预习了函数的概念,谁能来表述一下? (学生回答,教师板书,必要时予以引导) 如果 A、 都是非空的数集, B 那么 A 到 B 的映射 f: A→B 就叫做 A 到 B 的函数。 记作 y=f(x). 其中 x∈A、y∈B,原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域,象的集合 C(C ? B)叫做函数 ≠ y=f(x)的值域。函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 f(x)。 理解函数的定义,我们应该注意些什么?(教师提出问题,启发、引导学生,并和学生一 起总结、归纳。 ) 注意: (1)函数是一种特殊的映射——非空数集到非空数集上的一种映射; (2)函数有三 个要素:定义域、值域、对应法则,缺一不可; (3)f 表示对应法则,在不同的函数中,f 的具 体含义不一样; (4)f(x)是一个函数符号,绝对不能理解为 f 与 x 的乘积; (与初中学过的函数概念比较,说明其一致性) 。 (对照定义,指出一次函数、二次函数、反比例函数都是映射,并说明其记法) 。 在研究函数时,除用符号 f(x)表示外,还常用 g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示。自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时,对应的函数值用符号 f(a)来表示。 2 2 例如:函数 f(x)=x +3x+1,当 x=2 时的函数值是:f(2)=2 +3×2+1=11。 注意 f(a)是常量,f(x)是变量,f(a)是函数 f(x)中当自变量 x=a 时的函数值。

§2.2.2

函数的表示法

函数的表示方法常用的有几种?各有什么优点?(学生作答后,举些例子对各种表示法进 行说明,并说明各种方法之优点。强调:中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数) 。 研究函数常用到区间的概念。设 a、b 是两个实数,且 a<b,我们规定: (对照图表逐一解释:课本 P53 表上方(1)(2)(3)的内容,指出实数 a、b 都叫做相应区 、 、 间的端点,在数轴上,这些区间都可以用一条以 a 和 b 为端点的线段来表示,在图中,用实心 点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。 ) 实数集 R 也可以用区间表示为(-∞,+∞)“∞”读作“无穷大”“-∞”读作“负无穷大” , , , “+∞”读作“正无穷大” ,我们还可以把满足 x≧a,x≦b,x<b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+ ∞]、 (a,+∞) 、(-∞,b)、(-∞,b).

(III)例题分析
例 1:已知函数 f(x)=3x -5x+2,求 f(3)、f( - 2 )、f(a)、f(a+1). 分析:所求 x 分别等于 3、- 2 、a、a+1 时函数 f(x)的值。 3 解:f(3)=3×3 -5×3+2=14 2 2 2 f(a+1)=3(a+1) -5(a+1)+2=3a +6a+3-5a-5+2=3a +a 例 2:求下列函数的定义域。
2

(1) f ( x ) =

1 ;(2) f ( x) = 3 x + 2 x?2

;(3) = f ( x)

x +1 +

1 2?x

分析:给定函数时,要指明函数的定义域,对于用解析式表示的函数,如果没有给出定义 域,那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。 解: (1)x-2≠0,即 x≠2 时, (2)3x+2≥0,即 x≥ 2 ?

1 x?2

有意义。∴这个函数的定义域是{x|x≠2}. 有意义。 ,+∞]。

3

时, x + 2 3

∴函数 y =

3x + 2

的定义域是[ ? 2

(3)? x + 1 ≥ 0 ? ? x ≥ ?1 ? ?

3

?2 ? x ≠ 0

?x ≠ 2

∴这个函数的定义域是{x|x≥-1}∩{x|x≠2}=[-1,2]∪(2,+∞). 注意:函数的定义域可用三种方法表示:不等式、集合、区间。 从上例可以看出,当确定用解析式 y= f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R; (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定 义域是使分母不等于零的实数的集合; (3)如果 f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号 内的式子不小于零的实数的集合; (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的 定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集) ; (5)如果 f(x)是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意 义的实数的集合。 2 例如:一矩形的宽为 xm,长是宽的 2 倍,其面积为 y=2x ,此函数的定义域为 x>0 而不是全 体实数。 由以上分析可知:函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。

(IV)课堂练习:课本 P56 练习 1、2、4。 (V)课时小结:本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念) 。函数的表
示方法、区间的概念及求函数定义域的方法、函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形 应该予以重视。

(VI)课后作业
一、课本 P57 习题 2.2 1、7。 二、预习:课本 P55 例 3—例 6,预习提纲:1.怎样判定两个函数是否相同;2.回顾初中学 过的做函数图象的方法步骤;3.就你所了解的,函数的图象有几种情形;4.什么是分段函数? 分段函数是否为一个函数。 板书设计 §2.2 函数 §2.2.2 函数的表示法 §2.2.1 函数的概念 定义 区间的概念 注意: (1) (2) (3) 例: (4) f|a|与 f(x)的区别与联系 小结。 教学后记

2

§2.3.

函数的单调性

贵州省龙里中学 洪其强 教学目标: 1、使学生理解增函数、减函数的概念; 2、使学生掌握判断某些函数增减性的方法; 3、培养学生利用数学概念进行判断推理的能力; 4、培养学生数形结合、辩证思维的能力;5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思 维习惯。 教学重点:函数单调性的概念 教学难点:函数单调性的判断和证明 教学方法:师生互动 教学过程: (I)复习回顾 上节课我们学习了函数的概念,同学们回忆一下: A、函数有几个要素?各是什么? B、函数的定义域怎样确定?怎样表示? C、函数的表示方法常见的有几种? 前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念,现在我们来研究一下函数的性质 (导入课题,板书课题) 。 (II)讲授新课 (让同学们观察函数

y = x 2 + 2 x ? 1 的图象,在对称轴 x = ?1 右侧部分能由图象说

明什么问题?(随着 的增大, 怎样用数学语言表示呢?

x

y 的值也在增大。 )
y1 = f ( x1 ) 、 y2 = f ( x2 ) , 当 x1 < x2 时 ,

答 : 设 x1 、 x2 ∈ [ ?1, +∞ ) , 得

f ( x1 ) < f ( x2 )
(学生不一定一下子答得比较完整,教师应抓住时机予以启发)。 这时,我们说 分) 一般地,设函数

y1 、 y2 在 [?1, +∞) 上是增函数。 (同理分析在对称轴 x = ?1 左侧部
f ( x ) 的定义域为 I:

如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、 x2 ,

< x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) .那么就说 f ( x ) 在这个区间上是增函数。 (2)当 x1 < x2 时都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) .那么就是 f ( x ) 在这个区间上是减函数。 如果函数 y = f ( x ) 在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y = f ( x ) 在这一 区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y = f ( x ) 的单调区间,在单调区间上增函数的
(1)当 x1 图象是上升的,减函数的图象是下降的。 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; 问题 1:函数

y = x 2 + 2 x ? 1 在 x = 1 处是否具有单调性?为什么?

注意: (2)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念,对于单独的一点由于 它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增减变化,所以不存在单调性问题。 问题 2:函数 y = x + 2 x ? 1 在 ( ?1, 2) 上是否单调?在 [ ?1, 2] 上是否单调? 注意: (3)对于闭区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调它在闭区间上也就单调。 因此,在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以。
2

问题 3:函数 y = x + 2 x ? 1 ( x ≠ 3) 在区间 [ ?1, +∞ ) 上是否是单调递增的?其单 调区间是怎么样的? 注意: (4)对于在某些点上不连续的函数,单调区间不包括不连续点。
2

问题 4:函数

y = 3 x , x ∈ {0,1, 2,3, 4} 有没有单调区间?

注意: (5)有些函数没有单调区间,或者它的定义域根本就不是区间。 注意: (6)判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤:a. 设 x1 、 x2 属于给定区间,且

x1 < x2 ;b.计算 f ( x1 ) < f ( x2 ) 至最简。c.判断上述差的符号。
(III)讨论: 讨论 1:写出函数

f ( x) =

1 的单调区间。 x

(与学生一块看,一起分析图作答,之后指出:要了解函数在某一区间上是否具有单调性, 从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。 严格地说, 它需要根据单调函数的定义进行证明。 ) 讨论 2:讨论函数 f ( x ) = kx + b 在 R 上的单调性。 注意:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法,证 明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。 例 2:证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 证明:设任意 x1、x2∈R,且 x1<x2. 则 f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2). 由 x1<x2 得 x1-x2<0.∴f(x1)- f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。 例 3:证明函数 f(x) =

1 x

在(0,+∞)上是减函数。

证明:设 x1 ,x2 是(0,+∞)上的任意两个实数,且 x1 <x2 , 则 f(x1)- f(x2) =1/x1-1/x2 = x2-x1 / x1x2 由 x1、x2∈(0,+∞) ,得 x1x2>0,又 x1 <x2,得 x2-x1 >0。 ∴f(x1)- f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),∴ f(x) =

1 在(0,+∞)上是减函数。 x

注意:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法,证 明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。 (IV)课堂练习 课本 P60 练习 1—4 及 P59、P60 两个想一想。 (V)课时小结:本节课我们学习了函数单调性的知识,同学们要切记:单调性是对某个区 间而言的,同时在理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性的方法步骤,正确进行判断和证 明。 (VI)课后作业 一、课本 P64 习题 2.3,1、2、3 练习,4、5、6、10 作业。 二、 预习: 函数的奇偶性 (P60—P62 例 4 结束) 预习提纲: 1.函数奇偶性的定义是什么? 。

2.具有奇偶性的函数其定义域有什么特点?3.怎样判断函数是否为奇偶函数。 板书设计 课题: 讨论: 小结: 定义: 注意: (1) (2) (3) 教学后记 2.具有奇偶性的函数其定义域有什么特点?3.怎样判断函数是否为奇偶函数。 板书设计 课题: 例题: 小结: 定义: 注意: (1) (2) (3) 教学后记

§2.3.2

函数的奇偶性

教学目标:1.使学生理解奇函数、偶函数的概念; 2.使学生掌握判断某些函数奇偶性的方 法;3.培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练; 教学重点:函数奇偶性的概念 教学难点:函数奇偶性的判断 教学方法:讲授法 教学过程: (I)复习回顾 上节课我们学习了函数单调性的概念,请同学们回忆一下:增函数、减函数的定义,并复 述证明函数单调性的步骤。 这节课我们来研究函数的另外一个性质——奇偶性(导入课题,板书课题) 。 (II)讲授新课 。 请同学们观察图形,说出函数 y= x 2 的图象有怎样的对称性?(关于 y 轴对称) 从函数 y=f(x)= x 本身来说,其特点是什么? (当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一 值) 。例如:f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)= f(-2);f(-1)=1,f(1)=1,即 f(-1)= f(1); …… ∴f(-x)= f(x). 由于 ( ? x ) 2 = x 2 以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=x2 的图象上的任一点,那么,与它关 于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=x2 的图象上,这时,我们说函数 y=x2 是偶函数。 一般地, (板书)如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数。 例如:函数 f(x)= x 2 +1, f(x)= x 2 -2 等都是偶函数。 观察函数 y= x 3 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系?(也是 一对相反数) 这个事实反映在图象上, 说明函数的图象有怎样的对称性呢? (函数的图象关于原点对称) 。 也就是说, 如果点 (x,y) 是函数 y= x 的图象上任一点, 那么与它关于原点对称的点 (-x,-y) 也在函数 y= x 3 的图象上,这时,我们说函数 y= x 3 是奇函数。 一般地, (板书)如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x) = -f(x) ,那 么函数 f(x)就叫做奇函数。例如:函数 f(x)=x ,f(x) =
3

2

1 都是奇函数。 x

如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2)f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。首先看其定

义域是否关于原点对称,若对称,再计算 f(-x),看是等于 f(x)还是等于- f(x),然后下结论; 若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。

(III)例题分析
课本 P61 例 4,让学生自看去领悟注意的问题并判断的方法。 注意:函数中有奇函数,也有偶函数,但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数,唯 有 f(x)=0(x∈R 或 x∈(-a,a).a>0)既是奇函数又是偶函数。

(IV)课堂练习:课本 P63 练习 1。 (V)课时小结:本节课我们学习了函数奇偶性的定义及判断函数奇偶性的方法。特别
要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称,否则将会导致结论错误 或做无用功。 (VI)课后作业 一、课本 p65 习题 2.3 7。 二、预习:课本 P62 例 5、例 6。预习提纲:1.请自己理一下例 5 的证题思路。2.奇偶函数 的图角各有什么特征? 板书设计:课题 奇偶函数的定义 注意: 判断函数奇偶性的方法步骤。 小结: 教学后记

§2.4 反函数
教学目标:1.使学生了解反函数的概念;2.使学生会求一些简单函数的反函数;3.培养
学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重:1.反函数的概念;2.反函数的求法。 教学难点:反函数的概念。

教学方法:师生共同讨论 教学过程: (I)讲授新课 (检查预习情况) 这节课我们来学习反函数(板书课题)§2.4.1 反函数的概念。
同学们已经进行了预习,对反函数的概念有了初步的了解,谁来复述一下反函数的定义、 记法、习惯记法? 反函数的定义着重强调两点: (1)根据 y= f(x)中 x 与 y 的关系,用 y 把 x 表示出来,得 到 x= φ(y)(2)对于 y 在 c 中的任一个值,通过 x= φ(y) 在 A 中都有惟一的值和它对 ; ,x 应。 应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 由反函数的定义,同学们考虑一下,怎样的映射确定的函数才有反函数呢?(一一映射确 定的函数才有反函数。(学生作答后,教师板书,若学生答不来,教师再予以必要的启示) ) 。 在 y= f(x)中与 y= f -1(y)中的 x、y,所表示的量相同。 (前者中的 x 与后者中的 x 都属 于同一个集合,y 也是如此) ,但地位不同(前者 x 是自变量,y 是函数值;后者 y 是自变量,x 是函数值。 )

在 y= f(x)中与 y= f –1(x)中的 x 都是自变量,y 都是函数值,即 x、y 在两式中所处的地 位相同,但表示的量不同(前者中的 x 是后者中的 y,前者中的 y 是后者中的 x。 ) 由此,请同学们谈一下,函数 y= f(x)与它的反函数 y= f –1(x)两者之间,定义域、值域 存在什么关系呢? (学生作答,教师板书)函数的定义域,值域分别是它的反函数的值域、定义域。

( x) 互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道,求函数的反函数的方法步骤为: (1)由 y= f(x) ?1 ?1 解出 x= f ( y ) ,即把 x 用 y 表示出; (2)将 x= f ( y ) 改写成 y= f ?1 ( x) ),即对调 x= f ?1 ( y ) 中的 x、y。 (3)指出反函数的定义域。 下面请同学自看例 1 (II)课堂练习 课本 P68 练习 1、2、3、4。 (III)课时小结:本节课我们学习了反函数的概念,从中知道了怎样的映射确定的函数
才有反函数并求函数的反函数的方法步骤,大家要熟练掌握。

从反函数的概念可知:函数 y= f(x)与 y= f

?1

(IV)课后作业
一、课本 P69 习题 2.4 1、2。 二、预习:互为反函数的函数图象间的关系,亲自动手作题中要求作的图象。

板书设计:课题: 求反函数的方法步骤: 定义: 注意: 小结:一一映射确定的函数才有反函数,函数与它的反函数定义域、值域的关 系。 教学后记

§ 2. 5 .2

指数

教学目标:1.理解分数指数幂的概念。2.掌握有理指数幂的运算性质。3.会对根式、分
数指数幂进行互化。4.培养学生用联系观点看问题。 教学重点:分数指数幂的概念和运算性质。 教学难点:分数指数幂概念的理解 教学方法:发现教学法

教学过程: (I)复习回顾
上一节课,我们一起复习了整数指数幂折运算性质,并学习了根式的运算性质。 整数指数幂运算性质 m n m+n (1)a ? a =a (m,n∈Z) (2)(a ) =a
m n m? n

根式运算性质

(m,n∈Z)
n n

n

?a, n为奇数; an = ? ?| a |, n为偶数

(3)(a? b) =a ? b (n∈Z) 对于整数指数幂运算性质(2) ,当 a>0,m,n 是分数时也成立。

n

(说明:对于这一点,课本采用了假设性质(2)对 a>0,m,n 是分数也成立这种方法,我认为不 妨先推广性质(2) ,为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备) 。 n 对于根式的运算性质,大家要注意被开方数 a 的幂指数 n 与根式的根指数 n 的一致性。接 下来,我们来看几个例子。 (说明:对于例子可设计为填空题,让学生参与得出。 ) 例子:当 a>0 时 ①
10 5


3

a 10 = (a 2 ) 5 = a 2 = a 5
12

a 12 = 3 (a 4 ) 3 = a 4 = a 3
2 2


3

a 2 = (a 3 ) 3 = a 3 a = (a ) = a
2 m 1 2 1 2 m

④ ⑤
n

a m = (a n ) n = a n (m, n ∈ N *, 且n > 1)
n

上述推导过程主要利用了根式的运算性质,例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算 性质(2) 。因此,我们可以得出正分数指数幂的意义。

(II)讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义:<板书>

a = n a m (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1
大家要注意两点,一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是根式与分数指数幂可以 进行互化。另外,我们还要对正数的负分数指数幂和 0 的分数指数幂作如下规定。 2.规定:<板书> (1) a
? m n

m n

=

1 a
m n

(2)0 的正分数指数幂等于 0。 (3)0 的负分数指 (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1) ;

数幂无意义。 规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数。当 a>0 时,整数 指数幂的运算性质, 对于有理指数幂也同样适用。 即对于任意有理数 r,s,均有下面的运算性质: r s r+s r s 3.有理指数幂的运算性质:<板书>(1)a ?a =a (a>0,r,s∈Q);(2)(a ) =ar?(a>0,r,s r r r ∈Q);(3)(a?b) =a ?b (a>0,b>0,r∈Q) p 说明:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质, 对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略。这一说明是为下一小节学习指数函数 作铺垫。接下来,大家通过例题来熟悉一下本节的内容。

4.例题讲解
- 1 - 16 - 例 2:求值: 8 3 , 2 ,( )3,( ) 4。 100 4 81 分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解: 2 1 3

2

2

3 8 3 =(23)=2 3 =2 2=4;



2

100 2 =( 2) 2=10 10



1



1

1 2× (- ) 2

=10-1=

1 ; 10

1 - - (- × (- ( )3=(2-2)3=2 2) 3) 2 6=64; = 4 3 3 (- 16 - 2 4× ) 2 - 27 ( ) 4=( ) 4 =( )3= 。 81 3 3 8
例 3:用分数指数幂的形式表示下列各式: 。
a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中a > 0) 分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质 解:

a2 ? a = a2 ? a 2 = a
3 3 2 3 2 3

1

2+

1 2 2 3

= a2; =a ;
3 11 3

5

a ? a = a ?a = a
1 1 2 2

3+

a a = (a ? a ) = (a ) = a 4 .
为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质,我们来做一下练习题。

3 1 2 2

(III)课堂练习:课本 P14 练习:1、2、3。 要求:学生板演练习,做完后老师讲评。 (IV)课时小结:通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与
根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质。

(V)课后作业 一、课本 P75 习题 2.5.2,3,4. 二、1.预习内容:课本 P73 2.预习提纲: (1)根式的运算如何进行?(2)利用理指数幂运算性质进行 化简、求值,有哪些常用技巧? 板书设计: §2.5.2 分数指数幂 1.正分数指数幂意义 2.规定: 3.有理指数幂性质 4.例题 例2 学生 例3 练习

§ 2. 5 .1

指数

教学目标:1.理解 n 次方根、根式概念。2.正确运用根式运算性质。3.培养学生认识、 接受新事物的能力。 教学重点:根式概念 教学难点 根式概念的理解 教学方法 学导式 教学过程: (I)复习回顾 在初中,我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质。现在,我们一起来看 整数指数幂概念 an = a ? aL n ∈ N * ) ( 144 44 2 3
n个a

整数指数幂运算性质 n m+n (1)a ?a =a (m,n∈Z)
m

a =1
a ?n = 1 an
m n m

0

(2)(a ) =a
n n m

m

n

n?n

(m,n∈Z)

(3)(ab) =a b (n∈Z)

因为 a ÷a 可看作 a ·a ,所以 a ÷a =a 可以归入性质(1) ;又因为 ( ) 可看作 a ·b , 所以 ( ) =
n

n

m

n

m-n

a b

n

m

-n

a b

an 可以归入性质(3) bn

我们复习这部分内容是为下一节学习分数指数幂打基础。 另外,我们在初中还学习了平方根、立方根这两个概念。 2 2 =4 2,-2 叫 4 的平方根 2 (-2) =4 3 2 =8 2 叫 8 的立方根 3 (-2) =-8 -2 叫-8 的立方根 5 2 =32 2 叫 32 的 5 次方根 2 =a 2 叫 a 的 n 次方根 2 3 5 我们来看,若 2 =4,则 2 叫 4 的平方根;若 2 =8,2 叫做 8 的立方根;若 2 =32,则 2 叫做 n 32 的 5 次方根,类似地,若 2 =a,则 2 叫 a 的 n 次方根。这样,我们可以给出 n 次方根的定义。
n

M

M

(II)讲授新课 1.n 次方根的定义:<板书>若 xn=a(n>1 且 n∈N*),则 x 叫做 a 的 n 次方根。
师:n 次方根的定义给出了,我们考虑这样一个问题,x 如何用 a 表示呢?(叫学生回答) 。 正数的平方根有两个且互为相反数,负数没有平方根;正数的立方根是正数,负数的立方 根是负数。 跟平方根一样,偶次方根有下列性质:在实数范围内,正数的偶次方根有两个且互为相反 数,负数没有偶次方根;跟立方根一样,奇次方根有下列性质:在实数范围内,正数的奇次方 根是正数,负数的奇次方根是负数。 这样,我们便可得到 n 次方根的性质:

2.n 次方根的性质:<板书>

? ? a , n = 2k + 1 x=? (k ∈ N *) ?± n a , n = 2 k ?
n

若中 n a 叫根根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 请大家注意,根式是 n 次方根的一种表示形式,并且,由 n 次方根的定义,我们可以得到 根式的运算性质。 3.根式运算性质:<板书> ① n a) = a (
n

② a =?
n n

?a, n为奇数; ?| a |, n为偶数

关于性质的推导,我们一起来看 性质①推导过程: 当 n 为奇数时, x = n a ,由x = a得( n a ) = a
n n

当 n 为偶数时, x = ± n a ,由x = a得( n a ) = a
n n

综上所述,可知: ( n a ) n = a 性质②推导过程: a = ( n a ) n 当 n 为奇数时,由 n 次方根定义得: a = 则 | a |=| ± n a n |= n a n 综上所述: n a = ?
n
n

an
n n

当 n 为偶数时,由 n 次方根定义得: a = ± a

?a, n为奇数 ?| a | ,n为偶数

性质②有一定变化,大家应重点掌握,接下来,我们来看例题: 例 1:求下列各式的值:

( ) 8) 2) 10) 1 3(- 3( (- 2
4 2 4 (3) 3-π) 4) a ? b)(a > b) ( ( (

4.例题讲解<板书> 解:
3 (1 3(-8) = ?8 )

(2) (?10) 2 =| ?10 |= 10 (3) 4 (3 ? π ) 4 =| 3 ? π |= π ? 3 (4) (a ? b) 2 =| a ? b |= a ? b(a > b)
根指数 n 为奇数的题目较易处理,而例题侧重于根指数 n 为偶数的运算,说明此类题目容 易出错,应引起大家的注意。为使大家进一步熟悉性质运用,请大家来做练习题。

(III)课堂练习

(1 5 ? 32, (2) (?3) 4 (3) ( 2 ? 3 ) 2, ) 5 ? 2 6 . ) (4
(IV)课时小结:通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运
算性质解题。

(V)课后作业 一、求下列各式的值:
2 ( ( ) -27 ,(2) π-4) 13

x ?1 2 ) 3? x 二、1.预习内容:课本 P71—P72。 2.预习提纲: (1)根式与分数指数幂有何关系?(2)整数指数幂运算性质推广后

(3) a 6 ,

( 4) (

有何变化?

板书设计
§2.5.1 根 式 1.方根定义: 2.方根性质: 3.根式性质: 4.例题: (1) (1) (2) 学生 (3) 练习 (2) (4)

教学后记 教学时间 第二课时 课 题

§2.6.1

指数函数

教学目标:1.理解指数函数的概念。2.掌握指数函数的图象、性质。3.培养学生实际应用 函数的能力。 教学重点:指数函数的图象、性质。 教学难点:指数函数的图象性质与底数 a 的关系 教学方法:学导式 教学过程: (I)复习回顾 前面几节课,我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质。这些知识都是为我们学习 指数函数打基础。 现在大家来看下面的问题: 某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个……1 个这样的细胞分裂 x 次后,得到的 x 细胞个数 y 与 x 的函数关系式是 y=2

这个函数便是我们将要研究的指数函数,其中自变量 x 作为指数,而底数 2 是一个大于 0 且不等于 1 的常量。 下面,我们给出指数函数的定义。 (II)讲授新课 1.指数函数定义: x 一般地,函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R。 x 现在研究指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象和性质,先来研究 a>1 的情形。 x 例如,我们来画 y=2 的图象。 列出 x,y 的对应值表,用描点法画出图象: x … -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 … x y=2 … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 … 再来研究 0<a<0 的情部, -x 1 x 例如, 我们来画 的图象,即画 y=2 的图象。可得 x,y 的对应值,

y=( ) 2

用描点法画出图象。也可根据 y=2 的图象与 y=2 的图象关于 y 轴对称,由 y=2 的图象对称得 -x 1 x 的图象。 到 y=2 即

-x

x

x

y=( ) 2

我们观察 y=2 以及 y=2 的图特征,就可以得到 y=2 (a>1)以及 y=2 (0<a<1)的图象和性质。 2.指数函数的图象和性质: a>1 0<a<1 图 象

x

-x

x

x

性 质

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数 3.例题讲解: 例 1:某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留 的这种物质是原来的 84%,画出这种物质的剩留量随时间变化 的图象,并从图象上求出经过多少 年,剩量留是原来的一半(结果保留 1 个有效数字) 。

分析:通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描点、作图,进 而求得所求。 解:设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y。 1 经过 1 年,剩留量 y=1×84%=0.84 ; 2 经过 2 年,剩留量 y=1×84%=0.84 ; …… x 一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84 根据这个函数关系式可以列表如下: X 0 1 2 3 4 5 6 Y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 x 用描点法画出指数函数 y=0.84 的图象。从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半。 评述: (1)指数函数图象的应用; (2)数形结合思想的体现。 x+1 x 例 2:说明函数 y=2 与 y=2 的图象的关系,并画出它们的示意图。 分析:做此题之前,可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题。 x+1 x -3+1 -2 -2+1 -1 2+1 3 解:比较函数 y=2 与 y=2 的关系:y=2 与 y=2 相等,y=2 与 y=2 相等,y=2 与 y=2 相等, …… x x+1 由此可以知道,将指数函数 y=2 的图象向左平行移动一个单位长度,就得到函数 y=2 的图象。 评述:此题目在于让学生了解图象的平移交换,并能逐步掌握平移规律。 (III)课堂练习:课本 P78 练习 1,P77 例 2(2) 。 (IV)课时小结:通过本节学习,大家要能在理解指数函数概念的基础上,掌握指数函数 的图象和性质,并会简单的应用。 (V)课后作业 一、1.在同一坐标系里画出下列函数图象: (1)y=10 , (2) x-1 x x 2.作出函数 y=2 和 y=2 +1 的图象,并说明这两个函数图象与 y=2 的图象关系。 二、1.预习内容:课本 P77 例 3 2.预习提纲: (1)同底数幂如何比较大小?(2)不同底数幂能否直接比较大小? 板书设计 §2.6.1 1.指数函数 2.图象 3.例 1 学生 定义 性质 例2 练习 教学后记
x

1 y = ( )x 10

§2.6.2

指数函数的性质应用(一)

教学目标:1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质。2.掌握指数形式的函数定义域、值域。 3.掌握比较同底数幂大小的方法。4. 培养学生数学应用意识。 教学重点:比较同底幂大小 教学难点:底数不同的两幂值比较大小 教学方法:启发引导式 教学过程: (I)复习回顾 上一节,我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质,现在进行一下回顾。 (内容为指数函数的概念、图象、性质) 定义 图 象 形如 y=a (a>0 且 a≠1)的函数
x

性 质

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数 这一节,我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用。 (II)讲授新课 例 3:求下列函数的定义域、值域:

(1) y = 0.4 x ?1 (2) y = 3
x

1

5 x ?1

(3)y=2 +1 分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象。注意向学生指出函 数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围。 解(1)由 x-1≠0 得 y≠1,所以,所求函数定义域为{x|x≠1} 由

1 ≠0 x ?1

得 y≠1

所以,所求函数值域为{y|y>0 且 y≠1}

说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令 并结合图象直观地得到,以下两题可作类似处理。 (2)由 5x-1≥0 得 x≥ 由

1 ≠0 x ?1

,考察指数函数 y=0.4 ,

t

1 所以,所求函数定义域为{x|x≥} 5
所以,所求函数值域为{y|y≥1}
x x

5 x ?≥0 得 y≥1 1

(3)所求函数定义域为 R, 由 2 >0 可得 2 +1>1,所以,所求函数值域为{y|y>1}

通过此例题的训练,大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数 的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性。 例 4:比较下列各题中两个值的大小: 2.5 3 -0.1 -0.2 0.3 3.1 (2)0.8 ,0.8 ; (3)1.7 ,0.9 . (1)1.7 ,1.7 ; 要求:学生练习(1)(2) 、 ,并对照课本解答,尝试总结比较同底数幂大小的方法以及一般 步骤。 x 解(1)考查指数函数 y=1.7 x 2.5 3 又由于底数 1.7> 1,所以指数数 y=1.7 在 R 上是增函数 ∵2.5<3 ∴1.7 <1.7 x x (2)考查指数函数 y=0.8 , 由于 0<0.8<1 ,所以指数函数 y=0.8 在 R 上是减函数。 -0.1 -0.2 ∵-0.1>-0.2 ∴0.8 <0.8 对上述解题过程,可总结出比较同底数幂大小的方法,即用指数函数的单调性,其基本步 骤如下: (1)确定所要考查的指数函数; (2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性; (3)比较指数大小,然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系。 0.3 0 3.1 0 0.3 3.1 0.9 <0.9 =1,, 即 1.7 >1,0.9 <1, 解: (3)由指数函数的性质知:1.7 >1.7 =1, 0.3 3.1 ∴1.7 >0.9 . 说明:此题难点在于解题思路的确定,即如何找到中间值进行比较。 (3)题中与中间值 1 进行比较,这一点可由指数函数性质,也可由指数函数的图象得出,与 1 比较时,还是采用同 底数幂比较大小的方法,注意强调学生掌握此题中“1”的灵活变形技巧。 接下来,我们通过练习进一步熟悉并掌握本节方法。 (III)课堂练习:课本 P78 练习 2,习题 2.6 2 (IV)课时小结:通过本节学习, 掌握指数函数的性质应用, 并能比较同底数幂的大小, 提高应用函数知识的能力。

(V)课后作业
一、课本 P78 习题 2.6 1,3 二、1.预习内容:函数单调性、奇偶性概念 2.预习提纲: (1)函数单调性,奇偶性的概念; (2)函数单调性,奇偶性的证明通法 是什么?写出基本的证明步骤。 板书设计 §2.6.2 例3 例4 (1) (1) 学生 (2) (2) 练习 (3) (3) 教学后记

§2.6.3

指数函数的性质应用(二)

教学目标:1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法。2.掌握指数形式的复合函数 的奇偶性的证明方法。3.培养学生的数学应用意识。 教学重点:函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点:指数函数的性质应用 教学方法 引导式 教学过程: (I)复习回顾

上一节,我们一起学习了指数函数的性质应用,这一节,我们学习指数形式的复合函数的 单调性、奇偶性的证明方法。首先,大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、

奇偶性的基本步骤。
1.判断及证明函数单调性的基本步骤:假设→作差→变形→判断 说明:变形目的是为了易于判断;判断有两层含义:一是对差式正负的判断;二是对增减 函数定义的判断。 2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤: (1)考查函数定义域是否关于原点对称; (2)比较 ?(-x)与?(x)或者-?(x)的关系; (3)根据函数奇偶性定义得出结论。 说明:考查函数定义域容易被学生忽略,应强调学生注意。 接下来,大家来看例题。

(II)讲授新课
例 5:当 a>1 时,证明函数

f ( x) =

ax +1 ax ?1

是奇函数。

分析:此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明,但在证明过程中的恒等变形用到推广的实 数指数幂运算性质。 证明:由 ax-1≠0 得,x≠0 故函数定义域{x|x≠0}关于原点对称。 ?x ?x x 又 a + 1 (a + 1)a 1+ ax

f (? x) =

a ?x ? 1

=

(a ? x ? 1)a x

=

1? ax

ax +1 a x ?1 ∴ f ( ? x) = ? f ( x ) ? f ( x) = ?
所以,函数

f ( x) =

ax +1 ax ?1
x

是奇函数。

f (x 例 6:设 a 是实数,) = a ?

2 ( x ∈ R) 2 +1

(1)试证明对于任意 a, ?(x)为增函数; (2)试确定 a 值,使?(x)为奇函数。 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学 生注意不同题型的解答方法。 (1)证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2 2 2 则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = (a ? 2 2x2

2 x1 + 1

) ? (a ?

2 x 2 + 1)

=

2 2( 2 x 1 ? 2 x 2 ) ? = + 1 2 x 1 (2 x 1 + 1)(2 x 2 + 1)
x x x x x

由于指数函数 y=2 在 R 上是增函数,且 x1<x2,所以 2 1<2 2 即 2 1-2 2<0 x x x 又由 2 <0 得 2 1+1>0,2 2+1>0 所以? (x1)- ? (x2)<0 即? (x1)<? (x2) 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数,? (x)为增函数。 评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。 (2)解:若? (x)为奇函数,则? (-x)= -? (x) 即 2 2

) 2x +1 2 ? 2x 2 2(2 x + 1) 变形得:a = ? x 2 + = (2 + 1) ? 2 x 2 x + 1 2x +1 2?x + 1

a?

= ?( a ?

解得:a=1 , 所以当 a=1 时, ?(x)为奇函数。 评述:此题并非直接确定 a 值,而是由已知条件逐步推导 a 值。应要求学生适应这种题 型。

(III)课堂练习
已知函数?(x)为偶函数,当 x∈(0,+∞)时,?(x)=-2 ,求当 x∈(-∞,0)时,?(x) 的解析式。
x+1

(IV)课时小结
通过本节学习,要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用,并掌握函数单调性。奇偶性证 明的通法。

(V)课后作业
一、1.课本 P79 习题 2.6 2.已知函数 4.

f ( x) =

2 x ? 1 (1)判断函数?(x)的奇偶性; (2)求证函数?(x) 2x +1

在(-∞,+∞)上是增函数。 二、1.预习提纲: (1)对数与指数有何联系?(2)对数式与指数式如何互化?

板书设计
§2.6.3 1.单调性证明 通法 2.奇偶性证明 通法 教学后记 3.例 5 4.例 6 5.学生练习

§2.7.1





教学目标:1.理解对数的概念,能够进行对数式与指数式的互化;2.培养培养观察分析、 抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力;3.培养坚忍不拔的意志,培养 发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯,体会事物之间普遍联系的辩证观点,体验 知识来源于实践又服务于实践。 教学重点:对数的定义 教学难点:对数概念的理解 教学方法:启发式 教学过程: (I)复习回顾

引例: (课本第 80 页) 假设 1995 年我国的国民生产总值为 a 亿元,如每年平均增长 8%,那么经过多 少年国民生产总值是 1995 年的 2 倍? 设:经过 x 年国民生产总值是 1995 年的 2 倍 则有

a (1 + 8% ) x = 2a

1.08 x = 2

用计算器或计算机作出函数图像,计算出 x 值

这是已知底数和幂的值,求指数的问题。即指数式 a b = N 中,已知 a 和 N 求 b 的问题。 (这里 a > 0且a ≠ 1 )
活动设计:学生分析讨论,列出方程,无法求解,引起冲突,教师引导、整理,导入新课 活动设计

(II)讲授新课
我们来看下面问题。 (说明:由于对数概念是本节重点,所以在导入新课上有所侧重。) 假设 1995 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%, 那么经过多少年国民生产总值是 1995 年时的 2 倍? 假设经过 x 年国民生产总值为 1995 年时的 2 倍,根据题意有: x a(1+8%) =2a x 即 1.08 =2 这是已知底数和幂的值,求指数的问题,也就是我们这节将要学习的对数问题。 1.对数的定义:一般地,当 a>0 且 a≠1 时,若 ab=N,则 b 叫以 a 为底 N 的对数。记作: logaN=b,其中 a 叫对数的底数,N 叫真数。 注意:a>0 且 a≠1,N>0,即:负数和零没有对数。 2.常用对数: 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N 的常用对数 log10N 简记作 lgN。例如:log105 简记作 lg5, log103.5 简记作 lg3.5. 3.自然对数:在科学技术中常常使用以无理数 e=2.71828……为底的对数,以 e 为底的 对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数 logeN 简记作 lnN。例如:loge3 简记作 ln3;loge10 简记作 ln10 由对数的定义,可以看出指数与对数的密切关系。接下来,我们就学习指数式与对数式的 互化。

4.例题讲解
例 1:将下列指数式写成对数式: 1 1 4 -6 (1)5 =625; (2)2 = ; (3)3a=27;(4) ) ( m 3 64 解(1)log5625=4; (2)log2 =5.73

1 64

=-6;

(3)log327=a; (4) 1 3 例 2:将下列对数式写成指数式: (1) log 1 16 = ?4 ; (2)log2128=-7;
2

log 5.73 = m

(3)g0.01=-2;(4)ln10=2.303 解: (1) 1 ) ? 4 = 16 ( ;

2

(2)2 =128; -2 (3)10 =0.01; 2.303 (4)e =10 说明:例 1、例 2 目的在于让学生熟悉对数的定义。 为使大家进一步熟悉对数式与指数式的互化,我们来做课堂练习。 (III)课堂练习:课本 P81 练习:1,2

7

(IV)课时小结:通过本节学习,大家要能在理解对数概念的基础上,掌握对数式与指
数式的互化。

(V)课后作业
一、课本 P84 习题 2.7 1,2 二、1.预习内容:P82—P83 2.预习提纲: (1)对数的运算性质有哪些?(2)如何证明对数的运算性质? 板书设计 §2.7.1 (3) 3.自然对数(4) 1.对数定义 4.例 1 例2 5.学习练习 (1) (1) (2) 2.常用对数(2) (3) (4) 教学后记

§2.7.2


对 数

教学目标:1、掌握对数的运算性质;2、熟练运用对数运算性质;3、运用联系观点解决问 教学重点:证明对数运算性质 教学难点:证明方法与对数定义的联系 教学方法:引导式 教学过程: (I)复习回顾 b 上一节我们学习了对数的定义,由对数的定义不难得出: a =N ? log a N=b( a >0 且 a ≠ 1,N>0) 这一节,我们将利用上述关系和幂的运算性质推导对数的运算性质 (Ⅱ)讲授新课 1. 基本性质:若 a >0 且 a ≠1,N>0,则(1) a log a N=N; (2) log a a b =b 证明思路:由 a = N ? log a N=b 可知:将 b= log a N 代入 a =N 可知 a
b b

log a

N=N

将 N= a 代入 log a N=b 可得 log a a =b 说明:上述性质的证明体现了对于对数定义的深刻理解,灵活运用;其中对于性质(2) , 当 b=0,1 时,可得常用性质: log a 1=0, log a a =1. 2. 运 算 性 质 : 若 a >b , a ≠ 1,M>0,N>0, 则 ( 1 ) log a MN=log aM+ log a N ;( 2 )

b

b

log a

M n (3) log a M =n log a M(n∈R) = log a M ? log a N ; N

现在我们来证明运算性质 p q 证明: (1)设 log a M=p, log a N=q,由对数的定义可以得:M= a ,N= a ∴MN= a · a = a + a
p q p q

∴ log a MN=p+q,

即证得 log a MN= log a M+ log a N

(2)设 log a M=p, log a N=q,由对数的定义可以得 M= a ,N= a , ∴

p

q

M ap M M = q = a p? q ∴ log a = p ? q ,即证得 log a = log a M ? log a N N a N N P n np n (3) 设 log a M=P,由对数定义可以得 M= a ,∴ M = a ∴ log a m =np,
n

即证得 log a m =n log a M 评述:上述证明先通过假设,将对数式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 要求:性质(2)(3)学生尝试证明,教师指导。 、 接下来,我们利用对数的运算性质对下列各式求值。 3. 例题讲解: (1)log525, (2)log41, (3)log2(4 ×2 ) (4)lg 5 100 , 分析:此题目的在于让学生熟悉对数运算性质,可采用讲练结合的方式。 2 解: (1)log525= log55 =2 (2)log0.41=0 7 5 7 5 2×7 5 (3)log2(4 ×2 )= log24 + log22 = log22 + log22 =2×7+5=19 (4)lg 5 100 =
7 5

1 2 2 log10 2 = lg10 = 5 5 5

大家在运算过程中,要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别。 (Ⅲ)课堂练习:课本 P81 练习 3,4;P83 练习 2,3 (Ⅳ)课时小结:通过本节学习,大家应掌握对数运算性质的推导,并能熟练运用对数 运算性质进行对数式的化简、求值。

(Ⅴ)课后作业
一、课本 P84 习题 2.7 4,5 二、1.预习内容:课本 P83 例 4 2.预习提纲:例 4 解答体现了对数式化简证明的何种技巧?试总结 板书设计 §2.7.2 1. 基本性质 2.运算性质 3.性质证明 4.例题 5.学生练习 (1) (1) (1) (2) (2) (2) (3) (3)

§2.7.3

对数性质应用

教学目标:熟练运用对数运算性质;掌握化简、求值技巧;培养学生数学应用意识 教学重点:对数运算性质应用 教学难点:化简、求值技巧 教学方法:启发引导式 教学过程: (I) 复习回顾 上一节,我们一起推导了对数的运算性质,现在进行一下回顾,并且,大家要注意对数的

运算性质与幂的运算性质的区别。 1. 基本性质:若 a >0 且 a ≠1,N>0,则 (1) a
log a N

(2) a 2. 运算性质:若 a >0, a ≠1,M>0,N>0,则 (1) log a MN= log a M+ log a N

log a a b

=N =b

M = log a M ? log a N N n (3) log a M =n log a M(n∈R)
(2)

log a

上一节,我们还利用对数的运算性质进行了简单求值运算,这一节我们继续学习对数运算 性质的应用

(Ⅱ)讲授新课
例 4:用 log a x, log a y, log a z 表示下列各式:

x2 y xy ; (2) log a 3 z z xy = log a (xy)- log a z= log a x+ log a y- log a z 解: (1) log a z x2 y 2 y ) ? log a 3 z = log x2+ log y ? log a 3 z (2) log a = log a (x a a 3 z 1 1 =2 log a x+ log a y ? log a z 2 3
(1) log a 评述:此题目的在于熟悉对数运算性质 例 5:计算: (1)lg14-21g

7 + lg 7 ? lg 18 3

(2)

lg 243 lg 9

(3)

lg 27 + lg 8 ? 3 lg 10 lg 1.2

说明:此例题可讲练结合 (1)解法一: lg 14 ? 2 lg

7 + lg 7 ? lg 18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2) 3
=lg1=0

=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0 解法二: lg 14 ? 2 lg

14 × 7 7 2 7 + lg 7 ? lg 18 =lg14-lg ( ) + lg 7 ? lg 18 = lg 7 2 3 3

( ) × 18 3

评述:此例题体现了对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视 (2)

lg 243 lg 35 5 lg 3 5 = = = ; lg 9 lg 3 2 2 lg 3 2
1

(3)

lg 27 + lg 8 ? 3 lg 10 = lg 1.2

lg(33 ) 2 + lg 2 3 ? 3 lg(10) lg 3 × 22 10

1 3 (lg 3 + 2 lg 2 ? 1) 3 2 = 2 = lg 3 + 2 lg 2 ? 1 2

评述:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如(3)题各部分变形 要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系; (2)题要避免错用对数运算性质。

(Ⅲ)课堂练习
1. 课本 P83 1,2

(Ⅳ)课时小节:通过本节学习,大家应熟悉对数的运算性质应用;并掌握一定的解题技 巧,积累一定的解题经验 (V)课后作业
一、课本 P84 习题 2.7 3 二、1.预习内容:课本 P84 习题 2.7 6 2、 预习提纲: 题如何解决?尝试多种方法②6 题方法与对数定义、 ①6 运算性质有何联系? 板书设计院 §2.7.3 1.例 4 2. 例 5 (1) (1) (2) 3.学生练习 (2) (3)

§2.7.4

对数性质应用

教学目标:熟练运用对数运算性质;掌握化简、求值技巧;培养学生的数学应用意识 教学重点:化简、求值技巧 教学难点:化简、求值技巧 教学方法:学导式 教学过程: (I)复习回顾 上一节,我们通过例题和练习熟悉了对数运算性质的应用,这一节,我们继续学习利用对 数的运算性质进行化简、求值,并希望大家总结一些求值的技巧

(Ⅱ)讲授新课
例 6:已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg1.44 的值 分析:此题应注意已知条件中的真数 2,3,与所求中的真数有内在联系,故应 1.44 进行 2 2 -1 2 恰当变形:1.44=1.2 =(3×2 10 ) ,然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。 2 -1 2 解:lg1.44=lg(3×2 ×10 ) =2(lg3+2lg2-1)=2(0.4771+2×0.3010-1)=0.1582 评述:此题应强调学生注意已知与所求的内在联系 例 7:已知 log a x= log a c+b,求 x 分析:由于 x 作为真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的 形式,b 的存在使变形产生困难,故可考虑将 log a c 移到等式左端,或者将 b 变为对数形式。 解法一:由对数定义可知: x = a
log a c + b

= a log a c ? a b = c ? ab
x x = b ,由对数定义知: = a b c c

解法二:由已知移项可得 log a x ? log a c = b ,即 log a

∴ x = c ? ab

Q b = log a a b
解法三:

∴ log a x = log a c + log a a b = log a c ? a b ∴ x = c ? ab

评述:此题有多种解法,体现了基本概念和运算性质的灵活运用,建议解答不要直接给出, 最后引导学生得出,可加强学生对于对数定义及运算性质的理解。 接下来,我们继续进行课堂练习 说明:本节课应以学生练习为主,教师适当加以引导,给予辅导

(Ⅲ)课堂练习
1. 已知 log 3 12 = a, 试用 a 表示 log 3 24 2. 已知 log 5 2 = a, 求 2 log 5 10 + log 5 0.5 的值 3. 已知 log14 7 = a, log14 5 = b, 求 log 35 28 说明:上述例题目的在于让学生注重已知与所求的内在联系, 并熟练运用对数的运算性质, 要求学生板演,发现问题,及时讲评。

(Ⅳ)课时小结
通过本节学习,大家应进一步熟悉对数的运算性质的运用,并能掌握一定的解题技巧,提 高解题能力。

(V)课后作业
一、1.课本 P84 习题 2.7
2

6

2. 化简: lg 5 + lg 2 ? lg 50 3. 已知 a, b, c > 0, 且 3 a = 4 b = 6 c ,求证:

2 1 2 + = a b c

二、1.预习内容:P86~P87 2. 预习提纲:对数函数与指数函数有何关系?对数函数的图象如何得到? 板书设计院 §2.7.4 练习 例6 例7 解法一 解法二 解法三 (1) (2) (3) 教学后记



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