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解析几何与排列组合



解析几何与排列组合
1.若曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 A. (?

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

B. (?

3 3 ,0)∪(0, ) 3 3 3 3 )∪(

,+ ? ) 3 3

C .[ ?

D. ( ?? , ?

2.若椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x2 +y 2 =1 的切线,切点分别为 2 2 a b
2 2

A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 3.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取 值范围是

? 3 ? ? , 0? ? 4 ? ? A.

? 3 3? 3? ? ?? , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? 3 ,3 ? ? ? 4 ? ? ? B. C. ?

? 2 ? ? , 0? ? 3 ? ? D.

4.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆 服务,不同的分配方案有 种(用数字作答) 。 5.点 A( x0,y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 ,则 x0 = 4 32

x2 y 2 7.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 a b

?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 A.

2 3 B. 2 3

C.

1 2

D.

1 3

9.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 ? MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是 A.(0,1) B.(0,

1 2 2 ] C.(0, ) D.[ ,1) 2 2 2

10.过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线,与抛物线分别交于 A、B 两点(点 A 在 y 轴左侧),则

AF = FB



12 . 设 椭 圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? , 右 焦 点 为 F (c, 0 ), 方 程 2 2 a b

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) ()
A.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 内 C.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 外 B.必在圆 x2 ? y 2 ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

13.设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . 其中真命题的代号是 15.P 是双曲线
2

B.存在一条定直线与所有的圆均相交 D.所有的圆均不 经过原点 .

(写出所有真命题的代号)

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+ 9 16

y =1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )A.6 B.7 C.8 D.9 16.将 7 个人(含甲、乙)分成三个组,一组 3 人,另两组 2 人,不同的分组数为 a,甲、 乙分到同一组的概率为 p,则 a、p 的值分别为( ) A.a=105,p=

5 21

B.a=105,p=

4 21

C.a=210,p=

5 21

D.a=210,p=

4 21

17.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1, 直线 l:y=kx,下面四个命题: A.对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切;B.对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; C.对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 D.对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 19.将 1,2,…,9 这 9 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为( ) A.

1 56

B.

1 70

C.

1 336

D.

1 420

20.以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 的轨迹为椭圆;
2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

1 (OA ? OB ), 则动点 P 2

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. ④双曲线 25 9 35
其中真命题的序号为 22,椭圆 + (写出所有真命题的序号)

=1 (a>b>0) 的左、 右顶点分别是 A, B, 左、 右焦点分别是 F1, F2. 若|AF1|,

|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 _________ .

6.设椭圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) C : x2 ? by ? b2 。 a 2 b2 ,抛物线 2

(1) 若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率; (2) 设 A(0,b) , Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN

? ?

5? 4?

的垂心为 B ? 0, b ? ,且△QMN 的重心在 C2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方程。

? ?

3 ? 4 ?

8.已知点 P 1 ( x0 , y0 ) 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一 8b 2 b 2
P
P1

y
P2

点, F2 为双曲线的右焦点,过 P1 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接

A
O

F2 A 并延长交 y 轴于 P2 :(1) 求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹 E 的方
程 ;(2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点 , 直线 QB, QD 分别交 y 轴于 M ,N 两点 . 求 Q (x ) 1, y 1 ( y 1? 0 ) 证:以 MN 为直径的圆过两定点. 11.设点 P (x0,y0) 在直线 x=m( y≠±m,0<m<1)上,过点 P 作双曲 线搿 x2-y2=1 的两条切线 PA、PB,切点为 A、B,定点 M(

F1

F2

x

1 , m

0). (1)过点 A 作直线 x-y=0 的垂线,垂足为 N,试求△AMN 的重 心 G 所在的曲线方程; (2)求证:A、M、B 三点共线.

y
, 0 )和 B(1, 0) 的 距 离 分 别 为 d1 和 d2 , 14. 设 动 点 P 到 点 A(? 1
?APB ? 2? ,且存在常数 ? (0 ? ? ? 1) ,使得 d1d2 sin ? ? ? .
2

d1

P
2?

d2

A O (1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线双曲线 C 的右支于 M ,N 两点,试确定 ? 的范围,使
???? ? ???? OM ? ON ? 0 ,其中点 O 为坐标原点.
x 2 y2 1 (a?b?0)的右焦点 F(c,0) 18.如图,椭圆 Q: 2 + 2 = , a b
过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 是线段 AB 的中点

B
y

y

B

O F

D X

A

l

(1)求点 P 的轨迹 H 的方程 (2)在 Q 的方程中,令 a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0???

? ) ,确定?的值,使原点距椭圆 2

的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转动到什么位置时,三角形 ABD 的面积最大? 21.如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.

23.已知三点 O (0, 0) , A (﹣2, 1) , B (2, 1) , 曲线 C 上任意一点 M (x, y) 满足| ( + )+2.

+

|=

?

(1)求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0) (﹣2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存 在定点 P(0,t) (t<0) ,使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值.若不存在,说明理由.

1.B

2.

x2 y 2 ? ? 1 3.A 5 4

4. 1080

5.2 7.B 9.C 10.

1 12.A 3

13. BD

15D

16A 17BD 19.A 20.③④22.


2 2

6.(1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: c ? b ,由

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2c 2 , 有

c2 1 2 ? ?e? 。 2 a 2 2
M 、 N 关 于 y 轴 对 称 , 设

(2) 由 题 设 可 知

M (? x1, y1 ), N ( x1, y1 )( x1 ? 0) ,由 ?AMN 的垂心为 B,有
???? ? ???? 3 BM ? AN ? 0 ? ? x12 ? ( y1 ? b)( y1 ? b) ? 0 。 4
2 2 由点 N ( x1 , y1 ) 在抛物线上, x1 ? by1 ? b ,解得: y1 ? ? 或y1 ? b(舍去)

b 4

故 x1 ?

b 5 5 b 5 b b, M (? b, ? ), N ( b, ? ) ,得 ?QMN 重心坐标 ( 3, ) . 4 2 2 4 2 4

由重心在抛物线上得:3 ?

1 1 b2 ? b 2 , 所以b=2 ,M (? 5, ? ), N ( 5, ? ) , 又因为 M、 2 2 4

N 在椭圆上得: a ?
2

16 x2 y 2 ? ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 2 y ? 4 ,椭圆方程为 16 3 4
3

( 0),( A b,y0) 8.(1) 由已知得 F ,则直线 F2 A 的方程为: y ? ? 2 3b,
令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P 2 (0,9 y0 ) ,

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x ? x? 0 ? x0 ? 2 x ? x0 2 y0 2 4 x2 y2 ? ? 2 ?1, (x,y) 设P ,则 ? ,即 ? y 代入 2 ? 2 ? 1 得: 2 ? 8b b 8b 25b2 y0 ? ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y ? 5 ? 0 ? ? 2
即 P 的轨迹 E 的方程为

x2 y2 ? ?1 2b2 25b2

x2 y2 ? 1 中令 y ? 0 得 x 2 ? 2b2 ,则不妨设 B (2) 在 2 ? , (- 2b, 0),D ( 2b, 0) 2 2b 25b
于 是 直 线 QB 的 方 程 为 : y ?

y1 ( x ? 2b) , x1 ? 2b

直 线 QD 的 方 程

为: y ?

y1 2by1 - 2by1 ( x- 2b) ,则 M , (0, ),N (0, ) x1 - 2b x1 ? 2b x1 - 2b

则以 MN 为直径的圆的方程为: x 2 ? (y -

2by1 2by1 )(y ? ) ? 0, x1 ? 2b x1 - 2b

2 令 y ? 0 得: x ?

2 2 x2 y2 2b2 y12 y1 , ? ? 1 上,则 x12 ? 2b 2 ? , 而 在 Q ( x , y ) 1 1 2 2 2 2 25 2b 25b x1 ? 2b

于是 x ? ?5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 (?5b,0),(5b,0) . 11.(1)设 A( x A , y A ) , N ( x N , x N ) ,∵AN⊥直线 y ? x ,则

y A ? xN ? ?1 x A ? xN

∴ xN ?

xA ? yA x ? yA xA ? yA , ), ,∴ N ( A 2 2 2

设 G( x, y ) ,则

x ? yA 1 ? ? xA ? A ? 1 1 1 2 x? m ? ? xA ? yA ? ? 3 3m 2 6 ,解得 ? xA ? yA ? ? yA 1 1 2 ? y? ? xA ? yA ? 3 6 2 ?

1 2 9 3 3 ? 9( x ? ) ? x A ? 4 x ? 4 y ? 4m 9y2 2 2 3 m , 代入双曲线方程 , 并整理得 x ? y ?1 ? ? 1, ? 3 9 1 2 2 ?yA ? ? x ? y ? 4 4 4m ?
(x ?
即 G 点所在曲线方程为

1 2 ) 2 3m ? y ? 1 29 29

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,PA 斜率为 k,则切线 PA 的方程为: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 由?

? y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ,消去 y 并整理得: 2 2 ? x ? y ?1

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2k ( y1 ? kx1 ) x ? ( y1 ? kx1 ) 2 ? 1 ? 0 ,因为直线与双曲线相切,从而
△= 4k 2 ( y1 ? kx1 ) 2 ? 4(1 ? k 2 )( y1 ? kx1 ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) = 0,及 x1 ? y1 ? 1 ,解得 k ? 因此 PA 的方程为: y1 y ? x1 x ? 1 同理 PB 的方程为: y 2 y ? x2 x ? 1 又 P(m, y 0 ) 在 PA、PB 上, ∴ y1 y0 ? x1m ? 1
2 2

x1 y1

y 2 y0 ? x2 m ? 1
即点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 都在直线 y0 y ? mx ? 1 上, 又M(

1 ,0) 也在 y0 y ? mx ? 1 上, m

∴A、M、B 三点共线。
2 14.(1)在 △ PAB 中, AB ? 2 ,即 22 ? d12 ? d2 ? 2d1d2 cos 2? ,

, 4 ? (d1 ? d2 )2 ? 4d1d2 sin 2 ? ,即 d1 ? d 2 ? 4 ? 4d1d 2 sin 2 ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数) 点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,实轴长 2a ? 2 1 ? ? 的双曲线.

方程为:

x2 y2 ? ? 1. 1? ? ?

(2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 )

, , N (1, ? 1) 在双曲线上. ①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x ? 1 , M (11)


5 ?1 1 1 ?1 ? 5 ,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? . ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? 2 1? ? ? 2

②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 y2 ? ?1 ? 2 2 2 2 由 ?1 ? ? ? 得: ? ?? ? (1 ? ? )k ? ? x ? 2(1 ? ? )k x ? (1 ? ? )(k ? ? ) ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?
2 由题意知: ? ?? ? (1 ? ? )k ? ??0,

所以 x1 ? x2 ?

?2k 2 (1 ? ? ) ?(1 ? ? )(k 2 ? ? ) , . x x ? 1 2 ? ? (1 ? ? )k 2 ? ? (1 ? ? )k 2

于是: y1 y2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ?

k 2? 2 . ? ? (1 ? ? )k 2

ON ? 0 ,且 M ,N 在双曲线右支上,所以 因为 OM ?
(1 ? ? ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?k 2 ? ? ? ? ? (1 ? ? ) 2 ? ? 5 ?1 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ?1 1? ? ? ??? . ? x1 ? x2 ? 0 2 3 ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? 1 2 ? 1? ? ?
由①②知,

???? ? ????

5 ?1 2 ≤? ? . 2 3
x 2 y2 + =1 (a?b?0) a 2 b2

18.(1)设椭圆 Q:

上的点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,又设 P 点坐标为 P(x,y) ,则
2 2 2 2 2 2 ? 1) ?b x1+a y1=a b …………( ? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x 2+a y 2=a b …………(2)

1?当 AB 不垂直 x 轴时,x1?x2, 由(1)-(2)得 2 2 b (x1-x2)2x+a (y1-y2)2y=0

?

y1-y2 b2 x y =- 2 = x1-x 2 a y x-c
2 2 2 2 2

?b x +a y -b cx=0…………(3) 2?当 AB 垂直于 x 轴时,点 P 即为点 F,满足方程(3) 2 2 2 2 2 故所求点 P 的轨迹方程为:b x +a y -b cx=0 (2)因为,椭圆 Q 右准线 l 方程是 x= =1+cos?+sin?,b =sin?(0???
2

a2 a2 2 2 2 2 ,原点距 l 的距离为 ,由于 c =a -b ,a c c

? ) 2



? ? a 2 1+cos ?+sin ? = =2sin( + ) 2 4 c 1+cos ?

当?=

? 2 2 时,上式达到最大值。此时 a =2,b =1,c=1,D(2,0) ,|DF|=1 2
x2 +y 2=1上的点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,三角形 ABD 的面积 2

设椭圆 Q:

S=

1 1 1 |y1|+ |y2|= |y1-y2| 2 2 2

设直线 m 的方程为 x=ky+1,代入 由韦达定理得 y1+y2= -

x2 +y 2=1中,得(2+k2)y2+2ky-1=0 2

2k 1 ,y1y2= - , 2 2+k 2+k 2
2

4S =(y1-y2) =(y1+y2) -4 y1y2= 令 t=k +1?1,得 4S =
2 2

2

2

8(k 2+1) 2 (k 2+2)

8t 8 8 = ? =2 ,当 t=1,k=0 时取等号。 2 1 (t+ 1) t+ +2 4 t

因此,当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴位置时,三角形 ABD 的面积最大。
2 21.(1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1 , x12 )((x1 ? x0 ) , 2 ∴切线 AP 的方程为: 2x0 x ? y ? x0 ? 0;

切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x1 ? 0;
2

解得 P 点的坐标为: x P ?

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x0 ? x1 ? x P ? xP , 3

所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ?

2 y0 ? y1 ? y P x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 x P ? y p yG ? ? ? ? , 3 3 3 3

2

所以 y p ? ?3 yG ? 4xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
2

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3
(2)因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? ( 由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0.
2

1 4

x0 ? x1 1 1 2 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x1 ? ). 2 4 4

x0 ? x1 1 1 1 2 ? x0 ? ( x0 x1 ? )(x0 ? ) x0 x1 ? 4 4 ? 4, ? 2 ∴ cos?AFP ? 1 | FP || FA | | FP | 2 2 | FP | x0 ? ( x0 ? ) 2 4 FP ? FA

x0 ? x1 1 1 1 2 ? x1 ? ( x0 x1 ? )(x1 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 2 4 4 ? 4, ? 同理有 cos?BFP ? 1 | FP || FB | | FP | 2 2 | FP | x1 ? ( x1 ? ) 2 4
∴∠AFP=∠PFB. 23.(1)由 ∴| + |= =(﹣2﹣x,1﹣y) , , =(2﹣x,1﹣y)可得 ?( + + =(﹣2x,2﹣2y) ,

)+2=(x,y)?(0,2)+2=2y+2.
2

由题意可得

=2y+2,化简可得 x =4y. ,直线 PB

(2)假设存在点 P(0,t) (t<0) ,满足条件,则直线 PA 的方程是 y= 的方程是 y= ∵﹣2<x0<2,∴ ①当﹣1<t<0 时, ,存在 x0∈(﹣2,2) ,使得

∴l∥PA,∴当﹣1<t<0 时,不符合题意; ②当 t≤﹣1 时, , ,

∴l 与直线 PA,PB 一定相交,分别联立方程组



,解得 D,E 的横坐标分别是





∵|FP|=﹣



=





=

?

∵x0∈(﹣2,2) ,△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 ∴ ,解得 t=﹣1,

∴△QAB 与△PDE 的面积之比是 2.



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