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2014-2015学年湖北省咸宁市通城二中高二(下)期中数学试卷(文科) Word版含解析



2014-2015 学年湖北省咸宁市通城二中高二(下)期中数学试卷(文科)
一、选择题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项. 1. (5 分) (2014?唐山二模)已知 a∈R,若 A. 2 B. ﹣2 C. ﹣ D. 为实数,则 a=( )

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专

题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简复数,令虚部为 0 可解.
所有

解答: 解:化简可得

=

=

=

+

i,

∵上面的数为实数,∴ 解得 a=﹣

=0,

故选:C. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题. 2. (5 分) (2013 秋?保定期末)抛物线 y=x 的焦点坐标为( A. B. C.
2

) D.

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题. 分析: 2 该抛物线的方程是 x =2py(p>0)的形式,由此不难得到 2p=1, = ,所以抛物线的
所有

焦点坐标为: (0, ) . 解答:解:∵抛物线 y=x 的标准形式是 x =y, ∴抛物线焦点在 y 轴上,开口向上,可得 2p=1, = 因此,抛物线的焦点坐标为: (0, ) 故选 D 点评:本题给出抛物线的标准方程,求它的焦点坐标,着重考查了抛物线的标准方程与简单性 质,属于基础题. 3. (5 分) (2015 春?咸宁校级期中) 已知 p、 q 为命题, 命题“¬ (p 或 q) ”为假命题, 则 ( )
2 2

A. p 真且 q 真 B. p,q 中至少有一真 C. p 假且 q 假 D. p,q 中至少有一假 考点: 复合命题的真假. 专题: 常规题型. 分析: 已知命题“¬(p 或 q)”为假命题,可知 p 或”为真命题,从而求解; 解答: 解:∵命题“¬(p 或 q)为假命题, ∴p 或 q 为真命题; ∴p 和 q 有一个为真,或都为真, ∴p,q 中至少有一真, 故选 B. 点评: 此题主要考查复合命题的真假,此类题也是高考的热点问题,每年都有一道选择题.
所有

4. (5 分) (2005?北京)“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 相互垂直”的( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 两条直线垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑.
所有

分析: 判断充分性只要将“m= ”代入各直线方程,看是否满足(m+2) (m﹣2)+3m?(m+2) =0,判断必要性看(m+2) (m﹣2)+3m?(m+2)=0 的根是否只有 . 解答: 解:当 m= 时,直线(m+2)x+3my+1=0 的斜率是 ﹣3=0 的斜率是 , ∴满足 k1?k2=﹣1, ∴“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 相互垂直”的充分条 件, 而当(m+2) (m﹣2)+3m?(m+2)=0 得:m= 或 m=﹣2. ∴“m= ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m﹣2)x+(m+2)y﹣3=0 相互垂直”充分而不 必要条件. 故选:B. 点评: 本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定. 5. (5 分) (2005?陕西)设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P,若△ F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) ,直线(m﹣2)x+(m+2)y

A.

B.

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题.

所有

分析: 设点 P 在 x 轴上方,坐标为 根据 求得 a 和 c 的关系,求得离心率.

,根据题意可知|PF2|=

,|PF2|=|F1F2|,进而

解答: 解:设点 P 在 x 轴上方,坐标为 ∵△F1PF2 为等腰直角三角形 ∴|PF2|=|F1F2|,即 ,即



故椭圆的离心率 e= 故选 D 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目.应 熟练掌握圆锥曲线中 a,b,c 和 e 的关系. 6. (5 分) (2014?重庆模拟)圆 x +y ﹣ax+2=0 与直线 l 相切于点 A(3,1) ,则直线 l 的方程 为( ) A. 2x﹣y﹣5=0 B. x﹣2y﹣1=0 C. x﹣y﹣2=0 D. x+y﹣4=0 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先代入切点的坐标求出 a,再求出圆心坐标,利用圆的切线与过切点的半径垂直求出 直线 l 的斜率,从而求出直线的方程. 解答: 解:将点 A(3,1)代入圆的方程得 a=4,
所有

2

2

∴圆心坐标为 O(2,0) ,KOA=

=1,∴切线 l 的斜率 K=﹣1.

∴直线 l 的方程为:y﹣1=﹣(x﹣3) , 即:y+x﹣4=0, 故选 D. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,关键是利用圆的切线与过切点的半径垂直求斜率. 7. (5 分) (2015?中山二模)已知条件 p:|x+1|>2, 条件 q:5x﹣6>x , 则¬p 是¬q 的 ( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2



考点: 充要条件;四种命题. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的两个命题,解不等式解出两个命题的 x 的值,从 x 的值的范围大小上判断 出两个命题之间的关系,从而看出两个非命题之间的关系.
所有

解答: 解:∵p:|x+1|>2, ∴x>1 或 x<﹣3 ∵q:5x﹣6>x , ∴2<x<3, ∴q?p, ∴﹣p?﹣q ∴﹣p 是﹣q 的充分不必要条件, 故选 A. 点评: 本题考查两个条件之间的关系,是一个基础题,这种题目经常出现在高考卷中,注意 利用变量的范围判断条件之间的关系. 8. (5 分) (2012?桂林一模)投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)
2 2

为纯虚数的概率为( A. B. C.

) D.

考点: 复数的基本概念;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 2 分析: 按多项式乘法运算法则展开,将(m+ni) 化简为 a+bi(a,b∈R)的形式,要求实部 为 0,虚部不为 0,求出 m、n 的关系,求出满足关系的基本事件的个数,求出概率即可.
所有

解答: 解:因为(m+ni) =m ﹣n +2mni,根据复数的基本概念,有实部为 0,且虚部显然不 2 2 为 0,所以 n =m 故 m=n 则可以取 1、2、3、4、5、6,共 6 种可能, 所以 P= = ,

2

2

2

故选 C. 点评: 本题考查复数的基本概念,古典概型及其概率计算公式,考查分析问题解决问题的能 力,是基础题. 9. (5 分) (2015 春?咸宁校级期中)如图所示的程序框图中,若 x=5,则输出 i 的值是( )

A.2

B.3

C .4

D.5

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图, 依次写出每次循环得到的 x, i 的值, 当 x=325 时满足条件 x>109, 退出循环,输出 i 的值为 4. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=5,i=0 x=13,i=1 不满足条件 x>109,x=37,i=2 不满足条件 x>109,x=109,i=3 不满足条件 x>109,x=325,i=4 满足条件 x>109,退出循环,输出 i 的值为 4. 故选:C. 点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的 x,i 的值是解题的关 键,属于基础题.
所有

10. (5 分) (2012?邯郸一模)设实数 x 和 y 满足约束条件

,则 z=2x+3y 的最小值

为( ) A. 26 B. 24 C. 16 D. 14 考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+3y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直 线 z=2x+3y 过可行域内的点 A 时,从而得到 z 值即可.
所有

解答: 解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+3y, 将最小值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+3y 经过点 A(4,2)时,z 最小, 最小值是:2×4+3×2=14. 故选 D.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思 想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出 可行域、求出关键点、定出最优解.

11. (5 分) (2015 春?咸宁校级期中)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直

线 x= (

与一条渐近线交于点 A,△ OAF 的面积为

(O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为

) A. 30° B. 45° C. 90° D. 60°

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的渐近线方程,求出交点 A 的坐标,结合三角形的面积求出 a,b 的关系 即可得到结论.
所有

解答: 解:双曲线的一条渐近线方程为 y= x,当 x= 即 A( , ) ,F(c,0) , = ,

时,y═

× =



则△ OAF 的面积 S=

即 b=a, 则双曲线的渐近线为 y=±x, 则渐近线互相垂直,则夹角为 90°, 故选:C.

点评: 本题主要考查双曲线的性质,根据条件求出渐近线方程是解决本题的关键.

12. (5 分) (2015?西安校级二模)椭圆 C:

=1 的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P 在 )

C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

所有

分析: 由题意求 A1、A2 的坐标,设出点 P 的坐标,代入求斜率,进而求 PA1 斜率的取值范 围. 解答: 解:由椭圆的标准方程可知, 左右顶点分别为 A1(﹣2,0) 、A2(2,0) , 设点 P(a,b) (a≠±2) ,则 =1…①, = , = ;



=

=



将①式代入得 ∵ ∴ ∈[﹣2,﹣1], ∈ .

=﹣ ,

故选:D. 点评: 本题考查了圆锥曲线的简单性质应用, 同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 2 13. (5 分) (2013 秋?瑞金市校级期末)若命题“?x∈R,x +ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取 值范围是 (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 考点: 特称命题. 专题: 计算题;转化思想. 2 分析: 根据所给的特称命题的否定任意实数 x,使 x +ax+1≥0,根据命题否定是假命题,得到 判别式大于 0,解不等式即可. 2 2 解答: 解:∵命题“存在实数 x,使 x +ax+1<0”的否定是任意实数 x,使 x +ax+1≥0, 命题否定是假命题, 2 ∴△=a ﹣4>0 ∴a<﹣2 或 a>2
所有

故答案为: (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 点评: 本题考查命题的真假,命题与命题的否定的真假相反,解题的关键是写出正确的全称 命题,并且根据这个命题是一个假命题,得到判别式的情况. 14. (5 分) (2015 春?咸宁校级期中)设函数 f(x)=x ﹣x﹣2,x∈[﹣5,5],那么任取一点 x0,使 f(x0)≤0 的概率为 .
2

考点: 专题: 分析: 解答:

几何概型. 概率与统计. 本题是几何概型的考查,只要明确事件对应的区间长度,利用长度比求概率. 解:由题意,本题符合几何概型,区间[﹣5,5]长度为 10,
所有

使 f(x0)≤0 即 x ﹣x﹣2≤0 的区间为[﹣1,2],长度为 3, 由几何概型公式得到,使 f(x0)≤0 的概率为 故答案为: . ;

2

点评: 本题考查了几何概型概率求法;关键是明确事件集合测度,本题是区间长度的比为概 率. 15. (5 分) (2013 春?越秀区校级期末)点 P(a,4)到直线 x﹣2y+2=0 的距离等于 2 在不等式 3x+y>3 表示的平面区域内,则 P 点坐标为 (16,4) . 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式和线性规划的知识即可得出.
所有

,且

解答: 解:由题意知



解得 a=16 或 a=﹣4. 又 P(a,4)在不等式 3x+y>3 表示的平面区域内, ∴a=16, ∴P(16,4) . 故答案为(16,4) . 点评: 熟练掌握点到直线的距离公式和线性规划的知识是解题的关键.

16. (5 分) (2012?湖北)如图,双曲线



=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端

点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A, B,C,D.则: (Ⅰ)双曲线的离心率 e= ;

(Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值

=



考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 综合题;压轴题.

所有

分析: (Ⅰ)直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为

,根据以

A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,可得

,由此可求双曲线的离心率;

(Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc,求出矩形 ABCD 的长与宽,从而求出面积 S2=4mn= ,由此可得结论.

解答: 解: (Ⅰ)直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为 ∵以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, ∴ ∴(c ﹣a )c =(2c ﹣a )a 4 2 2 4 ∴c ﹣3a c +a =0 4 2 ∴e ﹣3e +1=0 ∵e>1 ∴e= (Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc 设矩形 ABCD,BC=2n,BA=2m,∴ ∵m +n =a ,∴
2 2 2 2 2 2 2 2 2



∴面积 S2=4mn=



=
2 2

=
2

∵bc=a =c ﹣b ∴



=

故答案为:



点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定 几何量之间的关系. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 2 2 17. (10 分) (2013?潍坊模拟)已知 p:方程 x +mx+1=0 有两个不等的负实根,q:方程 4x +4 (m﹣2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假.求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 分类讨论. 分析: 根据题意,首先求得 p、q 为真时 m 的取值范围,再由题意 p,q 中有且仅有一为真, 一为假,分 p 假 q 真与 p 真 q 假两种情况分别讨论,最后综合可得答案. 解答: 解:由题意 p,q 中有且仅有一为真,一为假,
所有

若 p 为真,则其等价于

,解可得,m>2;

若 q 为真,则其等价于△ <0,即可得 1<m<3, 若 p 假 q 真,则 ,解可得 1<m≤2;

若 p 真 q 假,则

,解可得 m≥3;

综上所述:m∈(1,2]∪[3,+∞) . 点评: 本题考查命题复合真假的判断与运用,难点在于正确分析题意,转化为集合间的包含 关系,综合可得答案. 18. (12 分) (2012 秋?赤峰校级期末)已知点 M(3,1) ,直线 ax﹣y+4=0 及圆(x﹣1) +(y 2 ﹣2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax﹣y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax﹣y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 ,求 a 的值.
2

考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 综合题;直线与圆. 2 2 分析: (1)点 M(3,1)在圆(x﹣1) +(y﹣2) =4 外,故当 x=3 时满足与 M 相切,由 此能求出切线方程.
所有

(2)由 ax﹣y+4=0 与圆相切知

=2,由此能求出 a.

(3)圆心到直线的距离 d=

,l=2

,r=2,由 r =d +( ) ,能求出 a. = >2=圆半径 r,

2

2

2

解答: 解: (1)∵点 M(3,1)到圆心(1,2)的距离 d= 2 2 ∴点 M 在圆(x﹣1) +(y﹣2) =4 外, ∴当 x=3 时满足与 M 相切, 当斜率存在时设为 y﹣1=k(x﹣3) ,即 kx﹣y﹣3k+1=0, 由 ,∴k= .

∴所求的切线方程为 x=3 或 3x﹣4y﹣5=0. (5 分) (2)由 ax﹣y+4=0 与圆相切, 知 =2, (7 分)

解得 a=0 或 a= . (9 分) (3)圆心到直线的距离 d= 又 l=2
2

, (10 分)

,r=2,
2 2

∴由 r =d +( ) ,解得 a=﹣ . (12 分) 点评: 本题考查圆的切线方程的求法和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意点到直线 的距离、两点间距离等知识点的合理运用. 19. (12 分) (2013?广东)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布 表如下: 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 5 10 20 15 频数(个) (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个,其中重量在[80, 85)的有几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个 的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (1)用苹果的重量在[90,95)的频数除以样本容量,即为所求. (2)根据重量在[80,85)的频数所占的比例,求得重量在[80,85)的苹果的个数. (3)用列举法求出所有的基本事件的个数,再求出满足条件的事件的个数,即可得到所求事 件的概率.
所有

解答: 解: (1)苹果的重量在[90,95)的频率为 (2)重量在[80,85)的有 个.



(3)设这 4 个苹果中,重量在[80,85)段的有 1 个,编号为 1. 重量在[95,100)段的有 3 个,编号分别为 2、3、4,从中任取两个,可能的情况有: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种. 设任取 2 个,重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含有(1,2) (1,3) (1,4)共 3 种, 所以 .

点评: 本题考查古典概型问题,用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件,应用 列举法来解题是这一部分的最主要思想.本题还考查分层抽样的定义和方法,利用了 总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比,属于基础题.

20. (12 分) (2013 秋?西陵区校级期末)已知向量 =(﹣2,1) , =(x,y) . (Ⅰ)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现 的点数,求满足 ? =﹣1 的概率. (Ⅱ)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 ? <0 的概率. 考点: 几何概型. 专题: 概率与统计.
所有

分析: (1)本小题考查的知识点是古典概型,关键是要找出满足条件满足 ? =﹣1 的基本 事件个数,及总的基本事件的个数,再代入古典概型公式进行计算求解. (2)本小题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要画出满足条件的图形,结合图形分析, 找出满足条件的点集对应的图形面积,及图形的总面积. 解答: 解: (Ⅰ) 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次, 所包含的基本事件总数为 6×6=36 个; 由 a?b=﹣1 有﹣2x+y=﹣1,所以满足 a?b=﹣1 的基本事件为(1,1) , (2,3) , (3,5) ,共 3 个; 故满足 a?b=﹣1 的概率为 = .

(Ⅱ) 若 x, y 在连续区间[1, 6]上取值, 则全部基本事件的结果为 Ω={ (x, y) |1≤x≤6, 1≤y≤6}; 满足 a?b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且﹣2x+y<0};

画出图形如下图,

矩形的面积为 S 矩形=25,阴影部分的面积为 S 阴影=25﹣ ×2×4=21, 故满足 a?b<0 的概率为 .

点评: 古典概型要求所有结果出现的可能性都相等,强调所有结果中每一结果出现的概率都 相同.弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提,正确把握各个事件 的相互关系是解决问题的关键.解决问题的步骤是:计算满足条件的基本事件个数,及基本 事件的总个数,然后代入古典概型计算公式进行求解. 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这个“几何 度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件 对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 解. 21. (12 分) (2013 秋?保定期末) 直线 L 的倾斜角为 45°, 在 y 轴上的截距是 2, 抛物线 y =2px (p>0)上一点 P0(2,y0)到其焦点 F 的距离为 3,M 为抛物线上一动点,求动点 M 到直线 L 的距离的最小值. 考点: 抛物线的简单性质;点到直线的距离公式. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知条件,求出直线 L 的方程和抛物线方程,再由点到直线的距离公式能求出动点 M 到直线 L 的距离的最小值. 解答: 解:∵直线 L 的倾斜角为 45°,在 y 轴上的截距是 2, ∴L 的方程:y=x+2,即 x﹣y+2=0…(3 分) 2 ∵抛物线 y =2px(p>0)上一点 P0(2,y0)到其焦点 F 的距离为 3,
所有



2

∴由定义知:2+ =3,解得 P=2, ∴抛物线的方程是:y =4x.…(6 分) 设 M(x,y) ,则 M 到直线 L 的距离为
2

d=

=

=

=



,…(10 分)

当 y=2 时,“=”成立,此时 M(1,2) ,

∴动点 M 到直线 L 的距离的最小值是

.…(12 分)

点评: 本题考查点到直线的最小值的求法,解题时要熟练掌握直线方程、抛物线方程的求法, 是中档题.

22. (12 分) (2013 秋?保定期末)已知椭圆

+

=1(a>b>0) ,其左、右焦点分别为 F1、 .

F2,过 F1 作直线交椭圆于 P、Q 两点,△ F2PQ 的周长为 4 (1)若椭圆的离心率 e= (2)若 M 为椭圆上一点, ,求椭圆的方程; ?

=1,求△ MF1F2 的面积最大时的椭圆方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
所有

分析: (1)利用△ F2PQ 的周长为 4 椭圆的方程; (2)利用 ?

,求出 a,利用椭圆的离心率 e=

,求出 c,即可求

=1,得 x0 +y0 =c +1,结合 b x0 +a y0 =a b ,可得 c <2,进而可得 1≤c

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

<2,表示出△ MF1F2 的面积,利用函数的单调性,即可求最大值,从而得到椭圆方程. 解答: 解: (1)∵△F2PQ 的周长为 4 ,∴4a=4 , ∴a= , 又∵椭圆的离心率 e= ∴b= = , ,∴c=1,

∴椭圆的方程为

…(4 分)

(2)设 M(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c>0) , 由
2

?
2 2

=1,得 x0 +y0 =c +1 ①…(6 分)
2 2 2

2

2

2

又 b x0 +a y0 =a b ②…(7 分) 由 ①②可得 y0 =
2 2 2

=

…(8 分)

∵y0 >0,∴c <2. 2 2 2 2 2 2 2 又由①可知 x0 +y0 =c +1≥b =a ﹣c =3﹣c , 2 ∴c ≥1, 2 ∴1≤c <2.…(10 分) △ MF1F2 的面积= ?2c|y0|= =

由函数单调性知仅当 c =1 时△ MF1F2 的面积有最大值 此时 = …(11 分)

2



∴所求的椭圆方程为

…(12 分)

点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查椭圆的定义与几何性质,考查 三角形面积的计算,属于中档题



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