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二项式定理 学案



§1.3.1 二项式定理(第一课时)
教学目标:
知识与技能:进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法:能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性 的结果,而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

1 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn 种, a

>
n ?1

1 b 的系数是 Cn ,……, r br 的系数是 Cn ,……,

r 恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n

n?r

n n 有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn ,
0 n 1 n ?1 r n ?r r n n ∴ ? a ? b ? ? C n a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b n

教学重难点:二项式定理及通项公式的掌握及运用 一、复习引入:

?n ? N ?
?



王新敞
奎屯

新疆

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 (a ? b)n 的二项展开式,
r ⑶它有 n ? 1 项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,?n) 叫二项式系数,
王新敞
奎屯 新疆

0 2 1 2 2 ⑴ (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ;

0 3 1 2 2 3 3 ⑵ (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab2 ? C3 b

⑶ (a ? b)4 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式, 即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b ,
0 展开式各项的系数:上面 4 个括号中,每个都不取 b 的情况有 1 种,即 C4 种, a 的系数是
3 2 2 0 1 1 2 ;恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b C4

r n?r r r n ?r r ⑷ Cn a b 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn a b . 1 r r ⑸二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x)n ? 1 ? Cn x ? ?? Cn x ? ?? xn

王新敞
奎屯

新疆

4

3

2 2

3

4

三、讲解范例:
4

例 1. (1)展开 (1 ? ) .
4

1 x

(2) (2 x ?

1 6 ) . x

的系数是 C4 , 恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种,ab 的系数是 C4 , 有 4 都取 b 的情况有 C4 种,
4 b4 的系数是 C4 ,

2

3

3

3

4

∴ (a ? b) ? C4 a ? C4a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4

二、讲解新课:
二项式定理:
n

例 2. (1)求 ( x ? a) 的展开式中的倒数第 4 项
12

王新敞
奎屯

新疆

?a ? b?

n

0 n 1 n ?1 r n ?r r n n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b

?n ? N ?
?

(2)求 (2a ? 3b) 和 (3b ? 2a) 的展开式中的第 3 项.
6 6

⑴ (a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:

a n , a n ?1b ,…, a n?r br ,…, bn ,
⑵展开式各项的系数:
0 0 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ;
n

-1-

例 3. (1)求 (1 ? 2 x)7 的展开式的第 4 项的系数;
3 (2)求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数
9

四、课堂练习:
1.求 ? 2a ? 3b ? 的展开式的第 3 项.
6
王新敞
奎屯 新疆

1 x

2.求 ? 3b ? 2a ? 的展开式的第 3 项.
6

例 4. (1)求 ( ?

x 3

3 9 x 3 9 ) 的展开式常数项; ) 的展开式的中间两项 (2)求 ( ? 3 x x

王新敞
奎屯

新疆

3.写出 (3 x ?

1 2 x
3

) n 的展开式的第 r+1 项.

4.求 x ? 2 x
3

?

?

7

的展开式的第 4 项的二项式系数,并求第 4 项的系数.

例 5.已知 ( x ?

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
王新敞
奎屯 新疆

5.用二项式定理展开: (1) (a ? 3 b )5 ; (2) (

x 2 5 ? ) . 2 x

(1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项

-2-



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