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1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数公式及四则运算(1)



1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则

一、复习
1.导数的几何意义: 曲线在某点处的切线的斜率;
物理意义: 物体在某一时刻的瞬时度。
(瞬时速度或瞬时加速度)

2、由定义求导数(三步法) 步骤:

(1) 求增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f

( x );
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x

?y (3) 当?x ? 0, ? f ?( x) ?x

二、新课 (一).导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, f’(x0) 是一个确定的数. 那么, 当x变化时, f’(x)

便是 x的一个函数, 我们叫它为f(x)的导函数.即:

?y f (x ? ?x) ? f (x) f ? ( x ) ? y ? ? lim ? lim ?x? 0 ? x ?x? 0 ?x
在不致发生混淆时,导函数也简称为导数.

函数 y ? f ( x )在点 x0处的导数 f ?( x0 ) 等于导函数 f ?( x )在点 x0处的函数值.

例:已知y ? x,求y?.
?y x ? ?x ? x 解:y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x x ?0 x
( x ? ?x ? x )( x ? ?x ? x ) ? lim x ?0 x( x ? ?x ? x )

? lim

?x ?0

1 1 ? . x ? ?x ? x 2 x

二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
?y 解 : y ? f ( x) ? C , ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? C ? C , ? 0, ?x ?y ? f ?( x) ? C ? ? lim ? 0. ?x ? 0 ?x

公式1: C ? = 0 (C为常数)

请同学们求下列函数的导数:

2) y ? f ( x) ? x, y ' ? 1 2 3) y ? f ( x) ? x , y ' ? 2 x 1 1 4) y ? f ( x) ? , y ' ? ? 2 x x
公式2:

表示y=x图象上每一点 处的切线斜率都为1

这又说明什么?

( x )? ? nx (n ? Q.)
n n ?1

公式3:

(sin x)? ? cos x

公式4:

(cos x)? ? ? sin x

公式5:对数函数的导数

1 (1) (log a x)? ? (a ? 0, a ? 1). x ln a 1 (2) (ln x)? ? . x

公式6:指数函数的导数

(1) (a )? ? a ln a(a ? 0, a ? 1).
x x

(2)

(e )? ? e .
x x

注意:关于a x 和x a 是两个不同 的函数,例如:

(1)(3 )? ? 3 ln a
x

x

(2)(x )? ? 3 x
3

2

总结:我们今后可以直接使用的基本初等函数 的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

例1:求下列函数的导数

(1) y ? x

?5

(2) y ? x x x

例2: (1)已知y ? x , 求f ?(2).
3
3 ? 3 ?1 2 ? 解:? y ? ( x ) ? 3 x ? 3x
2 ? ? f (2) ? 3? (2) ? 12

解:? y? ? ( x )? ? ?2 x
?3

1 (2)已知y ? 2 , 求f ?(3). x
?2 ?2 ? 1

? ?2 x

?3

1 2 ? f ?(3) ? ?2 ? (3) ? ?2 ? ? ? 27 27

例3.求下列函数的导数
(1) y ? sin( ? x) 2 (3) y ? cos(2? ? x)

?

(2) y ? sin

?
3

例4.求下列函数的导数

(1) y ? 4

x

(2) y ? log x
3

(三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的 (1) [ f ( x) ? g ( x)]'? f ' ( x) ? g ' ( x); (2) ( f ( x) g ( x))
'

? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' '

f ( x) ' f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) (3) ( g ( x) ) ? 2 g ( x)
特殊地

'

'

(cf ( x)) ? cf ( x)(c为常数)
' '

g ? x? 1 ' ( ) ?? 2 g ( x) g ( x)
'

注意:1、前提条件导数存在; 2、和差导数可推广到任意有限个; 3、商的导数右侧分子中间“-”, 先 子导再母导。

例1求 f ( x) ? x ? 2 x ? sin x 在 x ? 0 时的导数 .
3 2

例2

设 y = xlnx , 求 y ?.

例3


x ?1 设 y ? x 2 ? 1 , 求 y ?.

根据除法公式,有
2 2 ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1)? ? ( x ? 1)?( x ? 1) y? ? ? 2 ? ? 2 2 x ? 1 ( x ? 1 ) ? ?

?

( x 2 ? 1)[(x )? ? (1)?] ? [( x 2 )? ? (1)?]( x ? 1) ? ( x 2 ? 1)2

( x 2 ? 1) ? 2 x( x ? 1) 2 x ? x 2 ? 1 ? ? . 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

? 1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( ) 3 2
的切线的直线方程.
? ?
解: ? f ( x) ? cos x,? f ?( x) ? ? sin x, 3 ? f ?( ) ? ? sin ? ? . 3 3 2 ? 1

切线问题

3 故曲线在点 P( , )处的切线斜率为? , 3 2 2 1 3 ? ? 所求的直线方程为 y? ?? ( x ? ), 2 2 3 3? 即 3x ? 2 y ? 1 ? ? 0. 3

2.

如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y? | x=x0 =(x3+x-10)? | x=x0 =3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=?1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).

切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.

3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3
的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.
所以a?(-1/2)2=1,

即:a=4

练习: 1 若直线y ? ? x ? b为函数y ? 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.

4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线
C 相切于点 (x0, y0)(x0?0), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由直线 l 过点(x0, y0),其斜率 k= x , 0 ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y?=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y?|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 3 (∵x0?0). 2 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 , - 3 ). 切点坐标是 ( ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x , 8 2 4

5.已知直线y ? x ? 1, 点P为y ? x 上任意一点,
2

求P在什么位置时到直线的距离最短 ?

1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 1 ?3 ?4 ? ? ? 解:y ? 3 , y ? ( 3 ) ? ( x ) ? ?3 x ; x x ?曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k ? y? | x ?1 ? ?3,
从而切线方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1),即3 x ? y ? 4 ? 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? (?4) | 32 ? 1 ? 10 ?| b ? 4 |? 10,? b ? 6或b ? ?14;

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.

1、设 f (x) = (1+x)(1+2x)

? ? ? (1+10x),

求 f' (0) .

2、求曲线

y ? 2x ? x

3

上与

x轴

平行的切线方程.

f(x)=(x-1)(x-2)…(x-9)(x-10)


f (10) ?

'

9!

3.求曲线 3 y ? 2x ? x 程.

上与 轴平行的切线方

x

解:

k ?0

y? ? 2 ? 3 x 2

令 y? ? 0

? 2 ? 3x2 ? 0

2 x1 ? 3

2 x2 ? ? 3

? 2 4 6? 切点为 ? , ? ? 3 9 ?

2 4 6? ? ?? , ? ? 3 9 ? ?

4 6 4 6 所求切线方程为 y ? 和 y?? 9 9

4 、 求曲线y=xlnx平行于x-y+1=0的切线方程
解:设切点p? x0 y0 ? ∴ 切线的斜率为1

y' ? ( x ln x) ? ( x) ln x ? x(ln x) ? ln x ? 1
' ' '

∴ 1 ? ln x0 ? 1 ∴ ln x0 ? 0 ∴ x0 ? 1 y0 ? 0 ∴ 切线方程为y=x-1

即x-y-1=0

5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
的最短距离
解:设曲线点在 p? x0 y0 ? 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求

2 ∵ y ? 2x ?1
'



2 2 x0 ? 1

?2

∴ x0 ? 1

∴切点为(1,0)

∴ d min

5 ? ? 5 5

小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

注意:牢记公式呦

弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

三、巩固练习
1、函数 f ( x) ? sin ? ? cos x 则
f ' (? ) ?
2

2? x ' x y ? 2 2 2、函数 y ? 2 的导数是 ( 2 ? x ? x ) x ?x?2

sin 2 x ? 2 x 3、函数 y ? x tan x 的导数是 y ? 2 2 cos x
'

2x 4、函数 f ( x) ? 2 1 ? ax

f ' (1) ? 2

则 a=

0或3

5、求下列函数的导数 (1)y=xsinx ' ' 解: y ? ( x sin x)
'

(2)y=tanx
'

? x sin x ? x(sin x) ? sin x ? x cos x
'

'

sin x ' ) 解: y ? ( cos x
(sin x) cos x ? sin x(cos x) ? 2 cos x
cos x ? sin x ? 2 cos x
2 2

'

1 ? 2 cos x

6、求下列函数的导数
(1)y (2) (3) (4)

? (3x ? 2)( x ? 5) y ? 9 x ? 30 x ? 2
2

'

2

y ? (5 x ? 7)(3x ? 8)
3

y ? 60 x ? 120 x ? 21
' 3 2

x y? 2 x ?1
sin x y? x

1? x y ? 2 2 ( x ? 1)
' 2

x cos x ? sin x y ? 2 x
'

7、(1)已知 f ( x) ? ax ? 3x ? 2 若 f (?1) ? 4 则a=( D )
3 2

'

A

19 3

B

16 3

C

13 3

D

10 3

ax ' ? f ( x) ? (2) 若 f ( )?3 sin x 2

则a=( B ) D -2

A6

B3 C0



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