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高中数学 2.2.4 双曲线的参数方程课后作业课件 理 北师大版选修4-4



2.4 双曲线的参数方程 课后作业

?x ? et ? e? t ? 1.方程 t ? t (t为参数)的图形是 ( y ? e ? e ? A.双曲线的左支 B.双曲线的右支

)

C.双曲线的上支
答案:B

D.双曲线的下支

?e t ? e ? t ,

① 解析 : x ? ? t ?t y ? e ? e , ② ? ① ? ②, 可得x ? y ? 2e t , ③① ? ②, 可得x ? y ? 2e ? t , x2 y 2 ④③ ? ④, 可得 ? x ? y ?? x ? y ? ? 4 ? ? ? 1表 4 4 示焦点在x轴上的双曲线, 又x ? e t ? e ? t ≥2, 故选B.

2.若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线 则|PF|=( )

2 ? x ? 4t(t , 为参数)上, ? ? y ? 4t

A.2
C.4 答案:C

B.3
D.5

解析:由题意,可得抛物线方程为y2=4x,准线为x=-1,|PF|为 P(3,m)到准线x=-1的距离,即为4,故选C.

? x ? 2 3tan? , ? 3.双曲线 ? (? 为参数)的两焦点坐标是 ? 6 ?y ? cos? ? A.(0, ?4 3),(0, 4 3) B.( ?4 3 ,0),(4 3,0) C.(0, ? 3),(0, 3) D.( ? 3,0),( 3,0)

?

答案:A

y 2 x2 解析 : 双曲线方程化为 ? ? 1,? c2 ? 36 ? 12 ? 48, 36 12 c ? 4 3, 且焦点在y轴上, 故选A.

3 ? x ? , ? 4.双曲线 ? cos? (? 为参数)的渐近线方程为? ? ? y ? tan? 1 A.y ? ?3x B.y ? ? x 3 C.y ? ? 3 x
答案:A

?

3 D.y ? ? x 3

解析:双曲线方程化为 ∴渐近线方程为y=±3x.

x 2-y2=1, 9

? x ? 2 ? t, 5.直线 ? (t为参数)被双曲线x 2 ? y 2 ? 1所截得的弦 ? y ? 3t 长是 ? ? A.2 10 1 C. 10 2 B. 10 1 D. 10 3

答案:A

解析:将x=2+t,y= 并整理得2t2-4t-3=0.

t3 代入x2-y2=1,

设直线与双曲线交于点A,B,且
A(2 ? t1 , 3t1 ), B(2 ? t 2 , 3t 2 ), ? AB ? (t1 ? t2 ) 2 ? 3(t1 ? t2 ) 2 ? 2 (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 2 4 ? 6 ? 2 10.

1 ? x ? t ? , ? ? t 6.双曲线 ? (t为参数)的渐近线方程为 ________ . ?y ? t ?1 ? t ?

答案:y=±x

1 ? x?t? , ? ? t 解析 : ?? ? x 2 ? y 2 ? 4, ?y ? t ?1 ? t ? b ? 其渐近线方程为y ? ? x ? ? x. a

3 ? x ? , ? ? 7.双曲线 ? cos? (? 为参数)上一点P是? ? 对应的点, 3 ? ? y ? 4tan? 双曲线的右焦点为F, 则 FP 为 ________ .
答案:7

x2 y 2 解析 : 双曲线的方程化为 ? ? 1. 9 16 ? 右焦点F ? 5,0 ? . 3 ? ? 6, ?x ? ? cos ? 又? 3 ? ? ? y ? 4tan ? 4 3. 3 ? ? P(6, 4 3), FP ? (6 ? 5) 2 ? (4 3) 2 ? 7.

4 ? 8.曲线x ? , y ? 2tan? (?为参数)上一点P是? ? 对应 cos? 4 的点, 则直线OP的斜率为 ________ . 2 答案 : 4 4 ? ? 4 2, ?x ? ? cos 2 2 ? 解析 :由题得 ? ? k OP ? ? . 4 4 4 2 ? ? ? y ? 2tan ? 2, 4 ?

9.已知圆O:x2+(y-2)2=1上一点P与双曲线x2-y2=1上一点Q,求 P?Q两点距离的最小值.
1 解析:设双曲线上点的坐标为Q( ,tanθ) cos? 先求圆心到双曲线上点的最小距离. 1 2 |OQ| = +(tanθ-2)2 2 cos ? =1+tan2θ+tan2θ-4tanθ+4

=2(tanθ-1)2+3.

5? ?当tan? ? 1即? ? 或 时, OQ min ? 3. 4 4 ? PQ min ? 3 ? 1.

?

10.已知定点A(0,4)和双曲线x2-4y2=16上的动点B,点P分有向 线段AB的比为1∶3,求P点的轨迹方程.

x2 y 2 解析 : 双曲线的方程可化为 ? ? 1. 16 4 4 ? x ? , ? cos? (?为参数). 它的一个参数方程为 ? ? y ? 2tan? ?

4 设点P的坐标为? x, y ? ,曲线上点B的坐标为( , 2tan? ), cos? ??? ? ??? ? ??? ? 根据题意 : PB ? 3 AP, 又 AP ? ( x, y ? 4), 4 ? ??? ? 4 ?3 x ? cos? ? x, PB ? ( ? x, 2tan? ? y),? ? cos? ?3 ? y ? 4 ? ? 2tan? ? y, ? 1 ? x ? , ? 2 cos? ? 2 两式消去? , 得x ? 4 ? y ? 3? ? 1. ? ? y ? 3 ? 1 tan? , ? 2 ?

2 y 11.已知点M(2,1)和双曲线x2=1,求以M为中点的双曲线 2 右支的弦AB所在的直线l的方程.

? x ? 2 ? tcos? , 解析 : 设直线l的参数方程是 ? (t为参数), 代入 ? y ? 1 ? tsin? 双曲线的方程可得关于t的二次方程
2 (1 ? tsin ? ) (2 ? tcos? ) 2 ? ? 1, 2 即? 2cos 2? ? sin 2? ? t 2 ? ? 8cos? ? 2sin? ? t ? 5 ? 0,

并设弦的两个端点A?B对应的参数分别为t1、t 2 . 8cos? ? 2 sin? 由于M是中点, 所以t1 ? t 2 ? 0,即 ? ? 0. 2 2 2cos ? ? sin ?

所以tanα=4, ∴直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.



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