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3.3《直线的交点坐标和距离公式》导学案(人教A版必修2)



3.3《直线的交点坐标与距离公式》导学案
【学习目标】 1. 直线和直线的交点,二元一次方程组的解; 2.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。 3. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式,会用点到直线距离 公式求解两平行线距离。 【导入新课】 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一:由直线

方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系, 那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 新授课阶段 1. 两直线的交点坐标的求法 如果两条直线相交,联立方程组求 是一一对应的。 1. 若二元一次方程组有唯一解, l1 与 l2 相交。 2. 若二元一次方程组无解,则 l1 与 l2 平行。 3.若二元一次方程组有无数解,则 l1 与 l2 重合。 例 1 求下列两直线交点坐标: ,交点坐标与二元一次方程组的

l1 :3x+4y-2=0;
解:

l2 :2x+y +2=0。

例 2 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证 交点不可能在第一象限及 x 轴上. 分析:

解:

2. 两点间距离公式的推导

P P ? ? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ? 。过 P 平面直角坐标系中两点 P 1, P 2 的距离 1 2 1, P 2 分别向 x
2 2

轴和 y 轴作垂线,垂足分别为 N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, 0? ,直线 PN 1 1与P 2 M 2 相交于点 Q。

PP 在直角 ?PP 1 2Q 中, 1 2

2

? PQ ? QP2 ,为了计算其长度,过点 P1 向 x 轴作垂线, 1
,于是有

2

2

垂足为 M1 ? x1, 0? 过点 P2 向 y 轴作垂线,垂足为 N2 ? 0,y2 ?

PQ ? M 2 M 1 ? x2 ? x1 , QP2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 1
所以, P 1P 2
2

2

2

2

2

2

2

? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1

2

2

2

2

由此得到两点间的距离公式

例 3 以知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 PA 的 值。 解:

例 4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析:

证明:

3. 点到直线距离公式 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线=0 或 B=0 时,以上 公式 l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由
y R d Q o S x l P(x0,y0)

B PQ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为 (A≠0),根据点 A
斜式写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到 点 P 到直线 l 的距离为 d

此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨另一种方法 方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点

R( x1 , y0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) ,
由?

? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 得 x1 ? . A B ? Ax0 ? By2 ? C ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

Ax0 ? By0 ? C A

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax0 ? By0 ? C B
? A2 ? B 2 × | Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: AB

|RS|= PR ? PS
2

2

d· |RS|=|PR|· |PS|
所以 可证明,当 A=0 时仍适用 得到: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 例 5 求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。 解:

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

例 6 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形 ABC 的面积。 解:

4.平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
证明:

C1 ? C 2 A2 ? B 2

例 7 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 间的距离。 解:

课堂小结 1.直线与直线的位置关系, 求两直线的交点坐标, 能将几何问题转化为代数问题来解决, 并能进行应用。 2. 两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问题,建立直角 坐标系的重要性。 3. 点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化 为点到直线的距离公式。 作业 见同步练习部分 拓展提升

x ? 2 y ? 3 ? 0 x ? my ? 1 ? 0 1. 已知直线 3 和6 互相平行, 则它们之间的距离是 (
A. 4 B.



2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 13 26

2、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是(



A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0D. 3 x ? y ? 5 ? 0 3.已知直线 l1 的方程是 ax-y+b=0,l2 的方程是 bx-y-a=0(ab≠0,a≠b),则下列各示意图形 中,正确的是( )

4.直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移1个单位,所得到的直线为( A. y ? ?

)

1 1 x? 3 3

B. y ? ?

1 x ?1 3

C. y ? 3x ? 3

D. y ?

1 x ?1 3

5.若动点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 分别在直线 l1 : x ? y ? 7 ? 0 和 l 2 : x ? y ? 5 ? 0 上 移动,则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 2 )

6.点 A(1,3) ,B(5,-2) ,点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为( A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)

O B (O 7.过点 P(4,1) 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点 A 、B , 当 ?A
为原点)的面积 S 最小时,求直线 l 的方程,并求出 S 的最小值。

8.光线从 Q ? 2,0? 发出射到直线 l :x+y=4 上的 E 点,经 l 反射到 y 轴上 F 点,再经 y 轴 反射又回到 Q 点,求直线 EF 的方程。

9.在平面直角坐标系中, 已知矩形 ABCD 的长为2, 宽为1,AB 、AD 边分别在 x 轴、

y 轴的正半轴上, A 点与坐标原点重合 (如图所示) 。 将矩形折叠, 使 A 点落在线段 DC 上。
(1)若折痕所在直线的斜率为 k ,试求折痕所在直线的方程; (2)当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时,求折痕长的最大值; (3) 当 ?2 ? k ? ?1 时, 折痕为线段 PQ , 设 t ?k ( 2| P Q| 试求 t 的最大值。
2

1 )? ,

10. 过点(2,3)的直线 l 被两平行直线 l1 : 2x ? 5 y ? 9 ? 0, l2 : 2x ? 5 y ? 7 ? 0 所截得线段 AB 的中点恰好在直线 x ? 4 y ? 1 ? 0 上,求直线 l 的方程.

参考答案
新授课阶段 1. 两直线的交点坐标的求法 交点坐标 例1 解

解:联立方程组 解得 x=-2,y=2

? 0 ?3x ? 4y ? 2 ? ? 0 ?2 x ? 2y ? 2

所以 l1 与 l2 的交点坐标为 M(-2,2) ,如下图所示:
6

y
4

2

-5

5

x
-2

-4

例2 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围.

a ?1 a2 ?1 ? 0 ,则 a >1.当 a >1 时,- ? 0, 解:解方程组若 a ?1 a ?1
此时交点在第二象限内. 又因为 a 为任意实数时,都有 a ? 1 ? 1>0,故
2

a2 ?1 ≠0 a ?1

因为 a ≠1(否则两直线平行,无交点) , 所以,交点不可能在 x 轴上,得

a ?1 a2 ?1 , 交点(- ) a ?1 a ?1
2. 两点间距离公式的推导

PP 1 2 ?
例3

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

解:设所求点 P(x,0) ,于是有

? x ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2



2 2 得 x ? 2 x ? 5 ? x ? 4 x ? 11 解得 x=1。 P A? P B

所以,所求点 P(1,0)且

PA ?

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2



解法二:由已知得,线段 AB 的中点为 M? ,

? 1 2+ 7? ? ,直线 AB 的斜率为 ?2 2 ? ? ?
7 -2 3

-2 2+ 7 3 1? 2 2 ? k= 7 = ? ?x- ? PA= ? 1+2 ? +0-2 ? ? =22 3 2 2? 2- 7 ?
线段 AB 的垂直平分线的方程是 y-2+ 7= 3
2 1? ? ? ?x- ? 2? 2- 7 ?

在上述式子中,令 y=0,解得 x=1。 所以所求点 P 的坐标为(1,0) 。因此
PA= ? 1+2 ? +0-2 ? ? =2 2
2 2

例4 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数 运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化,并从中归纳出应用代数问题解决几何问 题的基本步骤。 证明: 以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系,有A(0, 0) 。 设B(a,0) ,D(b,c) ,由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c) , 因为

AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC
2 2, BD =?b-a? +c AC ? ? a ? b ? +c
2


2

2

2

2





2 2 2 所以, AB +CD +AD +BC =2a+b+c









?

?

AC +BD =2a+b+c ? 2 2 2? 所以,
2 2

AB +CD +AD +BC =AC +BD













因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以归纳如下: 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 3. 点到直线距离公式

在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线=0 或 B=0 时,以上 公式 l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为
y R d Q o S x l P(x0,y0)

B (A≠0),根据点 A

斜式写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到 点 P 到直线 l 的距离为 d 此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点

R( x1 , y0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) ,
由?

? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 得 x1 ? . A B Ax ? By ? C ? 0 2 ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

Ax0 ? By0 ? C A

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax0 ? By0 ? C B
? A2 ? B 2 × | Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: AB

|RS|= PR ? PS
2

2

d· |RS|=|PR|· |PS|
所以 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

可证明,当 A=0 时仍适用 得到: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 例5 解:d=

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

3 ? ? ?1? ? 2 32 ? 02

?

5 3

例6 解:设 AB 边上的高为 h,则 S ABC =

1 AB ? h 2

AB ?

? 3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。 AB 边所在直线方程为

y ? 3 X ?1 ? 1 ? 3 3 ?1
即 x+y-4=0。 点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h h=

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

5 , 2
1 5 ?2 2? ?5 2 2

因此,S ABC =

4.平行线间的距离公式 推导过程: 证明:设 P0 ( x0 , y0 ) 是直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 上任一点, 则点 P0 到直线 Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ? 又 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0 即 Ax0 ? By0 ? ?C2 ,∴d=

Ax0 ? By0 ? C1 A2 ? B 2

C1 ? C 2 A2 ? B 2

2 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离.
例7 解:因为 l1 ∥ l 2 又 C1 ? ?8, C2 ? ?10 . 由两平行线间的距离公式得 d ? 拓展提升

? 8 ? (?10) 2 2 ? 32

?

2 3 13

1. D 2. A

3.D

4.A

5. A

6.

B
x y 在直线 l 上, ? ? 1 , 又 ? P(4,1) a b

7.设 a(a,0),B(0,b),(a,b>0),则直线 l 的方程为:

?

4 1 4 1 4 1 ? ? 1 ,又?1 ? ? ? 2 ,? ab ? 16,? S ? ab ? 8 ,等号当且仅当 a b a b ab 2

4 1 1 ? ? , 即a ? 8, b ? 2 时成立,∴直线 l 的方程为:x+4y-8=0, Smin=8 a b 2
8.解:设 Q 关于 y 轴的对称点为 Q1 ,则 Q1 的坐标为 ? -2,0? 设 Q 关于 l 的对称点为 Q2 ? m, n ? ,则 QQ2 中点为 G (

?

m?2 n ? ? 4, 2 2 n ?1 又 QQ2 ? l ,? m?2
由①②得 Q2 (4, 2)

m?2 n , ) ,G 在 l 上 2 2

① ②

由物理学知识可知, Q1 、 Q2 在直线 EF 上,? k EF ? kQ1Q2 ?

1 3

1 ? 直线 EF 方程为: y ? ( x ? 2) ,即 x ? 3 y ? 2 ? 0 3
9、解:(1) ①当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ? ②当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G (a,1) , 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 有 kOG ? k ? ?1 ?

1 2

1 ? k ? ?1 ? a ? ? k a

故 G 点坐标为 G(?k ,1) , 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标 (线段 OG 的中点)为 M ( ? 折痕所在的直线方程 y ?

k 1 , ) 2 2

1 k k2 1 ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? 2 2 2 2
k2 1 ? 2 2

由①②得折痕所在的直线方程为: y ? kx ? (2)当 k ? 0 时,折痕的长为 2;

当 ?2 ? 3 ? k ? 0 时,折痕直线交 BC 于点 M (2,2k ?

k 2 ?1 k2 1 ? ) ,交 y 轴于 N (0, ) 2 2 2

∵ y ?| MN |2 ? 22 ? [

k2 ?1 k2 1 2 ? (2k ? ? )] ? 4 ? 4k 2 ? 4 ? 4(7 ? 4 3) ? 32 ? 16 3 2 2 2

∴折痕长度的最大值为 32 ? 16 3 ? 2( 6 ? 2) 。 而 2( 6 ? 2 ) ? 2 ,故折痕长度的最大值为 2( 6 ? 2 ) (3)当 ?2 ? k ? ?1 时,折痕直线交 DC 于 P( ∵ | PQ |2 ? 12 ? [ ? ∵ ?2 ? k ? ?1

k ?1 1 k , 0) ? ,1) ,交 x 轴于 Q(? 2k 2 2k
2

k2 ?1 1 k 1 ? ( ? )]2 ? 1 ? 2 2k 2k 2 k

∴ t ? k (2 | PQ | ?1) ? k ?
2

2 k

∴k ?

2 ? ?2 2 (当且仅当 k ? ? 2 ? (?2, ?1) 时取“=”号) k

∴当 k ? ? 2 时, t 取最大值, t 的最大值是 ?2 2 。 10 解: 与两平行直线 l1 : 2x ? 5 y ? 9 ? 0, l2 : 2x ? 5 y ? 7 ? 0 等距离的直线方程为

2x ? 5 y ?1 ? 0
解?

? x ? 4 y ?1 ? 0 ? x ? ?3 得交点 ? ?2 x ? 5 y ? 1 ? 0 ? y ? ?1
y ?1 x? 3 ? 3?1 2? 3
即 4x ? 5y ? 7 ? 0

则所求直线 l 的方程为



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