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高中数学知识点总结


函数

?映射定义:设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个元素x, 在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f :→ B 为从集合 A到集合 B的一个映射 ? ? 传统定义:如果在某变化中有两个变量x , y , 并且对于x在某个范围内的每一个确定的值, ? 按照某个对应关系 f , y 都有唯一确定的值和它对应。那么 y 就是 x的函数。记作 y = f ( x ). ?定义 ? ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? 定义域 ?函数及其表示 ?函数的三要素 ?值域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函数的表示方法 ?列表法 ? ? ?图象法 ? ? ? 传统定义:在区间[ a ,b ]上,若 a ≤ x1< x2 ≤b ,如 f ( x1 )< f ( x2 ) ,则 f ( x ) 在[ a ,b ]上递增, a ,b ]是 [ ? ? ? 递增区间;如 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则 f ( x ) 在[ a ,b ]上递减, a ,b ]是的递减区间。 ? [ ? ?单调性 ?导数定义:在区间 a ,b 上,若 f ( x ) > 0 ,则 f ( x ) 在 a ,b 上递增, a ,b 是递增区间;如 f ( x )< 0 [ ] [ ] [ ] ? ? 则 f ( x ) 在[ a ,b ]上递减, a ,b ]是的递减区间。 [ ? ? ? ? ? ? ? ?最大值:设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:(1)对于任意的 x∈I,都有 f ( x )≤ M ; ? 函数 ? ( 2)存在 x0∈I,使得 f ( x0 ) = M 。则称 M 是函数 y = f ( x ) 的最大值 函数的基本性质 ?最值 ? ?最 小值:设函数 y = f ( x ) 的定义域为 I,如果存在实数 N 满足:(1)对于任意的 x∈I,都有 f ( x )≥ N; ? ? ? ( 2)存在 x0∈I,使得 f ( x0 ) = N。则称 N 是函数 y = f ( x ) 的最小值 ? ? ? ?(1) f ( ? x ) =? f ( x ), x∈定义域 D,则 f ( x ) 叫做奇函数,其图象关于原点对称。 ? ? ?奇偶性 ?( 2 ) f ( ? x ) = f ( x ), x∈定义域 D,则 f ( x ) 叫做偶函数,其图 象关于 y轴对称。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ?周期性:在函数 f ( x ) 的定义域上恒有 f ( x +T ) = f ( x )( T ≠ 0 的常数 ) 则 f ( x ) 叫做周期函数, T 为周期; ? ? T的最小正值叫做 f ( x ) 的最小正周期,简称周期 ? ? ? (1)描点连线法:列表、描点、连线 ? ? ? ?向左平移 α 个单位: y1 = y , x1 ? a = x ? y = f ( x + a ) ? ? ? ?向右平移 a个 单位: y1 = y , x1 + a = x ? y = f ( x ? a ) 平移变换 ? ? ? ? ? ?向上平移 b个单位: x1 = x , y1 + b = y ? y ?b = f ( x ) ? ? ? ?向下平移 b个单位: x1 = x , y1 ?b = y ? y + b = f ( x ) ? ? ?横坐标变换:把各点的横坐标 x1缩短(当 w >1时)或伸长(当 0< w<1时) ? ? ? ? 到原来的 1 / w倍(纵坐标不变),即 x1 = wx ? y = f ( wx ) ? ?伸缩变换 ?纵坐标变换:把各点的纵坐标 y 伸长( A >1) 或缩短( 0< A<1) 到 原来的 A倍 1 ? ? ? ?函数图象的画法 ? (横坐标不变), 即 y1 = y / A? y = f ( x ) ? ? ? ? ( 2)变换法 ? ? ? ? {xy+ x1=2 x0 x1=2 x0 ? x ?关于点 ( x0 , y0 ) 对称: + y1 = 2 y0 ?{ y1 = 2 y0 ? y ? 2 y0 ? y = f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? ? ? ?关于直线 x = x0 对称: + x1 = 2 x0 ?{x1 = 2 x0 ? x? y = f ( 2 x0 ? x ) ? ? ? {xy = y1 y1 = y ?对称变换 ? ? ? x = x1 ? ? ?关于直线 y = y0对称: ? {y1+ y =2 y0 ?{xy11==x2 y0 ? y? 2 y0 ? y = f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? {xy= x1 ?1 ? ?关于直线 y = x对称: = y1? y = f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?

{

附: 一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对 数函数的底数大于零且不等于 1;5、三角函数正切函数 y = tan x 中 x ≠ kπ +

π
2

( k ∈ Z ) ;余切函数 y = cot x

中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法

三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x ), g ( x ) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x ) + g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x ) 为减(增)函数 3 、 若 f ( x ) 与 g ( x ) 的 单 调 性 相 同 , 则 y = f [ g ( x )] 是 增 函 数 ; 若 f ( x ) 与 g ( x ) 的 单 调 性 不 同 , 则

y = f [ g ( x )] 是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x = 0 处有定义,则 f (0) = 0 ,如果一个函数 y = f ( x ) 既是奇函数又是偶函数,则

f ( x ) = 0 (反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函 数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数

f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则

f ( x) 可 以 表 示 为

1 1 f ( x ) = [ f ( x ) + f ( ? x )] + [ f ( x ) ? f ( ? x )] ,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 2 2

? ? ?零点:对于函数y = f(x), 我们把使f ( x ) = 0的实数x叫做函数y = f ( x )的零点。 ? ? ?定理:如果函数y = f ( x ) 在区间[ a , b ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f ( a ) ? f ( b ) < 0, ? ?零点与根的关系 ? 那么,函数y = f ( x ) 在区间[ a , b ]内有零点。即存在c ∈ ( a , b ), 使得f ( c ) = 0, 这个c也是方 ? ? ? 程f ( x ) = 0的根。(反之不成立) ? ? ?关系:方程f ( x ) = 0 有实数根 ? 函数y = f ( x ) 有零点 ? 函数y = f ( x )的图象与x轴有交点 ? ? ?(1) 确定区间[ a , b ], 验证f ( a ) ? f ( b ) < 0 , 给定精确度ε ; ?函数与方程 ? ?( 2 ) 求区间( a , b )的中点c ; ? ? 函数的应用 ? ?( 3) 计算f ( c ); ?二分法求方程的近似解 ? ①若f ( c ) = 0, 则c就是函数的零点; ? ? ? c ? ? ②若f ( a ) ? f ( c ) < 0, 则令b = (此时零点x0 ∈ ( a , b )); ? ? c ? ③若f ( c ) ? f ( b ) < 0, 则令a = (此时零点x0 ∈ ( c , b )); ? ? ?( 4 ) 判断是否达到精确度ε :即若 a - b < ε , 则得到零点的近似值a ( 或b ); 否则重复 2 ? 4。 ? ? ? ?几类不同的增长函数模型 ?函数模型及其应用 ?用已知函数模型解决问题 ? ?建立实际问题的函数模型 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?指 ?指 数 函 数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?指 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 基 本 初 等 函 数 ? ? ? ? ? ?对 ? ? ?对 数 函 数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对 ? ? ? ? ? ? ? ?幂 函 数 ?定 义 ? ? ?性 质 ?

n ? 根 式 : a , n为 根 指 数 , a为 被 开 方 数 ? n m ? a ? ? 分 数 指 数 幂 ? ? ? ? ? a r a s = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q ) 数 的 运 算 ? ? ? r s rs (a > 0 , r , s ∈ Q ) ? 性 质 ? (a ) = a ? (ab )r = a r b s (a > 0, b > 0, r ∈ Q ) ? ? ? 数 函 数 ?

m = a n

? 定 义 : 一 般 地 把 函 数 y = a x ( a > 0 且 a ≠ 1 )叫 做 指 数 函 数 。 ?性 质 : 见 表 1

? 对 数 : x = lo g a N , a 为 底 数 , N 为 真 数 ? ? lo g a ( M ? N ) = lo g a M + lo g a N ; ? ? ? ? lo g a M = lo g a M ? lo g a N ; ? 数 的 运 算 ? . N ? ? 性 质 ? lo g M n = n lo g a M ; ( a > 0 , a ≠ 1, M > 0 , N > 0 ) a ? ? ? lo g c b ? ( a , c > 0 且 a , c ≠ 1, b > 0 ) l ? 换 底 公 式 :o g a b = ? lo g c a ? ? ? 定 义 : 一 般 地 把 函 数 y = l o g a x ( a > 0 且 a ≠ 1 )叫 做 对 数 函 数 数 函 数 ? ?性 质 : 见 表 1 : 一 般 地 , 函 数 y = x α 叫 做 幂 函 数 , x是 自 变 量 , α 是 常 数 。 : 见 表 2

表 1

x 指数函数 y = a ( a > 0, a ≠ 1)

对数数函数

y = log a x ( a > 0, a ≠ 1 )
x ∈ ( 0, +∞ )

定 义 域

x∈R

值 域

y ∈ ( 0, +∞ )

y∈R

图 象

过定点 (0,1)

过定点 (1, 0)

减函数 增函数 减函数 增函数 x ∈ (?∞, 0)时,y ∈ (1, +∞) (?∞, 0)时,y ∈ (0,1) ∈ (0,1)时,y ∈ (0, +∞) x ∈ (0,1)时,y ∈ (?∞,0) x x∈ x ∈ (0, +∞)时,y ∈ (0,1)x ∈ (0, +∞)时,y ∈ (1, +∞∈ (1, +∞)时,y ∈ (?∞, 0)x ∈ (1, +∞)时,y ∈ (0, +∞) x) 性 质

a<b
表2

a>b

a<b
幂函数 y = xα (α ∈ R )

a>b

α=

p q

α <0

0 <α <1

α >1

α =1

p为奇数 q为奇数
奇函数

p为奇数 q为偶数

p为偶数 q为奇数
偶函数

第一象限 性质

过定点 减函数 增函数

(0, 1 )

必修二
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角 ) 定义:x 轴正向 正向与直线向上方向 向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的 正向 向上方向 倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ) ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k = tan α 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 α ∈ 0 o ,90 o 时, k ≥ 0 ;

[

)

当 α ∈ 90 o ,180 o 时, k < 0 ; 当 α = 90 时, k 不存在。
o

②过两点的直线的斜率公式: k =

y 2 ? y1 ( x1 ≠ x 2 ) x 2 ? x1

(

)

注意下面四点:(1)当 x1 = x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ) 点斜式: ①点斜式: y ? y1 = k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ( x1, y1) 注意: 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等 于 x1,所以它的方程是 x=x1。 斜截式: ②斜截式: y = kx + b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: 两点式:

y ? y1 x ? x1 ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )直线两点 ( x1, y1) , ( x2 , y2 ) = y2 ? y1 x2 ? x1 x y 截矩式 ④截矩式: + = 1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距 截距分别为 a, b 。 截距
⑤一般式: Ax + By + C = 0 (A,B 不全为 0) 一般式: 2 注意: 1 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如: ; ; 平行于 x 轴的直线: y = b (b 为常数) 平行于 y 轴的直线: x = a (a 为常数) (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 )直线系方程: (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x + B0 y + C0 = 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x + B0 y + C = 0 (C 为常

数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1

y ? y0 = k ( x ? x0 ) ,直线过定点 (x0 , y0 ) ;

: A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l2 不在直线系中。 ( A1x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ( λ 为参数) (6)两直线平行与垂直 ) 当 l1 : y = k1 x + b1 , l 2 : y = k 2 x + b2 时,

l1 // l 2 ? k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ; l1 ⊥ l 2 ? k1 k 2 = ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 ) l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0 相交
A x + B1 y + C1 = 0 的一组解。 交点坐标即方程组 ? 1 ? ? A2 x + B2 y + C 2 = 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ;

方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

B 是平面直角坐标系中的两个点, (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) )两点间距离公式:
(9)点到直线距离公式:一点 P ( x0 , y 0 ) 到直线 l1 : Ax + By + C = 0 的距离 d = Ax0 + By 0 + C )点到直线距离公式: 2 2
A +B

则 | AB |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2

(10)两平行直线距离公式 ) 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程
(1)标准方程 ( x ? a ) + ( y ? b ) = r ,圆心 )
2 2 2
2 2 (2)一般方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 )

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 、圆的定义: 2、圆的方程 、

(a, b ) ,半径为 r;
? 2 2?

2 2 当 D + E ? 4 F > 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r = 1 D 2 + E 2 ? 4 F ? ?

2

当 D + E ? 4 F = 0 时,表示一个点; 当 D + E ? 4 F < 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: )求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 一般都采用待定系数法:先设后求。 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2 2 2

(1)设直线 l : Ax + By + C = 0 ,圆 C : ( x ? a )2 + ( y ? b )2 = r 2 ,圆心 C (a, b ) 到 l 的距离为 d = Aa + Bb + C ,则 2 2
A +B

有 d > r ? l与C相离 ; d = r ? l与C 相切 ; d < r ? l与C相交 2 2 ( 2 )设直线 l : Ax + By + C = 0 ,圆 C : ( x ? a ) + ( y ? b ) = r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之 后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? < 0 ? l与C 相离 ; ? = 0 ? l与C相切 ; ? > 0 ? l与C 相交 2 注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 xx 0 + yy 0 = r 去解直线与圆相切的问题,其中 x 0 , y 0 表示切点坐 标,r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 过圆上一点的切线方程: 过圆上一点的切线方程 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx 0 + yy 0 = r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 、圆与圆的位置关系: 2 2 2 2 设圆 C1 : (x ? a1 ) + ( y ? b1 ) = r , C 2 : ( x ? a 2 ) + ( y ? b 2 )2 = R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d > R + r 时两圆外离,此时有公切线四条;

(

)

当 d = R + r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r < d < R + r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d = R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d < R ? r 时,两圆内含; 当 d = 0 时,为同心圆。

高中数学必修 4 知识点

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 α 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 α 为第几象限角. 第一象限角的集合为

{α k ? 360

o

< α < k ? 360o + 90o , k ∈ Ζ
o

} } } }

第二象限角的集合为

{α k ? 360 + 90
o o

< k ? 360o + 180o , k ∈ Ζ
o

第三象限角的集合为

{α k ? 360 + 180
o

< α < k ? 360o + 270o , k ∈ Ζ

第四象限角的集合为

{α k ? 360 + 270

o

< α < k ? 360o + 360o , k ∈ Ζ
o

终边在 x 轴上的角的集合为

{α α = k ?180 , k ∈ Ζ} {α α = k ?180 + 90 , k ∈ Ζ}
o o

终边在 y 轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

{α α = k ? 90 , k ∈ Ζ}
o

3、与角 α 终边相同的角的集合为 4、已知 α 是第几象限角,确定

{β β = k ? 360 + α , k ∈ Ζ}
o
*

α

( n ∈ Ν ) 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方 n
α
终边所落在的区域.

起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 α 原来是第几象限对应的标号即为 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

n
l . r

6、半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ,则角 α 的弧度数的绝对值是 α =

7、弧度制与角度制的换算公式: 2π = 360 , 1 =
o

o

π
180

,1 = ?

? 180 ? o ? ≈ 57.3 . ? π ?

o

8、若扇形的圆心角为 α

(α为弧度制) ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l = r α , C = 2r + l ,

1 1 S = lr = α r 2 . 2 2
9、设

α 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , α 的 终 边 上 任 意 一 点 Ρ 的 坐 标 是 ( x, y ) , 它 与 原 点 的 距 离 是

r r = x 2 + y 2 > 0 ,则 sin α =

(

)

y x y , cos α = , tan α = ( x ≠ 0 ) . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin α = ΜΡ , cos α = ΟΜ , tan α = ΑΤ . 12、同角三角函数的基本关系: (1) sin
2

α + cos α = 1
2

y P T O M A x

( sin

2

α = 1 ? cos 2 α , cos 2 α = 1 ? sin 2 α ) ; ( 2 )
? ?. ?

sin α = tan α cos α

sin α ? ? sin α = tan α cos α , cos α = tan α ?
13、三角函数的诱导公式:

(1) sin ( 2kπ + α ) = sin α , cos ( 2kπ + α ) = cos α , tan ( 2kπ + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) . ( 2 ) sin (π + α ) = ? sin α , cos (π + α ) = ? cos α , tan (π + α ) = tan α . ( 3) sin ( ?α ) = ? sin α , cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tan α . ( 4 ) sin (π ? α ) = sin α , cos (π ? α ) = ? cos α , tan (π ? α ) = ? tan α .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

( 5 ) sin ? ?

? ?π ? ? α ? = cos α , cos ? ? α ? = sin α . ?2 ? ?2 ? ? ?π ? + α ? = cos α , cos ? + α ? = ? sin α . ?2 ? ?2 ?

π

( 6 ) sin ? ?

π

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y = sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y = sin ( x + ? ) 的图象;再将函数

y = sin ( x + ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y = sin (ω x + ? )

的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍(横坐标不变) ,得到函 数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 函数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y = sin ω x 的 图 象 ; 再 将 函 数 y = sin ω x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移

? 个单位长度,得到函数 ω

y = sin (ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin (ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 Α 倍(横坐

标不变) ,得到函数 y = Α sin (ω x + ? ) 的图象. 函数 y = Α sin ( ω x + ? )( Α > 0, ω > 0 ) 的性质: ①振幅: Α ;②周期: Τ =



ω

;③频率: f =

1 ω = ;④相位: ω x + ? ;⑤初相: ? . Τ 2π

函 数 y = Α sin ( ω x + ? ) + Β , 当 x = x1 时 , 取 得 最 小 值 为 ymin ; 当 x = x2 时 , 取 得 最 大 值 为 ymax , 则

Α=

1 1 Τ ( ymax ? ymin ) , Β = ( ymax + ymin ) , = x2 ? x1 ( x1 < x2 ) . 2 2 2
y = sin x
数 质

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 函 性

y = cos x

y = tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? π ? ? x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?
R

[ ?1,1]
当 x = 2k π + 时 ,

π

最 值

ymax

2 =1 ; 当

[ ?1,1] ( k ∈ Ζ ) 当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ ) 时,

x = 2k π ?

π

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .

ymax = 1 ;当 x = 2kπ + π
既无最大值也无最小值

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
周 期 性 奇 偶 性

2





π

奇函数

偶函数

奇函数

在 ? 2 kπ ? 单 调 性

π π? ? , 2k π + ? 2 2? ? ( k ∈ Ζ ) 上是增函数;在 π 3π ? ? ? 2 kπ + 2 , 2 kπ + 2 ? ? ? ( k ∈ Ζ ) 上是减函数.


在 [ 2 kπ ? π , 2 kπ ] ( k ∈ Ζ ) 上 是 增 函 数 ; 在

[ 2 kπ , 2 kπ + π ] ( k ∈ Ζ ) 上是减函数.
对 称 中 心

在 ? kπ ?

π π? ? , kπ + ? 2 2? ? ( k ∈ Ζ ) 上是增函数.

对称中心 ( kπ , 0 )( k ∈ Ζ ) 对 称 性 对

x = kπ +

π
2

(k ∈ Ζ)

轴 ? kπ + π , 0 ? ( k ∈ Ζ ) ? ? 2 ? ? 对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )









? kπ ? , 0 ? (k ∈ Ζ) ? ? 2 ?
无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量.

数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零 非零向量.零向量与任一向量平行. 非零 相等向量:长度相等且方向相同 方向相同的向 方向相同 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 : 量

r r r r r r a ? b ≤ a +b ≤ a + b .
⑷ 运 算 性 质 : ① 交 换 律 : a +b =b +a ; ② 结 合 律 :

r

r

r

r

r r r r r r r ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ;③ a + 0 = 0 + a = a .
r r

r

r

C















r a = ( x1 , y1 )



r b = ( x2 , y2 )





r r a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) .
18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵ 坐 标 运 算 : 设

r a

r b

Β

Α r r r r uuur uuu uuu a ? b = ΑC ? ΑΒ = ΒC
, 则

r a = ( x1 , y1 )



r b = ( x2 , y2 )

r r a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
设 Α 、 Β 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,则 ΑΒ = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 19、向量数乘运算: ⑴实数 λ 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 λ a . ①

uuu r

r

r

λa = λ a ;
r r r r

r

r

②当 λ > 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ = 0 时, λ a = 0 . ⑵运算律:① λ ( ? a ) = ( λ? ) a ;② ( λ + ? ) a = λ a + ? a ;③ λ a + b = λ a + λb . ⑶坐标运算:设 a = ( x, y ) ,则 λ a = λ ( x, y ) = ( λ x, λ y ) . 20、向量共线定理:向量 a a ≠ 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b = λ a . 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,其中 b ≠ 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 = 0 时,向量 a 、 b b ≠ 0 共线.

r

r

r

r

r

r

r

(r )
r

r

r

r

r

r r

(

r

)

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

(

r

)

ur

uu r

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且

r

只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 不共线 (不共线 不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 Ρ 是线段 Ρ1Ρ 2 上的一点, Ρ1 、 Ρ 2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,当 Ρ1Ρ = λ ΡΡ 2 时, 点 Ρ 的坐标是 ?

r

ur

uu r

ur

uu r

uuu r

uuur

? x1 + λ x2 y1 + λ y2 ? , ?. 1+ λ ? ? 1+ λ

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b = a b cos θ a ≠ 0, b ≠ 0, 0 ≤ θ ≤ 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .
o o

r r

r r
r

(r

r r

r

)

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ⊥ b ? a ? b = 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b = a b ;当 a 与 b 反向时,

r

r

r

r r

r

r

r r

r r

r

r

r r r r2 r r r r r r r r r r r a ? b = ? a b ; a ? a = a 2 = a 或 a = a ? a .③ a ? b ≤ a b .
⑶运算律:① a ? b = b ? a ;② ( λ a ) ? b = λ a ? b = a ? λ b ;③ a + b ? c = a ? c + b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 . 若 a = ( x, y ) ,则 a = x + y ,或 a =
2 2

r r

r r

r

r

(r )
r r

r

( )
r

(r )

r r

r r

r r

r

r r

r
r

r2

r

x2 + y 2 .

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 + y1 y2 = 0 . 设 a 、 b

r

r

r

r

r

都 是 非 零 向 量 , a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , θ 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

r

r

r

r

r r a ?b x1 x2 + y1 y2 cosθ = r r = . 2 2 a b x12 + y12 x2 + y2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ; ⑵ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ⑶ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ; ⑷ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; ⑸ tan (α ? β ) = ⑹ tan (α + β ) =

tan α ? tan β ( tan α ? tan β = tan (α ? β )(1 + tan α tan β ) ) ; 1 + tan α tan β tan α + tan β ( tan α + tan β = tan (α + β )(1 ? tan α tan β ) ) . 1 ? tan α tan β

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2α = 2sin α cos α .

⑵ cos 2α = cos ⑶ tan 2α =

2

α ? sin 2 α = 2cos2 α ?1 = 1 ? 2sin 2 α ( cos 2 α =

cos 2α + 1 1 ? cos 2α 2 , sin α = ) . 2 2

2 tan α . 1 ? tan 2 α
Α 2 + Β 2 sin (α + ? ) ,其中 tan ? =
Β . Α

26、 Α sin α + Β cos α =

高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ?ΑΒ C 中, a 、 b 、 c 分别为角 Α 、 Β 、 C 的对边, R 为 ?ΑΒC 的外接圆的半径,则有

a b c = = = 2R . sin Α sin Β sin C
2、正弦定理的变形公式:① a = 2 R sin Α , b = 2 R sin Β , c = 2 R sin C ; ② sin Α =

a b c , sin Β = , sin C = ; 2R 2R 2R

③ a : b : c = sin Α : sin Β : sin C ; ④

a+b+c a b c = = = . sin Α + sin Β + sin C sin Α sin Β sin C
1 1 1 bc sin Α = ab sin C = ac sin Β . 2 2 2
2 2 2 2 2 2

3、三角形面积公式: S ?ΑΒC =

4、余弦定理:在 ?ΑΒC 中,有 a = b + c ? 2bc cos Α , b = a + c ? 2ac cos Β ,

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos Α =

b2 + c2 ? a2 a2 + c2 ? b2 a2 + b2 ? c 2 , cos Β = , cos C = . 2bc 2ac 2ab
2 2 2
o

6、设 a 、 b 、 c 是 ?ΑΒC 的角 Α 、 Β 、 C 的对边,则:①若 a + b = c ,则 C = 90 ; ②若 a + b > c ,则 C < 90 ;③若 a + b < c ,则 C > 90 .
2 2 2
o

2

2

2

o

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 9、有穷数列:项数有限的数列.

8、数列的项:数列中的每一个数. 10、无穷数列:项数无限的数列.

11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数 称为等差数列的公差. 18 、 由三 个数 a , Α , b 组 成 的 等 差数 列可 以看 成 最简 单 的等 差数 列, 则 Α 称 为 a 与 b 的 等 差中 项. 若

b=

a+c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

19、若等差数列

{a n } 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

= a1 + ( n ?1) d .

20、通项公式的变形:① an = am +

( n?m) d ;② a1 = an ?( n?1) d ;③ d =


an ? a1 n ?1



④n=

an ? am an ? a1 +1;⑤ d = n?m d

21、若 {an } 是等差数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν ) ,则 am + an
*

= ap +aq ;若 {an } 是等差数列,

,则 2an 且 2n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν * )

= ap + aq .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

=

n( a1 + an ) n ( n ?1) d. ;② Sn = na1 + 2 2

23 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 : ① 若 项 数 为 2n n ∈ Ν * , 则

(

)

S2n = n( an + an+1 ) , 且 S偶 ?S奇 = nd ,

S奇 S偶

=

an an +1



② 若 项 数 为 2n ? 1 n ∈ Ν * , 则 S 2 n ?1 = ( 2n ? 1) an , 且 S奇 ? S偶 = an ,

(

)

S奇 S偶

=

n ( 其 中 S奇 = nan , n ?1

S 偶 = ( n ? 1) a n ) .
24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数 称为等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G = ab ,则称 G
2

为 a 与 b 的等比中项. 26、若等比数列 {an } 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an = a1q
n ?1


? ( n ?1)

27、通项公式的变形:① an

= am q n?m ;② a1 = an q

;③ q

n ?1

=

a n?m an = n . ;④ q am a1

28、若 {an } 是等比数列,且 m + n = p + q ( m 、 n 、 p 、 q ∈ Ν * ) ,则 am ? an = a p ? aq ;若 {an } 是等比数列,且

2 n = p + q ( n 、 p 、 q ∈ Ν * ) an ,则

2

= a p ? aq .

?na1 ( q = 1) ? 29、等比数列 {an } 的前 n 项和的公式: S n = ? a1 (1 ? q n ) a ? a q . = 1 n ( q ≠ 1) ? 1? q ? 1? q
30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ∈ Ν ② S n+ m

(

*

) ,则 S

S偶


=q.

= Sn + q n ? Sm .

③ Sn , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n 成等比数列. 31、 a ? b > 0 ? a > b ; a ? b = 0 ? a = b ; a ? b < 0 ? a < b . 32、不等式的性质: ① a > b ? b < a ;② a > b, b > c ? a > c ;③ a > b ? a + c > b + c ; ④ a > b, c > 0 ? ac > bc , a > b, c < 0 ? ac < bc ;⑤ a > b, c > d ? a + c > b + d ; ⑥ a > b > 0, c > d > 0 ? ac > bd ;⑦ a > b > 0 ? a > b
n n

( n ∈ Ν, n > 1) ;

⑧a > b > 0?

n

a > n b ( n ∈ Ν , n > 1) .

33、在平面直角坐标系中,已知直线 Αx + Βy + C = 0 ,坐标平面内的点 Ρ ( x0 , y0 ) . ①若 Β > 0 , Αx0 + Βy0 + C > 0 ,则点 Ρ ( x0 , y0 ) 在直线 Αx + Βy + C = 0 的上方. ②若 Β > 0 , Αx0 + Βy0 + C < 0 ,则点 Ρ ( x0 , y0 ) 在直线 Αx + Βy + C = 0 的下方. 34、在平面直角坐标系中,已知直线 Αx + Βy + C = 0 . ① 若 Β > 0 , 则 Αx + Βy + C > 0 表 示 直 线 Αx + Βy + C = 0 上 方 的 区 域 ; Αx + Βy + C < 0 表 示 直 线

Αx + Βy + C = 0 下方的区域.
② 若 Β < 0 , 则 Αx + Βy + C > 0 表 示 直 线 Αx + Βy + C = 0 下 方 的 区 域 ; Αx + Βy + C < 0 表 示 直 线

Αx + Βy + C = 0 上方的区域.
35、设 a 、 b 是两个正数,则

a+b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a+b ≥ ab . 2

36、均值不等式定理: 若 a > 0 , b > 0 ,则 a + b ≥ 2 ab ,即 37、常用的基本不等式:① a + b ≥ 2ab ( a, b ∈ R ) ;② ab ≤
2 2
2 2

a2 + b2 ( a, b ∈ R ) ; 2

a2 + b2 ? a + b ? ? a+b? ③ ab ≤ ? ≥? ( a > 0, b > 0 ) ;④ ? ? ( a, b ∈ R ) . 2 ? 2 ? ? 2 ?
38、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

s2 ,则当 x = y 时,积 xy 取得最大值 . ⑴若 x + y = s (和为定值) 4
⑵若 xy = p (积为定值) ,则当 x = y 时,和 x + y 取得最小值 2 p


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