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中学数学竞赛大纲


初中数学竞赛大纲(修订稿) 初中数学竞赛大纲(修订稿) 数学竞赛对于开发学生智力,开拓视野,促进教学改革,提高教学水平,发现和培养 数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化,为了使全国 数学竞赛活动健康、持久地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特 制定《初中数学竞赛大纲(修订稿)》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定 的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出:“要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现 四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是:“对学有余力的学生,要通过课外活动或 开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学才能”,“要重视能力的培养……,着重培 养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、 演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时,要重视培养学生的独立思考和自学的 能力”。 《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的要求。除教学大纲所列内 容外,本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况,分 阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻“少而精”的原则,处理好普及与提高的 关系,这样才能加强基础,不断提高。

1、实数 十进制整数及表示方法。整除性,被 2、3、4、5、8、9、11 等数整除的判定。 素数和合数,最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数,奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法,约数个数的计算。 有理数的表示法,有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。

对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式,恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法,一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 简单的一次不定方程。 列方程(组)解应用题。 5、函数 y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及 y=ax2+bx+c 的图像和性质。 二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值,含字母系数的二次函数。 6、逻辑推理问题 抽屉原则(概念),分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。 简单的组合问题。 逻辑推理问题,反证法。 简单的极端原理。 简单的枚举法。 7、几何 四种命题及其关系。 三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系,不同三角形中的边角不等关系。 面积及等积变换。 三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质。

高中数学竞赛大纲(修订稿) 高中数学竞赛大纲(修订稿)

在“普及的基础上不断提高”的方针指引下, 全国数学竞赛活动方 兴未艾, 特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜 的成绩,使广大中小学师生和数学工作者为之振奋,热忱不断高涨, 数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、 健康、 逐步深入地开展, 应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员 的要求,特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和 基础上制定的。 《教学大纲》在教学日的一栏中指出:“要培养学生对 数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体 作法是:“对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种 方式,充分发展他们的数学才能”,“要重视能力的培养......,着重培 养学生的运算能力、 逻辑思维能力和空间想象能力, 要使学生逐步学 会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。 同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要 求。 在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力, 特别是 方法与技巧掌握的熟练程度,有更高的要求。而“课堂教学为主,课 外活动为辅”是必须遵循的原则。因此,本大纲所列的课外讲授内容 必须充分考虑学生的实际情况, 分阶段、 分层次让学生逐步地去掌握, 并且要贯彻“少而精”的原则,这样才能加强基础,不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲, 完全按照全日制中学 《数学教 学大纲》 中所规定的教学要求和内容, 即高考所规定的知识范围和方

法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 、 基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定 理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到 三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之 积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理: 在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。

第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。 n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式, 欧拉公式, 棣美弗定理, 单位根, 单位根的应用。 圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。 一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程 虚根成对定理。 简单的初等数论问题, 除初中大纲中所包括的内容外, 还应包括无 穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数, 费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。 3、立体几何 多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。 4、平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。 5、其它

抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。

国际数学奥林匹克 (International Mathematical Olympiad 简称 IMO) 在中学里进行数学竞赛有着悠久的历史,一般认为始于 1894 年由匈牙利数学界为纪念 数理学家厄特沃什-罗兰而组织的数学竞赛。而把数学竞赛与体育竞赛相提并论,与科学的 发源地--古希腊联系在一起的是前苏联,她把数学竞赛称为数学奥林匹克。20 世纪上半叶, 不同国家相继组织了各级各类的数学竞赛,先在学校,继之在地区,后来在全国进行,逐 步形成了金字塔式的竞赛系统。从各国的竞赛进一步发展,自然为形成最高一层的国际竞 赛创造了必要的条件。1956 年罗马尼亚数学家罗曼教授提出了倡议,并于 1959 年 7 月在罗 马尼亚举行了第一次国际奥林匹克数学(International Mathematical Olympiad 简称 IMO),当时只有保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联参加。以后每 年举行(中间只在 1980 年断过一次),参加的国家和地区逐渐增多,目前参加这项赛事的 代表队有 80 余支。我国第一次参加国际数学奥林匹克是在 1985 年。 经过 40 多年的发展,国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化,有了一整套约定俗成 的常规,并为历届东道主所遵循。 1、目的 激发青年人的数学才能;引起青年对数学的兴趣;发现科技人才的后备军;促进各国数学 教育的交流与发展。 2、时间 每年举办一届,时间定于7月. 3、主办 由参赛国轮流主办,经费由东道国提供。 4、对象 参赛选手为中学生,每支代表队有学生 6 人,另派 2 名数学家为领队。

5、试题 试题由各参赛国提供,然后由东道国精选后提交给主试委员会表决,产生 6 道试题。东道 国不提供试题。试题确定之后,写成英、法、德、俄文等工作语言,由领队译成本国文字。 6、考试 考试分两天进行,每天连续进行 4.5 小时,考 3 道题目。同一代表队的 6 名选手被分配到 6 个不同的考场,独立答题。答卷由本国领队评判,然后与组织者指定的协调员协商,如有 分歧,再请主试委员会仲裁。每道题 7 分,满分为 42 分。 7、奖励 竞赛设一等奖(金牌)、二等奖(银牌)、三等奖(铜牌),比例大致为 1:2:3;约有一 半的选手获奖。各届获奖的标准与当届考试的成绩有关。 IMO 不是队与队之间的比赛, 所以没有团体奖, 但各代表队都非常重视团体总分所处的名次, 从近年来的情况看,实力较强的是中、俄、美、德、罗等国家。 8、主试委员会 主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。这个主席通常是该国的数学权威。主 试委员会的职责有 7 条: 1)、选定试题; 2)、确定评分标准; 3)、用工作语言准确表达试题,并翻译、核准译成各参加国文字的试题; 4)、比赛期间,确定如何回答学生用书面提出的关于试题的疑问; 5)、解决个别领队与协调员之间在评分上的不同意见; 6)、决定奖牌的个数与分数线。


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