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排列组合与概率知识点及例题


排列组合与概率知识点及例题
(一)高中数学第十一章-高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决 排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列 与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处 理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应 用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类 办法中有 m2 种不同的方法,?,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么 完成这件事共有:
N ? m1 ? m2 ? ? ? mn

种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步 有 m2 种不同的方法,?,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共 有:
N ? m1 ? m2 ??? mn

种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能 完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时 进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数 是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的 解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了 这两个位置. 1 先排末位共有 C3 1 然后排首位共有 C4 1 3 1 C4 A4 C3 最后排其它位置共有 A43 1 1 3 由分步计数原理得 C4C3 A4 ? 288
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需 先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位 置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间, 也不 种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成 一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自 排。由分步计数原理可得共有 A55 A22 A22 ? 480 种不同的排法
甲 乙 丙 丁

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的 不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出 场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5 种, 第二步将 4 舞蹈插 5 4 入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种 A 6 不同的方法, 4 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 5 A 6 种 5
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 端

练习题:某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了

两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相 邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其 他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的 全排列数,则共有不同排法种数是: A 7 / A 3 7 3 4 (空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法, 其
4 余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共 有 方法
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理

练习题:10 人身高各不相等,排成前后排, 每排 5 人,要求从左至右身高逐渐 增加,共有多少排法?
5 C10

五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名 实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 76 种不同 的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m 种
n

练习题: 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两 个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 42 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯 的方法 78 六.环排问题线排策略 例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固 定一人 A 4 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有 (8-1)种排法即 7 ! ! 4

C D E F G H B A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆 形排列共有

1 m An n

练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排 法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特 殊元素有 A 2 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A14 种,其余的 5 人 4 在 5 个位置上任意排列有 A 5 种,则共有 A 2 A1 A 5 种 5 4 4 5

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研 究.

练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座 规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,那么 不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少 不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C52 种方法.再把 4 个元素 (包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 种方法,根据分步计 4
4 数原理装球的方法共有 C52 A 4

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不 同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不 同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,5在 两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法,再排小集 2 团内部共有 A 2 A 2 种排法,由分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2 种排法. 2 2 2 2 2
1524
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一 行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端, 那么共有陈列方式的种数为 A 2 A 5 A 4 2 5 4 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 A 5 A 5 种 2 5 5 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额, 分给 7 个班, 每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9 个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份, 对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C96 种分 法。

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

将 n 个相同的元素分成 m 份(n,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板,
m 插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中,所有分法数为 Cn??1 1

练习题: 1. 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? C94 3 2 . x ? y ? z ? w ? 100 求这个方程组的自然数解的组数 C103 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数, 使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这

十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 3 1 1 2 3 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C52 ,和为偶数的取法共有 C5C5 ? C5 。再淘
1 汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C5C52 ? C53 ? 9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出 它的反面,再从整体中淘汰.

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至 少有一人在内的 抽法有多少种? 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C62C42C22 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记 2 2 2 为 (AB,CD,EF), 则 中 还 有 C6 C4 C2 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共 有 2 2 2 3 A 3 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 C6 C4 C2 / A 3 3 种分法。
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 n 组数)避免重复计数。

练习题: 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法? 5 2 ( C13C84C44 / A 2 ) 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一 组,有多少种不同的 分组方法 (1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年 级的两个班级且每班安 2 排 2 名,则不同的安排方案种数为______( C42C22 A6 / A 2? 90 ) 2 十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演 出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱 歌人员为标准进行研究

只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C32C32 种,只会唱的 5 人中
1 1 只有 1 人选上唱歌人员 C5C3C42 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌

人员有 C52C52 种,由分类计数原理共有
2 2 1 1 2 2 2 C3 C3 ? C5C3C4 ? C5 C5 种。

解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做 到标准明确。分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会,若这 4 人中必 须既有男生又有女生,则不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只 能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人 共有多少乘船方法. (27) 本题还有如下分类标准: *以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足 条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的 灯有 C53 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒 模型等,可使问题直观解决

练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么 不同的坐法有多少种?(120) 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的 编号与盒子的编号相同,有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C52 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对 应,利用实际操作法,如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4

号盒时,则 4,5 号球有只有 1 种装法,同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C52 种

5
3 号盒

3
4 号盒

4
5 号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果

练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺 年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? (9) 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着 色方法有 72 种
1 3 2 5 4

十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个 组成乘积, 1 所有的偶因数为: C5 ? C52 ? C53 ? C54 ? C55 练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C84 ?12 ? 58 , 每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 3 ? 58 ? 174 对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题 逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到 问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

十七.化归策略

例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同 一列,不同的选法有多少种? 解: 将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不 在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的 一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从 3 1 1 ×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C11 种。再从 5×5 方阵选出 3×3 方 阵便可解决问题.从 5×5 方队中选取 3 行 3 列有 C53C53 选法所以从 5
1 1 ×5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有 C53C53C3C2C11 选法。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简 要的问题, 通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法, 从而进下一步解决原来的问题

练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从 A 走到 B 的最短路径有多少种?( C73 ? 35 )

B

A
十八.数字排序问题查字典策略 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数? 解: N ? 2 A55 ? 2 A44 ? A33 ? A22 ? A11 ? 297
数字排序问题可用查字典法,查字典的法 应从高位向低位查,依次求出其符合要求 的个数,根据分类计数原理求出其总数。

练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从 小到大排列起来,第 71 个数是 3140 十九.树图策略 例 19.3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球 N ? 10 仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用 公式进行运算,树图会收到意想不到的结果

练习: 分别编有 1, 3, 5 号码的人与椅, 2, 4, 其中 i 号人不坐 i 号椅 i ? 1,2,3,4,5 ) ( 的不同坐法有多少种? N ? 44 二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现 从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 解: 红 1 1 1 2 2 3
黄 兰 取法 1 3
1 1 C5 C 4

2 2
1 2 C5 C 4

3 1
1 3 C5 C 4

1 2
1 C52 C3

2 1
2 2 C5 C3

1 1
3 1 C5 C 2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗 漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效 果.

二十一:住店法策略 解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另 一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”, 再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能 的种数有 . 分析:因同一学生可以同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将七名学 生看作 7 家“店”,五项冠军看作 5 名“客”,每个“客”有 7 种住宿法, 由乘法原理得 7 5 种.

小结 本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列 组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合 题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以 验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可 以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种 策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为后 续学习打下坚实的基础。 概率知识要点 3.1.随机事件的概率

3.1.1 随机事件的概率 1、必然事件:一般地,把在条件 S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件。 2、不可能事件:把在条件 S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的 不可能事件。 3、确定事件:必然事件和不可能事件统称相对于条件 S 的确定事件。 4、随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件。 5、频数:在相同条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数。 6、频率:事件 A 出现的比例

f

n

( A)= n A 。 n

7、概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.

3.1.2 概率的意义 1、概率的正确解释:随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性 中含有规律性。认识了这种随机中的规律性,可以比较准确地预测随机事 件发生的可能性。 2、游戏的公平性:抽签的公平性。 3、决策中的概率思想:从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务,那 么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件 4、天气预报的概率解释:明天本地降水概率为 70%解释是“明天本地下雨 的机会是 70%” 。

5、试验与发现:孟德尔的豌豆试验。 6、遗传机理中的统计规律。

3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 (1)包含。对于事件 A 与事件 B,如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生, 称事件 B 包含事件 A(或事件 A 包含于事件 B) ,记作 B ? A(或A ? B)。 不可能事件记作 ? 。 (2)相等。若 B ? A且A ? B ,则称事件 A 与事件 B 相等,记作 A=B。 (3)事件 A 与事件 B 的并事件(和事件) :某事件发生当且仅当事件 A 发 生或事件 B 发生。 (4)事件 A 与事件 B 的交事件(积事件) :某事件发生当且仅当事件 A 发 生且事件 B 发生。 (5)事件 A 与事件 B 互斥: A ? B 为不可能事件,即 A ? B=? ,即事件 A 与 事件 B 在任何一次试验中并不会同时发生。 (6)事件 A 与事件 B 互为对立事件: A ? B 为不可能事件, A ? B 为必然事 件,即事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。

2、概率的几个基本性质 (1) 0 ? P( A) ? 1. (2)必然事件的概率为 1. P( E ) ? 1. (3)不可能事件的概率为 0. P( F ) ? 0 . (4)事件 A 与事件 B 互斥时,P(A ? B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。 (5)若事件 B 与事件 A 互为对立事件, ,则 A ? B 为必然事件, P( A ? B) ? 1 .

3.2 古典概型 3.2.1 古典概型 1、基本事件: 基本事件的特点: (1)任何两个事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本时间 的和。 2、古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。 具有这两个特点的概率模型称为古典概型。 3、公式: P( A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数

3.2.2 (整数值)随机数的产生 如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数?——书上例 题。

3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 1、几何概型:每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度(面积或 体积)成比例的概率模型。 2、几何概型中,事件 A 发生的概率计算公式:
P( A) ? 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3.3.2 均匀随机数的产生 常用的是 ?0,1? 上的均匀随机数,可以用计算器来产生 0~1 之间的均匀随机

数。 本章知识小结

随机事件

频率

概率,概率的意 义与性质

古典概型

几何概型

应 用 概 率 解 决 实 际 问 题

随机数与随机模拟

(1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一 步了解概率的意义以及频率与概率的区别。 (2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式。 (3)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随 机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 (4)了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行 模拟)估计概率,初步体会几何概型的意义(参见例 3) 。 (5)通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程。 重难点的归纳: 重点: 1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,正确理解概率的意义. 2、理解古典概型及其概率计算公式.

3、关于几何概型的概率计算 4、体会随机模拟中的统计思想:用样本估计总体. 难点: 1、理解频率与概率的关系. 2、设计和运用模拟方法近似计算概率. 3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.

(二)高考概率 概率考试内容:随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个 发生的概率.相互独立事件同时发生的概率.独立重复试验.

考试要求: (1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些 等可能性事件的 概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式 与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 κ 次的概率.

以下归纳 9 个常见考点: 解析概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体,以 排列组合和概率 统计等知识为工具,以考查对五个概率事件的判断识别及 其概率的计算和随机变量概率分 布列性质及其应用为目标的中档师,预计 这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。

下面对其常见题型和考点进行解析。 考点 1 考查等可能事件概率计算。 在一次实验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都 相等。如果事件 A 包含的结果有 m 个,那么 P ( A) ? 的判断方法及其概率的计 n 算公式。 高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析 和解决实际问题的能力。 例 1(2004 天津)从 4 名男生和 2 名女生中任 3 人参加演讲比赛. (I)求所选 3 人都是男生的概率; (II)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (III)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.
m 。这就是等可能事件 n

考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。 不可能同时发生的两个事件 A、 叫做互斥事件, B 它们至少有一个发生 的事件为 A+B,用概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)计算。 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,则 A、 B 叫做相互独立事件,它们同时发生的事件为 AB。用概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)计算。 高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率 的综合计算能力进行考查。 例 2.(2005 全国卷Ⅲ)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有 影响。已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需 要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照顾的概率为 0.125, (Ⅰ)求甲、乙、

丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少; (Ⅱ)计算这个小时 内至少有一台需要照顾的概率。

考点 3 考查对立事件概率计算。 必有一个发生的两个互斥事件 A、 叫做互为对立事件。 B 用概率的减法 公式 P(A)=1-P(A)计算其概率。 高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算 进行考查。 例 3.(2005 福建卷文)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 和 。 (Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的 概率;
1 2 2 5

考点 4 考查独立重复试验概率计算。 若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结 果,则此试验叫做 n 次独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率 为 P,则在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)= Pn ( A) ? Cnk pk (1 ? p)n?k 。 高考结合实际应用问题考查 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次 的概率的计算方法 和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 例 4. (2005 湖北卷)某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只, 且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯

泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概率为 p2。从使用之日 起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换。 (Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡 的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要 更换灯泡的概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作, 至少需要更换 4 只灯泡的概率(结果保留两个有效数字)

考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算。 解决此类问题时,首先应明确随机变量可能取哪些值,然后按照相互 独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分 布列,最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变 量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决 实际问题的能力。 例 5. (2005 湖北卷)某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试 者一年之内最多有 4 次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾 照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第 4 次为止。如果李明决定参 加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9,求 在一年内李明参加驾照考试次数 ξ 的分布列和 ξ 的期望, 并求李明在一年内 领到驾照的概率。

考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1、考查随机变量概率分布列与函数结合。 例 6.(2005 湖南卷)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这 三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,

设 ξ 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对 值。 (Ⅰ)求 ξ 的分布及数学期望; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x2-3ξx+1 在区间[2,+∞)上单调递增”为事件 A,求 事件 A 的概率。

2、考查随机变量概率分布列与数列结合。 例 7 甲乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立事件,规则 如下:若射击一次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方 接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为 7,且第一次由甲开始射 击。 (1)求前 4 次射击中,甲恰好射击 3 次的概率。 (2)若第 n 次由甲射击的概率为 a n ,求数列{ a n }的通项公式;求 lim a n , 并说明极 n→∞限值的实际意义。

3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。 例 8(2005 辽宁卷)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一 和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结 果均有 A、B 两个等级对每种产品,两道工序的加工结果都为 A 级时,产 品为一等品,其余均为二等品。 (Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表一所 示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概 P(甲)、P(乙); (Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ、η 分别表示一件甲、乙产品 的利润,在(I)的条件下,求 ξ、η 的分布列及 Eξ、Eη;

(Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名,可用资金 60 万元。设 x、y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(II) 的条件下,y 为何值时,z=xEξ + yEη x 最大?最大值是多少?(解答时须 给出图示) 考查随机变量概率分布列性质 性质应用

考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用。 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值 的概率之和.,高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用 进行考查。 例 9(2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛 规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确得 0 分。假设这名同学每 题回答正确的概率均为 0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.。 ①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望; ②求这名同学总得分不为负分(即 ξ≥0)的概率。

考点 8 样本抽样识别与计算。 简单随机抽样,系统抽样,分层抽样得共同特点是不放回抽样,且各 个体被抽取得概率相等,均为
n (N 为总体个体数,n 为样本容量)。系统抽 N

样、分层抽样的实质分别是等距抽样与按比例抽样,只需按照定义,适用 范围和抽样步骤进行,就可得到符合条件的样本。 高考常结合应用问题,考查构照抽样模型,识别图形,搜集数据,处 理材料等研究性学习的能力。

例 11 (2005 年湖北湖北高考题)某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查, 考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽 样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,270; 使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,…,270,并将整个编号依次 分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142, 169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111, 138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是 () A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样

考点 9 考查直方图。这是统计的知识,不是概率的吧? 例 12.(2005 江西卷)为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该 校 100 名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,如右,由于不慎将 部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成等差数 列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a、b 的值分 别为() A.0,27,78 B.0,27,83 C.2.7,78 D.2.7,83

方法小结:

解决概率问题时, 一定要根据有关概念, 判断问题是否是等可能性事件、 互斥事件、相互独立事件,还是某一事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的情况,以便选择正确的计算方法,同时注意上述各类事件的综合问题, 要全面考虑,特别是近几年高考概率与期望的综合,体现了高考对概率知 识要求的进一步提高。下面仅以几个例题作以小结。 一、用排列组合求概率 例 1 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数, 这个三位数不能被 3 整除的概率为() (A)19/54 (B)35/5 (C)38/54 (D)41/60

分析:等可能事件的概率关键是利用排列组合出基本事件数。 答案:B 点评:本题将等可能事件与对立事件的概率,以及分类讨论综合在一起, 体现了知识交汇点的命题精神,是高考的热点。 二、互斥事件有一个发生的概率 例 2 某厂生产 A 产品,每盒 10 只进行包装,每盒产品都需要检验合格后才能 出厂,规定以下,从每盒 10 只中任意抽 4 只进行检验,如果次品数不超过 1 只, 就认为合格,否则就认为不合格,已经知道某盒 A 产品中有 2 只次品 (1)求该盒产品被检验合格的概率 (2)若对该盒产品分别进行两次检验,求两次检验的结果不一致的概率 分析:对一个复杂事件的概率可以分拆成几个互斥事件的概率或者转化为 求其对立事件的概率。 点评:求相互独立事件同时发生的概率,要保证两者确是“相互独立”事 件。本例的“比赛型”题,分析比较简单,只要结合有关比赛规则即可解 决,此类题也是高考的热点题。

三、对立重复试验 例 3 一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有 5 个交通岗,假设他在交通 岗遇到红灯是相互独立的,且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为 p, 其余 3 个交通岗遇到红灯的概率均为 。 (1) 若 p=2/3,求该学生在第三个交通岗第一遇到红灯的概率; (2) 若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过 5/18,求 p 的取值范围。 分析:首末两个交通岗遇红灯的概率相同,其余 3 个交通岗遇红灯的概率 也相同,可看作独立重复试验。 点评:要注意恰有 k 次发生和某指定的 k 次发生的差异。对独立重复试验 来说,前者的概率为
1 2

总结:概率初步的考题一般以(1)等可能事件; (2)互斥事件有一个发生; (3)相互独立事件同时发生; (4)独立重复试验为载体。有的考题可能综 合多个概率题型;在等可能事件的概率计算中,关键有二:一是谁是一次 试验(一次事件所含的基本事件的总数) ;二是事件 A 所含基本事件数。当 然,所有基本事件是等可能的是前提;善于将复杂的事件分解为互斥事件 的和与独立事件的积是解题的关键。

(三)高考数学概率中的易错题辨析 一、概念理解不清致错 例 1.抛掷一枚均匀的骰子,若事件 A: “朝上一面为奇数” ,事件 B: “朝上一面的点数不超过 3” ,求 P(A+B) 错误解法 1:事件 A:朝上一面的点数是 1,3,5;事件 B:趄上一面

的点数为 1,2,3,∴P(A+B)=P(A)+P(B)= 3 ? 3 ? 1
6 6

2

错因分析:事件 A:朝上一面的点数是 1,3,5;事件 B:趄上一面的 点数为 1,2,3,很明显,事件 A 与事件 B 不是互斥事件。 即 P(A+B)≠P(A)+P(B) ,所以上解是错误的。实际上: 正确解法为:A+B 包含:朝上一面的点数为 1,2,3,5 四种情况 ∴P(A+B)= 4 ? 2
6 3

错误解法 2:事件 A:朝上一面的点数为 1,3,5;事件 B:朝上一面 的点数为 1,2,3,即以 A、B 事件中重复的点数 1、3 ∴P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B) =1?1?1?1?3
2 2 2 2 4
6

错因分析:A、B 事件中重复点数为 1、3,所以 P(A·B)= 2 ;这种 错 误 解 法 在 于 简 单 地 类 比 应 用 容 斥 原 理
C a A ? B)d C ( r ? a A) r C d a B) r C d a A ? B)d ( ? ( ? ( r 致错

正确解答:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B) =1?1?2?2
2 2 6 3
?1, (当第n次掷出偶数) 掷奇 ?? 1, (当第n次出数 )

例 2. 某人抛掷一枚均匀骰子, 构造数列 {an } , an ? ? 使 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an 求 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 且 S8 ? 2 的概率。



错解:记事件 A: S8 ? 2 ,即前 8 项中,5 项取值 1,另 3 项取值-1 ∴ S8 ? 2 的概率 P( A) ? C85 ? ( 1 ) 8
2

记事件 B: S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ,将 S i ? 0(i ? 1,2,3,4) 分为两种情形: (1)若第 1、2 项取值为 1,则 3,4 项的取值任意 (2)若第 1 项为 1,第 2 项为-1,则第 3 项必为 1 第四项任意 ∴P(B)= ( 1 ) 2 ? ( 1 ) 3 ? 3
2 2 8

∴所求事件的概率为 P=P(A) ·P(B)= 3 ? C85 ? ( 1 )8
8 2

错因分析: S i ? 0 且 S8 ? 2 是同一事件的两个关联的条件,而不是两个相 互独立事件。 S i ? 0 对 S8 ? 2 的概率是有影响的,所以解答应为: 正解:∵ S i ? 0(i ? 1,2,3,4) ∴前 4 项的取值分为两种情形
2

3 ①若 1、 项为 1; 3 则余下 6 项中 3 项为 1, 3 项为-1 即可。 P1 ? C6 ? ( 1 ) 8 ; 另 即

②若 1、2 项为正,为避免与第①类重复,则第 3 项必为-1, 则后 5 项中只须 3 项为 1,余下 2 项为-1,即 P2 ? C53 ? ( 1 )8 ,
2

∴所求事件的概率为 P ? (C 63 ? C 53 ) ? ( 二、有序与无序不分致错

1 8 15 ) ? 7 2 2

例 3.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选 择题 6 个,判断题 4 个,甲、乙依次各抽一题。 求: (1)甲抽到选择题,乙提到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有 1 人抽到选择题的概率是多少?
1 错误解法: (1)甲从选择题抽到一题的结果为 C6 1 乙从判断题中抽到一题的结果为 C4 2 而甲、乙依次抽到一题的结果为 C10
1 1 C6C4 2 C10

∴所求概率为:

?

8 15

错因分析: 甲、 乙依次从 10 个题目各抽一题的结果, 应当是先选后排,
2 所以应为 A10 。为避免错误,对于基本事件总数也可这样做:甲抽取一道题 1 1 目的结果应为 C10 种,乙再抽取余下的 9 道题中的任一道的结果应为 C9 种,

所以 正确解答:
1 1 C6 C 4 1 1 C10 C9

?

4 15

(2)错误解法:从对立事件考虑,甲、乙都抽到判断题的结果为 C 42 种, 所以都抽到判断题的概率为
2 C4 1 1 C10 C9

?

1 ,所求事件的概率为 1 ? 1 ? 14 15 15 15

错因分析:指定事件中指明甲、乙依次各抽一题,那么甲、乙都提到
1 1 判断题的结果应为 C 4 C3 种,所以所求事件概率应为 1 ?
1 1 C 4 C3 1 1 C10 C 9

?

2 15

说明:对于第(2)问,我们也可以用这样解答:
1?
2 C4 2 C10

?

2 ,这里启示我们,当基本事件是有序的,则指定事件是有序 15

的(指定事件包含在基本事件中) ;当基本事件是无序的,则指定事件也必 无序。关键在于基本事件认识角度必须准确。 例 4.已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、 B 两组,每组 4 支,求:A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率。 错解:将 8 支球队均分为 A、B 两组,共有 C84 C 44 种方法:A、B 两组中 有一组恰有两支弱队的分法为:先从 3 支弱队取 2 支弱队,又从 5 支强队 取 2 支强队,组成这一组共有 C 52 C 32 种方法,其它球队分在另一组,只有一 种分法。 ∴所求事件的概率为:
2 2 C5 C 2 4 4 C8 C 4

?

3 。 7

错因分析:从基本事件的结果数来看,分组是讲求顺序的,那么指定 事件: “A、B 组中有一组有 2 支弱队”应分为两种情形。即“A 组有”或 “B 组有” ,所以正确解答为: 正解:
2 2 2C5 C 2 4 4 C8 C 4

?

6 7



2 2 C5 C 2 4 4 C8 C 4

/

2 A2

?

6 7

说明:这道题也可从对立事件求解:
1 1 3 支弱队分法同一组共有: C5 ? C5 种结果。

∴所求事件概率为 1 ? 三、分步与分类不清致错

1 1 C5 ? C5 4 4 C8 C 4

?

6 7

例 5.某人有 5 把不同的钥匙,逐把地试开某房门锁,试问他恰在第 3 次打开房门的概率? 错误解法:由于此人第一次开房门的概率为 1 ,若第一次未开,第 2
5

次能打开房门的概率应为 1 ;所以此人第 4

3 次打开房门的概率为 1 。
3

错因分析:此人第 3 次打开房门实际是第 1 次未打开,第 2 次未打开, 第 3 次打开“这三个事件的积事件” ,或者理解为“开房门是经过未开、 未开、开”这三个步骤,不能理解为此事件只有“开房门”这一个步骤, 所以,正确解答应为: 正解:第 1 次未打开房门的概率为 4 ;第 2 次未开房门的概率为 3 ;第
5 4

3 次打开房门的概率为 1 ,所求概率为: P ? 4 ? 3 ? 1 ? 1 。
3

5

4 3

5

例 5.某种射击比赛的规则是:开始时在距目标 100m 处射击,若命中 记 3 分,同时停止射击。若第一次未命中,进行第二次射击,但目标已在 150m 远处,这时命中记 2 分,同时停止射击;若第 2 次仍未命中,还可以 进行第 3 次射击,此时目标已在 200m 远处。若第 3 次命中则记 1 分,同时 停止射击,若前 3 次都未命中,则记 0 分。已知身手甲在 100m 处击中目标 的概率为 1 ,他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都
2

是独立的。求:射手甲得 k 分的概率为 Pk,求 P3,P2,P1,P0 的值。 :设射手射击命中目标的概率 P 与目标距离 x 之间的关系 为P ?
k x2

,由已知

1 k ? ? k ? 5000 2 100 2

错误解法: P3 ? 1

2

P2 ?

5000 2 ? 150 2 9 5000 1 ? 200 2 8

P1 ?

1 2 1 49 P0 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 9 8 144

错因分析:求 P2 时,将第 150m 处射击命中目标的概率作为第 2 次命 中目标的概率,隔离了第 1 次射击与第 2 次射击的关系,实际上,第 2 次 射击行为的发生是在第 1 次未击中的前提下才作出的。 ∴P2 应为“第 1 次未击中,第 2 次击中”这两个事件的积事件的概率。 求 P1 时也如此。 正解: P3 ? 1
2

1 2 1 P2 ? (1 ? ) ? ? 2 9 9 1 2 1 7 P ? (1 ? )(1 ? ) ? ? 1 2 9 8 144 1 2 1 49 P0 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 9 8 144

四、考虑不周致错 例 6.某运动员射击一次所得环数 x 的分布列如下:
x

7 0.2

8 0.2

9 0.2

10 0.2

P

现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记 为 ? ,求: ? 的分布列。 错误解法: ? 的取值为 8,9,10。 ? =7,两次环数为 7,7; ? =8,两次 成绩为 7,8 或 8,8; ? =9,两次成绩 7,9 或 8,9 或 9,9; ? =10,两次 队数为 7,10 或 8,10 或 9,10 或 10,10。 ∴ P(? ? 7) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04
P(? ? 8) ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.15

P(? ? 9) ? 0.2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.23 P(? ? 10) ? 0.2 ? 0.3 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.2 2 ? 0.2

(分布列略) 错因分析:
? ? 8 ,即两次成绩应为
P(? ? 8) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.21

7,8 或 8,7 或 8,8 实际为三种情形,

? ?9

两 次 环 数 分 别 为 7,9 ( 或 9,7 ) 8,9 ( 或 9,8 ) 9.9 ; ,



P(? ? 9) ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 2 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.32 ? 0.39

同理 P(? ? 10) ? 0.122 ? 2 ? 0.3 ? 0.2 ? 4 ? 0.2 2 ? 0.36 例 7.将 n 个球等可能地放入到 N(n×n)个有编号的盒子中(盒子中 容纳球的个数不限) 。求 A:某指定的 n 个盒子中恰有一球的概率。 错误解法:将 n 个球等可能地放入到 N 个盒子中,共有 Nn 种方法。 而指定的 n 个盆中各有一球的放法有:n!种,则所求概率: P( A) ?
n! Nm

错因分析:这种解法不全面,如果球是有编号的,则答案是对的。若 球是不可辨认的,则答案错了,若球是不可辨认的,则若考虑盒子中球的 个数而不考虑放的是哪几个球,为此,我们用“□”表示一个盒子;用“○” 表示一个球,先将盒子按编号 1 2 3 4 5 n

把 n 个球放入 N 中盒子中,形如:1010011??10001,正好看作 N+1
n 个“1”和 n 个“0”的全排列。由于两边必为“1”所以排法只有 C N ?n?1 种;

而指定的 n 个盒子中恰有一球的放法只有 1 种,故 P( A) ? 五、混淆“互斥”与“独立”出错

1
n C N ? n ?1

?

n!( N ? 1)! ( N ? n ? 1)!

例 8.甲投篮命中概率为 0.8,乙投篮命中概率为 0.7,每人投 3 次,两 人恰好都命中 2 次的概率是多少? 错解:设“甲恰好投中 2 次”为事件 A, “乙恰好投中 2 次”为事件 B, 则两人恰好投中 2 次为 A+B。 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= C32 0.82 ? 0.2 ? C32 0.7 2 ? 0.3 ? 0.825 。 错因分析:本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互 斥事件来考虑。将两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中 2 次”与“乙 恰好投中 2 次”的和。 正解:设“甲恰好投中 2 次”为事件 A, “乙恰好投中 2 次”为事件 B, 则两人恰好都投中 2 次为 AB。 所以 P(AB)=P(A)×P(B)= C32 0.82 ? 0.2 ? C32 0.7 2 ? 0.3 ? 0.169 六.混淆有放回与不放回致错 例 9.某产品有 3 只次品,7 只正品,每次取 1 只测试,取后不放回, 求: (1)恰好到第 5 次 3 只次品全部被测出的概率; (2) 恰好到第 k 次 3 只次品全部被测出的概率 f (k ) 的最大值和最小值。
3 2 7 5 1 1 ? ? ? ? ? 10 9 8 7 6 144 (2) P5 (3) ? C53 3 ? (1 ? 3 ) 2 ? 0.21。 10 10

错解: (1)P(A)=

错因分析:错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的 每一次摸球是不独立的;而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回 摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个) 。 正解: (1) P ? (2) P ?
3

1 2 4 C 3 ? C 7 ? A 44
3

A10
3
3

5

?

1 20

k k? C 1 ? C 4 ? 3 ? A 4 k 11 43 ?
37

?

1 (k ? 1)( k ? 2), (3 ? k ? 10, k ? Z ) 240

1 ; 120 当 k ? 3 时, [ f (k )] max ? f (10) ? 3 。 10

当 k ? 3 时, [ f (k )] min ? f (3) ?

一、选择题 2.(福建理 5)某一批花生种子,如果每 1 粒发牙的概率为 ,那么播下 4 粒 种子恰有 2 粒发芽的概率是 D.
256 625
2 2

4 5

A.

16 625

B.

96 625

C.

192 625

4 4 1 96 解:独立重复实验 B (4, ) , P(k ? 2) ? C42 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 625

3. (福建文 5)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 D.
96 125
2 1

4 5

A.

12 125

B.

16 125

C.

48 125

4 4 1 48 解:这是独立重复实验,服从二项分布 B (3, ) , P ( X ? 2) ? C32 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 125

4. (广东理 3)某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表 1.已知 在全校 学生中随机抽取 1 名,抽到二 年级女生的概率是 0.19. 现用分层抽样 的方法在全校抽取 64 名学生,则应在 三年级抽取的学生人数为( C ) A.24 B.18 女生 男生 一年级 二年级 三年级 373 377
x
y

370

z

C.16

D.12

解:依题意我们知道二年级的女生有 380 人,那么三年级的学生的人数应 该是 500 ,即总体中各个年级的人数比例为 3 : 3 : 2 ,故在分层抽样中应在三 年级抽取的学生人数为 64 ? ? 16 6. (江西理 11 文 11)电子钟一天显示的时间是从 00:00 到 23:59 的每一时 刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻的四个数字之和为 23 的概率为 A.
1 180

2 8

B.

1 288

C.

1 360

D.

1 480

解: 一天显示的时间总共有 24 ? 60 ? 1440 种,和为 23 总共有 4 种,故所求概率 为
1 . 360

7. (辽宁理 7 文 7)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机 抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为( B.
1 2

)

A.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

解:要使取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数,则取出的 2 张卡片上的数 字必须一奇一偶, ∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率 P ?
1 1 C2 ? C2 4 2 ? ? . C32 6 3

8. (山东文 9)从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为( B A. 3 解:? x ? B.
2 10 5



分数 人数

5 20

4 10

3 30

2 30

1 10 D.
8 5

C.3

100 ? 40 ? 90 ? 60 ? 10 1 ? 3, ? S 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] 100 n

?

1 160 8 2 10 [20 ? 22 ? 10 ?12 ? 30 ?12 ? 10 ? 22 ] ? ? ,?S ? . 选 B. 100 100 5 5

2, ? 18 9. (山东理 7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1, 3, , 的 18 名

火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( A.
1 51



B.

1 68

C.

1 306

D.

1 408

3 解:古典概型问题,基本事件总数为 C18 ? 17 ?16 ? 3 。能组成以 3 为公差的等

差数列有(1,4,7) (2,5,8) ??, , (12,15,18)共 12 组,因此概率
P? 12 1 ? . 17 ?16 ? 3 68

10. (山东理 8)右图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年我省城镇居民 百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百 户家庭人口数的百位数字 和十位数字, 右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数 的个位数字. 从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省城镇居民百户家 庭人口数的 平均数为( A.304.6 解: x ? 300 ? ) B.303.6 C.302.6 D.301.6
2 9 1 1 5 8 3 0 2 6 3 1 0 2 4 7

?9 ? 9 ? 5 ? 2 ? 2 ? 6 ? 10 ? 12 ? 14 ? 17 ? 303.6 10

11. (陕西文 3)某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗 的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中

松树苗的数量为( A.30

C ) B.25 C.20 D.15

解:设样本中松树苗的数量为 x ,则

150 x ? ? x ? 20 30000 4000

13.(重庆文 5)某交高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学 生的健康情况,从男生中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调 查.这种抽样方法是 (A)简单随机抽样法 (B)抽签法 样法 解:若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽 样。故选 D。 14.(重庆文 9)从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则 所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为 (C)
2 5

(C)随机数表法

(D) 分 层 抽

(A)

1 84

(B)

1 21

(D)

3 5

解:古典概型, P ?

3 C5 1 ? ,故选 B。 4 C10 21

15. (四川延考理 8 文 8)在一次读书活动中,一同学从 4 本不同的科技书 和 2 本不同的文艺书中 任选 3 本,则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为 (A)
1 5

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

4 5

解:因文艺书只有 2 本,所以选 3 本必有科技书。问题等价于选 3 本书有 文艺书的概率:
P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?
3 C4 4 4 ? 1? ? 3 C6 20 5

二、填空题 16. (广东文 11).为了调查某厂工人生产某种产品的 能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量. 产品数量的分组区间为 ?45,55? , ?55,65? , ?65,75? ,

?75,85? , ?85,95? 由此得到频率分布直方图如图 3,
则这 20 名工人中一天生产该产品数量在

?55,75? 的人数是

.

解: 20 ? (0.065 ?10) ? 13 ,故答案为 13. 17. (湖北文 11)一个公司共有 1 000 名员工,下设一些部门,要采用分层 抽样方法从全体员工中 抽取一个容量为 50 的样本,已知某部门有 200 名员工,那么从该部门抽取 的工人数是 .
1000 200 ? , x ? 10 50 x

解:由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足

18. (湖北文 14)明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他 用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是 0.80,乙闹钟准 时响的概率是 0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .

解:两个闹钟都不准时响的概率是 (1 ? 0.8)(1? 0.9)? 0.02,所以至少有一准时 响的概率是 0.98 19. (海南宁夏理 16 文 16)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的 纤维长度(单位:mm) , 结果如下:

甲品种:271 303 307

273

280

285

285

287

292

294

295

301

303

308 310 314 319 323 325 325 乙品种:284 318 318 292 295 304 306 307

328 331 334 337 352 312 313 315 315 316

320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图
甲 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计 结论: ① . 解:1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或: 乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种 棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤 维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中 位数为 318mm. ; ②

4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附 近) .甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分 布较均匀.

20. (江苏 2)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4, 5,6 个点的正方体玩具) ,先后抛掷两次,则出现向上的点数之和为 4 的概 率是 ▲ .

解:基本事件共 6×6 个,点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个, 故P ?
3 1 ? 6 ? 6 12

21. (江苏 6)在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均 不大于 2 的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域, 向
D 中随机投一点,则所投点在 E 中的概率是



解:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部(含边界) , 区域 E 表示单位圆及其内部,因此. P ?
? ?12
4? 4 ?

?
16

22. (湖南文 12)从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自 理的情况如下表所示:
人 性 别 数

男 生活能 否自理 能 不能 178 23



278 21

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 解:由上表得 (23 ? 21) ?
15000 ? 2 ? 30 ? 60. 500

23. (上海理 7) 在平面直角坐标系中, 从六个点: A(0,0)、 B(2,0)、 C(1,1)、 D(0,2) 、E(2,2) 、F(3,3) 中 任 取三 个, 这 三 点 能 构 成三 角 形 的 概 率是 (结果用分数表示).
C E F C D 解:已知 A、 、 、 共线;B、 、 共线; 六个无共线的点生成三角形总数为:
3 C6 ;

3 3 3 可构成三角形的个数为: C6 ? C4 ? C3 ?15 ,所以所求概率为:

3 3 3 C 6 ? C 4 ? C3 3 ? ; 3 4 C6

24 . 上 海 文 8 . 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 从 五 个 点 :
A(0,,B(2,,C(11) D(0,,E(2, 中任取三个,这三点能构成三角形的概率 0) 0) ,, 2) 2)



(结果用分数表示) .

C E C D 解: 由已知得 A、 、 三点共线,B、 、 三点共线,

所以五点中任选三点能构成三角形的概率为

3 C3 ? 2 4 ? . 3 5 C5

25. (上海文 10)已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,

b,12,13.7,18.3,20,
且总体的中位数为 10.5.若要使该总体的方差最小,则 a、b 的取值分别 . 解:中位数为 10.5 ? a ? b ? 21, 根据均值不等式知,只需 a ? b ? 10.5 时,总体 方差最小. 26. (天津文 11)一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人, 超过 45 岁的有 80 人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全 体 职 工 中 抽 取 一 个 容 量 为 25 的 样 本 , 应 抽 取 超 过 45 岁 的 职 工 ________10________人. 解:依题意知抽取超过 45 岁的职工为
25 ? 80 ? 10 . 200

三、解答题 27.(安徽理 19). 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某 人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设

? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? ? 3 ,标准差 ?? 为

6 。 2

(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳 的概率 解:(1)由 E? ? np ? 3, (?? )2 ? np(1 ? p) ? , 得 1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? ,
? 的分布列为 ?
P

3 2

1 2

1 2

0
1 64

1
6 64

2
15 64

3
20 64

4
15 64

5
6 64

6
1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,
P( A) ? 1 ? 6 ? 15 ? 20 21 ? , 64 32

则 P( A) ? P(? ? 3),



或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ?

15 ? 6 ? 1 21 ? 64 32

28. (安徽文 18) 在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了 10 张卡片,每张卡片 印有一个汉字的拼音,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”. (Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片总 随机抽取 1 张,测试后放回,余下 2 位的测试,也按同样的方法进行。求 这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。 (Ⅱ) 若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张, 求这三张卡片上, 拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率。 解: (1)每次测试中,被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上,拼音 带有后鼻音“g”的概率为
3 ,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的 10
3 3 3 27 ? ? ? 10 10 10 1000

事件是相互独立的,因而所求的概率为

(2)设 Ai (i ? 1, 2,3) 表示所抽取的三张卡片中,恰有 i 张卡片带有后鼻音“g” 的事件,且其相应的概率为 P( Ai ), 则
1 C7C32 7 P( A2 ) ? 3 ? C10 40

,

3 C3 1 P( A3 ) ? 3 ? C10 120

因而所求概率为
P( A2 ? A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? 7 1 11 ? ? 40 120 60

29. (北京理 17) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概 率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布 列. 解: Ⅰ) ( 记甲、 乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA , 那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10 3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

(Ⅱ) 记甲、 乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E , 那么 P( E ) ? 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E ) ? 1 ? P( E ) ?

9 . 10

(Ⅲ)随机变量 ? 可能取的值为 1,2.事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务,
3 C52 A3 1 则 P(? ? 2) ? 3 4 ? . C5 A4 4

所以 P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 2) ? , ? 的分布列是
?
P

3 4

1
3 4

3
1 4

30.(北京文 18) (本小题共 13 分) 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务, 每个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率. 解: Ⅰ) ( 记甲、 乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA , 那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
1 . 40
3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

4 A4 1 (Ⅱ) 设甲、 乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E , 那么 P( E ) ? 2 4 ? , C5 A4 10

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E ) ? 1 ? P( E ) ?

9 . 10

31. (福建理 20) (本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继 续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成 绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试,科目 A 每次考试成绩合格 的概率均为 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 .假设各次考试成绩 合格与否均互不影响。 (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试 的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? . 解:设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1 , “科目 A 补考合格”为事件 A2 ; “科目 B 第一次考试合格”为事件 B1 , “科目 B 补考合格”为事件 B2 (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为 A1 ?B1 ,注意到 A1 与 B1 相互独立, 则 P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? ? ? . 答:该考生不需要补考就获得证书的概率为 . (Ⅱ)由已知得, ? =2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得
P(? ? 2) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A1 ?A2 )
2 1 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? . 3 2 3 3 3 9 9
1 3 2 3 1 2

2 1 3 2

1 3

P(? ? 3) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B2 )
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3

P(? ? 4) ? P( A1 ?A2 ?B2 ?B2 ) ? P( A1 ?A2 ?B1 ?B2 )
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9

故 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ,

4 9

4 9

1 9

8 3

答:该考生参加考试次数的数学期望为 .

8 3

32. (福建文(18) (本小题满分 12 分) 三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分别为 , , , 且他们是否破译出密码互不影响。 (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率; (Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由. 解:记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai (i ? 1, 2,3) ,依题意有
1 1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 5 4 .3
1 1 1 5 4 3

(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件 B ,则有
B ? A1 A2 A3 ? A1 A 2 A3 ? A1 A2 A3 且 A1 A2 A3 , A1 A 2 A3 , A1 A2 A3 彼此互斥

于是

P(B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

= ? ? ? ? ? ? ? ? = 答:恰好二人破译出密码的概率为
3 . 20

1 1 5 4

2 3

1 3 1 5 4 3

4 1 1 5 4 3

3 . 20

(Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C , “密码未被破译”为事件 D .
D ? A1 ?A2 ?A3 ,且 A1 , A2 , A3 互相独立,则有
2 4 3 2 P(D) ? P( A1 )?P( A2 )?P( A3 ) = ? ? = . 5 5 4 3

而 P(C ) ? 1 ? P( D) ? ,故 P(C ) ? P( D) . 答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

3 5

33. (广东理 17. (本小题满分 13 分) 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润 分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利 润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1% ,一等品率提 高为 70% .如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品 率最多是多少?
? 解: 的所有可能取值有 6, 1, 2, -2;P(? ? 6) ?
P(? ? 1) ? 20 4 ? 0.1 , P(? ? ?2) ? ? 0.02 200 200

126 50 ? 0.63 ,P(? ? 2) ? ? 0.25 200 200

故 ? 的分布列为:
?
P

6 0.63

2 0.25

1 0.1

-2 0.02

(2) E? ? 6 ? 0.63 ? 2 ? 0.25 ? 1? 0.1 ? (?2) ? 0.02 ? 4.34 (3)设技术革新后的三等品率为 x ,则此时 1 件产品的平均利润为
E( x) ? 6 ? 0.7 ? 2 ? (1 ? 0.7 ? 0.01 ? x) ? (?2) ? 0.01 ? 4.76 ? x(0 ? x ? 0.29)

依题意, E ( x) ? 4.73 ,即 4.76 ? x ? 4.73 ,解得 x ? 0.03 所以三等品率最多为 3%

34. (广东文 19) (本小题满分 13 分) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
370

y z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1) 求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级 抽取多少名? (3) 已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率. 解: (1)?
x ? 0.19 2000

?

x ? 380

(2)初三年级人数为 y+z=2000-373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人 数为:
48 ? 500 ? 12 名 2000

(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为 (y,z) ; 由 (2) y ? z ? 500 , 知 且
y, z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有:

(245,255)(246,254)(247,253) 、 、 、??(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有: (251,249)(252,248)(253,247) 、 、 、(254,246)、(255,245) 共 5 个
? P ( A) ?
5 11

35. (海南宁夏理 19) (本小题满分 12 分)
A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量

X1 和 X2.根据市场分析,X1 和

X2 的分布列分别为

X1 P

5% 10%

X2
0.8 0.2

2% 8% 12% 0.2 0.5 0.3

P

(Ⅰ) A,B 两个项目上各投资 100 万元, 1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 在 Y 所获得的利润,求方差 DY1,DY2; (Ⅱ)将 x(0 ≤ x ≤100) 万元投资 A 项目,100 ? x 万元投资 B 项目, f ( x) 表示 投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f ( x) 的 最小值,并指出 x 为何值时, f ( x) 取到最小值. (注: D(aX ? b) ? a2 DX ) 解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为

Y1 P

5

10

0.8 0.2

Y2 P

2

8

12

EY1 ? 5 ? 0.8 ? 10 ? 0.2 ? 6 ,

0.2 0.5 0.3

DY1 ? (5 ? 6)2 ? 0.8 ? (10 ? 6)2 ? 0.2 ? 4 ,
EY2 ? 2 ? 0.2 ? 8 ? 0.5 ? 12 ? 0.3 ? 8 ,

DY2 ? (2 ? 8)2 ? 0.2 ? (8 ? 8)2 ? 0.5 ? (12 ? 8)2 ? 0.3 ? 12 .

(Ⅱ) f ( x) ? D ? ?
2

x ? ? 100 ? x ? Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 100 ? ? 100 ?
2

4 ? x ? ? 100 ? x ? 2 2 ?? ? DY1 ? ? ? DY2 ? 1002 ? x ? 3(100 ? x) ? ? ? ? 100 ? ? 100 ? ? 4 (4 x 2 ? 600 x ? 3 ?1002 ) , 2 100

当x?

600 ? 75 时, f ( x) ? 3 为最小值. 2? 4

36. (海南宁夏文 19) (本小题满分 12 分) 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查 部门对某校 6 名学生进行问卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9, 10。把这 6 名学生的得分看成一个总体。 (1)求该总体的平均数; (2)用 简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本。 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。 解: (1)总体平均数为 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? ? 7.5 (2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10), 共15个基本结果。 事件A包含的基本结果有:(5,9), (5,10), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9),共有7个基本结果;所以所求的概率为 P ? A ? ?
7 15

1 6

37. (湖北理 17) (本小题满分 12 分) 袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个 ( n =1,2,3,4).现从袋中任取一球. ? 表示所取球的标号. (Ⅰ)求 ? 的分布列,期望和方差; (Ⅱ)若? ? a? ? b , E? ? 1, D? ? 11 ,试求 a,b 的值. 解: (Ⅰ) ? 的分布列为:
?

0

1

2

3

4

P
∴ E? ? 0 ? ? 1?
1 2

1 2

1 20

1 10

3 20

1 5

1 1 3 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1.5. 20 10 20 5

1 1 1 3 1 ? ? (0 ? 1.5) 2 ? ? (1 ? 1.5) 2 ? ? (2 ? 1.5) 2 ? ? (3 ? 1.5) 2 ? ? (4 ? 1.5) 2 ? ? 2.75. (Ⅱ) 2 20 10 20 5

由 D? ? a2 D? ,得 a2×2.75=11,即 a ? ?2. 又 E? ? aE? ? b, 所以 当 a=2 时, 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时, 1=-2×1.5+b, b=4. 由 由 得

∴?

? a ? 2, ?a ? ?2, 或? 即为所求. ?b ? ?2 ? b ? 4

38. (湖南理 16) (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲 表示只要面试 合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不 签约.设每人面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响.求: (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ? 的分布列和数学期望. 解: 用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相 互独立, 且 P(A)=P(B)=P(C)= . (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( )3 ? . (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.
P(? ? 0) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
1 2 7 8
1 2 1 2

= P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) = ( )3 ? ( ) 2 ? ( )3 ? .
P(? ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)

1 2

1 2

1 2

3 8

= P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) = ( )3 ? ( )3 ? ( )3 ? .
1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 8 1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? P ( A) P( B) P(C ) ? . 8

1 2

1 2

1 2

3 8

所以, ? 的分布列是
?

0
3 8

1
3 8

2
1 8

3
1 8

P

3 3 1 1 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8

39.(湖南文 16) (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表 示只要面试 合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不 签约。设每人 面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响。求: (I)至少有一人面试合格的概率; (II)没有人签约的概率。 解:用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独 立, 且 P( A) ? P( B) ? P(C ) ? . (I)至少有一人面试合格的概率是 1 ? P( A ? B ? C)
1 7 ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( ) 3 ? . 2 8
1 2
1 2

(II)没有人签约的概率为 P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C)
P( A) ? P(B) ? P(C) ? P( A) ? P(B) ? P(C) ? P( A) ? P(B) ? P(C)
1 1 1 3 ? ( )3 ? ( )3 ? ( )3 ? . 2 2 2 8

40.(江西理 18) (本小题满分 12 分) 某柑桔基地因冰雪灾害,使得果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救 果林的方案,每种方案都需分两年实施;若实施方案一,预计当年可以使 柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 倍、 倍的概率分别是 0.3、 0.9 0.8 0.3、 0.4; 第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、 0.5. 若实施方案二,预计当年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、1.0 倍、 0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5; 第二年可以使柑桔产量为上一年产 量的 1.2 倍、1.0 倍的概率分别是 0.4、0.6. 实施每种方案,第二年与第 一年相互独立。令 ?i (i ? 1, 2) 表示方案 i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的 倍数. .写出 ?1、?2 的分布列; (1) (2) .实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大? (3) .不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可 带来效益 10 万元;两年后柑桔产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益 15 万元;柑桔产量超过灾前产量,预计可带来效益 20 万元;问实施哪种方案 所带来的平均效益更大?
8 、 2 1. 所 解 : 1 ) ?1 的 所 有 取 值 为 0 . 、 0 . 9、 1 . 0、 1 . 1, 5?2 的 2 5 有 取 值 为 (
0 . 、 0 、 6 1、0 8 .9 、 . 1.2 , 1.44

?1 、 ?2 的分布列分别为: ?1

0.8 0.2 0.8 0.3

0.9 0.15 0.96 0.2

1.0 0.35 1.0 0.18

1.125 0.15 1.2 0.24

1.25 0.15 1.44 0.08

P
?2

P

(2)令 A、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一 事件,

P( A) ? 0.15 ? 0.15 ? 0.3 ,

P( B) ? 0.24 ? 0.08 ? 0.32

可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 (3)令? i 表示方案 i 所带来的效益,则
?1

10 0.35

15 0.35

20 0.3

P

?2

10 0.5

15 0.18

20 0.32

P

所以 E?1 ? 14.75, E?2 ? 14.1,可见,方案一所带来的平均效益更大。 41.(江西文 18)本小题满分 12 分) 因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树 的方案,该方案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑桔 产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.4、0.4; 第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.5 倍、1.25 倍、1.0 倍的概率分 别是 0.3、0.3、0.4. (1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率; (2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率. 解: (1)令 A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
P( A) ? 0.2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.2

(2)令 B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
P( B) ? 0.2 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.3 ? 0.48

42.(辽宁理 18) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计

结果如下表所示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; ⑵已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两周销售利润的和 (单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 ? 的分 布列和数学期望. 解(Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. (Ⅱ) ? 的可能值为 8,10,12,14,16,且

P ( ? =8 ) =0.22=0.04 , P ( ? =10 ) =2×0.2×0.5=0.2 , P ( ? =12 )
=0.52+2×0.2×0.3=0.37,

P( ? =14)=2×0.5×0.3=0.3,P( ? =16)=0.32=0.09.
? 的分布列为
?

8 0.04

10 0.2

12 0.37

14 0.3

16 0.09

P

E? =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元)

43.(辽宁文 18)(本小题满分 12 分) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的 统计结果如下表所示: 周销售 2 量 频数 20 50 30 3 4

(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; (Ⅱ)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 (ⅰ)4 周中该种商品至少有一周的销售量为 4 吨的概率; (ⅱ)该种商品 4 周的销售量总和至少为 15 吨的概率. 解: (Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. (Ⅱ)由题意知一周的销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3, 故所求的概率为 (ⅰ) P ? 1 ? 0.74 ? 0.7599 . 1
3 (ⅱ) P2 ? C4 ? 0.5? 0.33 ? 0.34 ? 0.0621 .

44.(全国Ⅰ理 20 文 20)(本小题满分 12 分) 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动 物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种 化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明 患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止; 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望. (文科不求) 解: (Ⅰ)分别用 Ai 、 Bi 表示依甲、乙方案需要化验 i 次,则:
1 4 1 1 4 3 1 1 4 3 2 2 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? ? ? , P ( A3 ) ? ? ? ? , P( A4 ) ? ? ? ? 。 5 5 4 5 5 4 3 5 5 4 3 5

次数 概率
P( B2 ) ?

1 0.2

2 0.2

3 0.2

4 0.4

3 2 1 C4 C4 C1 2 3 1 C 2 C1 3 2 ? 3 ? 1 ? ? ? ? 0.6 , P( B3 ) ? 4 ? 2 ? ? ? 0.4 3 3 1 C5 C5 C3 5 5 3 C5 C3 5 3

次数 概率

2 0.6

3 0.4

P( A) ? P(甲2乙2) P(甲3次及以上) 0.2 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.72 . ? ?

(Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数, ? 的期望为 E? ? 2 ? 0.6 ? 3 ? 0.4 ? 2.4 .

45.(全国Ⅱ理 18) (本小题满分 12 分) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若投保人在购 买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年度内 有 10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公 司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为1 ? 0.99910 .
4

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为保 证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是 p , 记投保的 10 000 人中出险的人数为 ? ,则 ? ~ B(104,p) . (Ⅰ)记 A 表示事件:保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金,则 A 发 生当且仅当 ? ? 0 ,
P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 ,
4

又 P( A) ? 1? 0.99910 ,故 p ? 0.001 .
4

(Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 10 000a ? 10 000E? ? 50 000 ,

由 ? ~ B(104, ?3 ) 知, E? ? 10 000 ?10?3 , 10
E? ? 104 a ?104 E? ? 5 ?104
? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .

. E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0 ? a ? 10 ? 5 ≥ 0 ? a ≥15 (元) 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元.

46.(全国Ⅱ文 19) (本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据 以往资料知,甲击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击 中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.4,0.4,0.2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数 的概率. 解:记 A1,A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,
B1,B2 分别表示乙击中 8 环,9 环,
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数,

B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,

C1,C2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.

(Ⅰ) A ? A1 ?B1 ? A2 ?B1 ? A2 ?B2 ,
P( A) ? P( A1 ?B1 ? A2 ?B1 ? A2 ?B2 ) ? P( A1 ?B1 ) ? P( A2 ?B1 ) ? P( A2 ?B2 ) ? P( A1 )?P( B1 ) ? P( A2 )?P( B1 ) ? P( A2 )?P( B2 )
? 0.3 ? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.2 .

(Ⅱ) B ? C1 ? C2 ,
2 P(C1 ) ? C3 [P( A)]2[1 ? P( A)] ? 3 ? 0.22 ? (1 ? 0.2) ? 0.096 ,

P(C2 ) ? [P( A)]3 ? 0.23 ? 0.008 ,
P( B) ? P(C1 ? C2 ) ? P(C1 ) ? P(C2 ) ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104 .

47.(山东理 18) (本小题满分 12 分) 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对 本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲 队总得分大于乙队总得分”这一事件,求 P( AB) . 解: (Ⅰ)解法一:由题意知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,且
1 2 2 2 ? 2? 1 , P(? ? 1) ? C3 ? ? ?1 ? ? ? , P(? ? 0) ? C ? ?1 ? ? ? ? ? 3 ? 3? 9 ? 3 ? 27
0 3 3 2

2 3

2 2 1 3 3 2

8 ? 2? ? 2? 4 3 ?2? . P(? ? 2) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? , P(? ? 3) ? C3 ? ? ? ? ? 3? ? 3? 9 ? 3 ? 27
2 3

2

3

所以 ? 的分布列为
?
P

0
1 27

1
2 9

2
4 9

3
8 27

? 的数学期望为 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?2. 27 9 9 27

解法二:根据题设可知, ? ~ B ? 3, ? , ? ?
? 2 3?
k

2 2 因此 ? 的分布列为 P(? ? k ) ? C3k ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ?

3? k

? C3k ?

2k 1, 3 , k ? 0,2,. 33

因为 ? ~ B ? 3, ? ,所以 E? ? 3 ? ? 2 . ? ?
? 2 3?
2 3

(Ⅱ)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件,所以 AB ? C ? D ,且 C,D 互斥,又
? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C ) ? C32 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 , ? 3 ? ? 3 ? ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3 ?1 1 1? 4 3 ? 2? P( D) ? C3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 , ? 3? ?3 3 2? 3
3 2

由互斥事件的概率公式得 P( AB) ? P(C ) ? P( D) ?

10 4 34 34 ? ? ? . 34 35 35 243

解法二:用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一
1, 3 事件, k ? 0,2,.

由于事件 A3 B0 ,A2 B1 为互斥事件, 故有 P( AB) ? P( A3 B0 ? A2 B1 ) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) . 由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,因此
P( AB) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A3 )P(B0 ) ? P( A2 )P(B1 )

22 ? 1 1 1 2 ? 34 ? 2? ? 1 1? 2 1 . ? ? ? ? ? 2 ? ? ? C3 ? 2 ? ? ? 2 ? ? C2 ? 2 ? ? 3 ?2 3 2 3 ? 243 ? 3? ?3 2?

3

48.(山东文 18) (本小题满分 12 分) 现有 8 名奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语, B1,B2,B3 通晓俄 语, C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个小 组. (Ⅰ)求 A1 被选中的概率; (Ⅱ)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解: (Ⅰ)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件空间
? ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ) , (A (A (A

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), 2,B1,C2 ), 2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) , (A (A ( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), 3,B1,C2 ), 3,B2,C1 ) , (A (A ( A3,B2,C2 ), 3,B3,C1 ), 3,B3,C2 ) } (A (A

由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等, 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“ A1 恰被选中”这一事件,则
M ? { ( A1,B1,C1 ), 1,B1,C2 ), 1,B2,C1 ) , (A (A

( A1,B2,C2 ), 1,B3,C1 ), 1,B3,C2 ) } (A (A

事件 M 由 6 个基本事件组成,因而 P( M ) ?

6 1 ? . 18 3

(Ⅱ)用 N 表示“ B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“ B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 N ? { ( A1,B1,C1 ), 2,B1,C1 ), 3,B1,C1 ) },事件 N 有 3 个基本事件组成, (A (A 所以 P( N ) ?
3 1 1 5 ? ,由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? ? . 18 6 6 6

49.(陕西理 18) (本小题满分 12 分) 某射击测试规则为:每人最多射击 3 次,击中目标即终止射击,第 i 次击中 目标得 4 ? i (i ? 1,3) 分,3 次均未击中目标得 0 分.已知某射手每次击中目 2, 标的概率为 0.8,其各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率; (Ⅱ)该射手的得分记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 解: (Ⅰ)设该射手第 i 次击中目标的事件为 Ai (i ? 1,3) , 2, 则 P( A1 ) ? 0.8,P( A1 ) ? 0.2 , P( A1 A2 ) ? P( A1 )P( A2 ) ? 0.2 ? 0.8 ? 0.16 . (Ⅱ) ? 可能取的值为 0,1,2,3. ? 的分布列为
?
P

0

1

2

3

0.008 0.032 0.16 0.8

E? ? 0 ? 0.008 ?1? 0.032 ? 2 ? 0.16 ? 3? 0.8 ? 2.752 .

50.(陕西文 18) (本小题满分 12 分) 一个口袋中装有大小相同的 2 个红球,3 个黑球和 4 个白球,从口袋中一次摸 出一个球,摸出的球不再放回. (Ⅰ)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (Ⅱ)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 3 次的概率. 解: (Ⅰ)从袋中依次摸出 2 个球共有 A92 种结果,第一次摸出黑球、第二次 摸出白球有 A A
2 3 2 4
2 A32 A4 1 3 4 1 种结果,则所求概率 P ? 2 ? (或P ? ? ? ) . 1 1 A9 6 9 8 6

(Ⅱ)第一次摸出红球的概率为 次摸出红球的概率为
P2 ?
1 1 2 1 1 A2 A7 A2 A7 A2 7 ? 2 ? 3 ? . 1 A9 A9 A9 12

1 A1 A1 A2 ,第二次摸出红球的概率为 7 2 2 ,第三 1 A9 A9

2 1 A7 A2 ,则摸球次数不超过 3 次的概率为 3 A9

51.(四川理 18) (本小题满分 12 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的 概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商 品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅲ)记 ? 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的 人数,求 ? 的分布列及期望。 解:记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种, 记 D 表示事件:进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种, (Ⅰ) C ? A ? B ? A ? B
P ? C ? ? P A ? B ? A ? B ? P A ? B ? P A ? B ? P ? A? ? P B ? P ? A? ? P B
? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5

?

?

?

? ?

?

? ?

? ?

(Ⅱ) D ? A ? B
P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2

? ? ? ? ? P ? D ? ? 1 ? P ? D ? ? 0.8

? ?

?

(Ⅲ) ? ? B ?3,0.8? ,故 ? 的分布列
P ?? ? 0? ? 0.23 ? 0.008
2 P ?? ? 2? ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384

1 P ?? ? 1? ? C3 ? 0.8? 0.22 ? 0.096

P ?? ? 3? ? 0.83 ? 0.512

所以 E? ? 3 ? 0.8 ? 2.4

52.(四川文 18) (本小题满分 12 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ,购买乙种商品的 概率为 0.6 ,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商 品也是相互独立的。 (Ⅰ)求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; (Ⅱ)求进入商场的 3 位顾客中至少有 2 位顾客既未购买甲种也未购买乙 种商品的概率。 解: (Ⅰ)记 A 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲种商品, 记 B 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买乙种商品, 记 C 表示事件:进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,
C ? A? B ? A? B

?

? ?

?

? ? ? P ? A? B? ? P ? A? B? ? P ? A? ? P ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?
P ?C ? ? P A ? B ? A ? B
? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5

(Ⅱ)记 A2 表示事件:进入商场的 3 位顾客中都未选购甲种商品,也未选 购买乙种商品;
D 表示事件:进入商场的
E 表示事件: 进入商场的

1 位顾客未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;

3 位顾客中至少有 2 位顾客既未选购甲种商品, 也

未选选购乙种商品;
D ? A? B

P D ? P A ? B ? P A ? P B ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
2 P ? A2 ? ? C2 ? 0.22 ? 0.8 ? 0.096

? ?

?

?

? ? ? ?

P ? A3 ? ? 0.23 ? 0.008

P ? E ? ? P ? A1 ? A2 ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104

53.(天津理 18) (本小题满分 12 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p , 且乙投球 2 次均未命中的概率为 (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ; (Ⅱ)若甲投球 1 次,乙投球 2 次,两人共命中的次数记为 ? ,求 ? 的分布 列和数学期望. 解: (Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B; 由题意得 ?1 ? P?B ??2 ? ?1 ? p ?2 ? 中率为
3 4

1 2

1 . 16

1 3 5 ,解得 p ? 或 (舍去) ,所以乙投球的命 4 16 4

(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知 P? A? ? , P?A? ? , P?B ? ? , P?B ? ? ,
1 2 1 2 3 4 1 4

? 可能的取值为 0,1,2,3,故
1 ?1? 1 P?? ? 0? ? P A P B ? B ? ? ? ? ? 2 ? 4? 32
1 ?1? 1 P?? ? 1? ? P? A?P B ? B ? C P?B ?P B P A ? ? ? ? ? 2 ?4? 32
1 2

???
?

?

2

?

????

2

1 ?1? 3 1 1 7 ? ?? ? ? 2? ? ? ? 2 ?4? 4 4 2 32

2

1 ? 3? 9 P?? ? 3? ? P? A?P?B ? B? ? ? ? ? ? 2 ? 4? 32
P?? ? 2? ? 1 ? P?? ? 0? ? P?? ? 1? ? P?? ? 3? ? 15 32

2

? 的分布列为 ?

0

1

2

3

P

1 32

7 32

15 32

9 32

? 的数学期望 E? ? 0 ?

1 7 15 9 ? 1? ? 2? ? 3? ?2 32 32 32 32

54.(天津文 18) (本小题满分 12 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p , 且乙投球 2 次均未命中的概率为
1 . (Ⅰ)求乙投球的命中率 p ; (Ⅱ)求 16
1 2

甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两 人共命中 2 次的概率. 解: (Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为 事件 B. 由题意得 ?1 ? P?B ??2 ? ?1 ? p ?2 ? 中率为 . 解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B. 由题意得 P( B) P( B) ?
1 1 1 3 ,于是 P( B) ? 或 P( B) ? ? (舍去) ,故 p ? 1 ? P( B) ? . 16 4 4 4
3 4 3 4

1 3 5 ,解得 p ? 或 (舍去) ,所以乙投球的命 4 16 4

所以乙投球的命中率为 . (Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知 P? A? ? , P ?A? ? .
1 2 1 2

故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? P ?A ? A? ? 解法二:由题设和(Ⅰ)知 P? A? ? , P ?A? ?
1 2 1 2

3 4

1 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C 2 P? A?P?A? ? P? A?P? A? ?

3 4

(Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, P? A? ? , P?A? ? , P?B ? ? , P?B ? ?
1 2 1 2 3 4

1 4

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;

甲 中 两 次 ,乙 两次 均 不 中 ;甲 两次 均 不 中 ,乙 中 2 次 。 概 率分 别 为
1 1 C 2 P? A?P A ? C 2 P?B ?P B ?

??
?

??

3 , 16
P A ? A P ?B ? B ? ?

P ? A ? A?P B ? B ?

?

1 , 64

?

?

9 64 3 1 9 11 ? ? ? . 16 64 64 32

所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为

55.(浙江理 19) (本题 14 分) 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的 概率是 。 (Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (i)求白球的个数; (ii)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E? 。 (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 并指出袋中哪种颜色的球个数最少。 解: (Ⅰ) (i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A, 设袋中白球的个数为 x ,则 P( A) ? 1 ?
2 C10? x 7 ? ,得到 x ? 5 .故白球有 5 个. 2 C10 9

2 5

7 9

7 。 10

(ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3,分布列是
?
P

0
1 12

1
5 12

2
5 12

3
1 12

? 的数学期望 E? ?

1 5 5 1 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 12 12 12 12 2
2 5

(Ⅱ)证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意得 y ? n , 所以 2 y ? n , 2 y ≤ n ? 1 ,故
y 1 ≤ . n ?1 2

记“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,则
P( B) ? 2 3 y 2 3 1 7 ? ? ≤ ? ? ? . 5 5 n ?1 5 5 2 10
2 5 n 5

所以白球的个数比黑球多,白球个数多于 n ,红球的个数少于 .故袋中

红球个数最少.

56. (浙江文 19) (本题 14 分) 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球,已知袋中共有 10 个球,从中 任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 ;从中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 .求: (Ⅰ)从中任意摸出 2 个球,得到的数是黑球的概率; (Ⅱ)袋中白球的个数。 解: (Ⅰ)解:由题意知,袋中黑球的个数为 10 ? ? 4. 记“从袋中任意摸出 两个球,得到的都是黑球”为事件 A,则 P( A) ?
2 C4 2 ? . 2 C10 15

2 5

7 9

2 5

(Ⅱ)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 B。设 袋中白球的个数为 x,则
2 Cn ?1 7 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 2 ? , 得到 9 Cn

x?5

57.(重庆理 18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分.) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙 轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败 者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止. 设在每局中参赛者胜负的概率均为 ,且各局胜负相互独立.求: (Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分布列与期望 E ? . 解:令 Ak , Bk , Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打 满 3 局比赛还未停止的概率为
P( A1C2 B3 ) ? P( B1C2 A3 ) ? 1 1 1 ? ? . 23 2 3 4
1 2

(Ⅱ) ? 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且
P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? 1 1 1 ? ? , 22 22 2 1 1 1 ? ? . 23 23 4

P(? ? 3) ? P( A1C2C3 ) ? P( B1C2C3 ) ?

P(? ? 4) ? P( A1C2 B3 B4 ) ? P( B1C2 A3 A4 ) ?

1 1 1 ? ? . 24 24 8
1 1 1 ? 5? , 5 2 2 16 1 1 1 ? 5 ? , 5 2 2 16

P(? ? 5) ? P( A1C2 B3 A4 A5 ) ? P( B1C2 A3 B4 B5 ) ? P(? ? 6) ? P( A1C2 B3 A4C5 ) ? P ( B1C2 A3 B4C5 ) ?

故有分布列
?

2
1 2

3
1 4

4
1 8

5
1 16

6
1 16

P

从而 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ?

1 2

1 4

1 8

1 1 47 ? 6? ? (局). 16 16 16

58.(重庆文 18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 8 分, (Ⅱ)小问 5 分.) 在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正确的.若对 4 道选 择题中的每一道都任意选定一个答案,求这 4 道题中: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率; (Ⅱ)至少答对一道题的概率. 解: “选择每道题的答案”为一次试验,则这是 4 次独立重复试验,且每次 试验中“选择正确”这一事件发生的概率为 .由独立重复试验的概率计算 公式得: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4 (2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 2 (Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为
1 3 81 175 1 ? P4 (0) ? 1 ? C0 ( ) 0 ( ) 4 ? 1 ? ? . 4 4 4 256 256
1 4 3 4 27 . 128
1 4

解法二:至少有一道题答对的概率为
1 3 3 1 3 3 2 1 4 1 C1 ( )( )2 ? C4 ( )2 ( )2 ? C3 ( )3 ( ) ? C4 ( )4 ( )0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

?

108 54 12 1 175 ? ? ? ? . 256 256 256 256 256

59.(四川延考文 18)(本小题满分 12 分) 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类: A 类、 B 类、 C 类.检验员 定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检, 若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整.已知该生产线上生 产的每件产品为 A 类品, B 类品和 C 类品的概率分别为 0.9 , 0.05 和 0.05 ,且 各件产品的质量情况互不影响. (Ⅰ)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率; (Ⅱ)若检验员一天抽检 3 次,求一天中至少有一次需要调整设备的概率. 解: (Ⅰ)设 Ai 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品” i ? 1, 2 . , , Bi 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品” i ? 1, 2 . . Ci 表示事件“一次抽检后,设备不需要调整” 则 C ? A1 ? A2 ? A1 ? B2 ? B1 ? A2 . 由已知
P( Ai ) ? 0.9 , P( Bi ) ? 0.05 , i ? 1, 2 .

所以,所求的概率为 P(C) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ? B2 ) ? P(B1 ? A2 )
? 0.92 ? 2 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.9 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一次抽检后,设备不需要调整的概率为 P(C ) ? 0.9 . 故所求概率为:
1 ? 0.93 ? 0.271

60.(四川延考理 18) (本小题满分 12 分) 一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类: A 类、 B 类、 C 类。检验员 定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检, 若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品,就需要调整设备,否则不需要调整。已知该生产线上生 产的每件产品为 A 类品, B 类品和 C 类品的概率分别为 0.9 , 0.05 和 0.05 ,且 各件产品的质量情况互不影响。 (Ⅰ)求在一次抽检后,设备不需要调整的概率; (Ⅱ)若检验员一天抽检 3 次,以 ? 表示一天中需要调整设备的次数,求 ? 的分布列和数学期望。 解: (Ⅰ)设 Ai 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 A 类品” i ? 1, 2. , , Bi 表示事件“在一次抽检中抽到的第 i 件产品为 B 类品” i ? 1, 2.
C 表示事件“一次抽检后,设备不需要调整” 。

则 C ? A1 ? A2 ? A1 ? B2 ? B1 ? A2 。 由已知 P( Ai ) ? 0.9 , P( Bi ) ? 0.05
i ? 1, 2.

所以,所求的概率为 P(C) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ? B2 ) ? P(B1 ? A2 )
? 0.92 ? 2 ? 0.9 ? 0.05 ? 0.9 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知一次抽检后,设备需要调整的概率为
p ? P(C) ? 1 ? 0.9 ? 0.1 ,依题意知 ? ~ B(3, 0.1) , ? 的分布列为

?
p

0 0.729

1 0.243

2 0.027

3 0.001

E? ? np ? 3 ? 0.1 ? 0.3 。


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