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数列的概念与简单表示法



数列的概念与简 单表示法

绥化二中

刘艳红

有人说,大自然是懂数学的。
? 花瓣的数目

海棠(2)

铁兰(3)

有人说,大自然是懂数学的。

黄蝉(5)

波斯菊(8)

人说,大自然是懂数学的。

数列是反 映自然规 律的模型

雏菊(13)

花瓣数: 2,3,5,8,13 画面:
1, 2, 3, 4, 5

数列是反映自然规律的模型
? 树木的分杈

13 8 5 3 2 1 1

数列是研究现实问题的模型
? 高一年级各班人数情况 班级 人数 1 75 2 79 3 73 4 50 5 65 6 66 7 71 8 69

花瓣数目:

2,3,5,8,13

树木的分杈: 1,1,2,3,5,8,13 各班人数: 75,79,73,50,65,66,71,69

数列的基本概念
数列
数列的项 首项 第2项 第n项

按一定顺序排列着的一列数
数列中每一个数 排在第一位的数,即数列的第一项 排在第2位的数 排在第n位的数

1,4,9, 16,
a 1 a2 a3 a4

数列的表示方法
数列的一般形式可以写为a1,a2,a3,… ,an … ,

简记为 ?an ? (右下标n表示项的位置序号)。
项数有限的数列叫做有穷数列; 项数无限的数列叫做无穷数列。
你能举出身边的数列的例子吗?

你能判断吗?
⒈由无穷多个3所组成的一列数是数列吗? 3,3,3,3,3, …
数列中的数可以重复

⒉以下两个数列是同一数列吗? 54, 60, 55, 58, 64, 55, 58, 60, 57, 54. 54, 60, 55, 58, 55, 64, 58, 60, 57, 54.
若数列中被排列的数相同,但次序不同,则不是同一数列

3.由2,3,a,5,b,6,这几个元素能构成数 列吗?
数列的项是一个确定的数值

数列的分类
分类
我们可以按照数列的每一项随序号变化的情况对数列 进行分类

递增数列
从第2项起, 每一项都不小 于它的前一项

递减数列
从第2项起, 每一项都不 大于它的前 一项

常数列
各项都 相等

摆动数列
从第2项起, 有些项大于它 的前一项,有 些项小于它的 前一项

以下数列属于哪种分类?
⑴全体自然数构成数列: 0,1,2,3, … . 递增数列 ⑵1996~2002年某市普通高中生人数(单位:万人) 构成数列 82,93,105,119,129,130,132. ⑶无穷多个3构成数列 3,3,3,3,3, … .
常数列 递增数列

⑷目前通用的人民币面额从大到小的顺序构成数列(单位:元) 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1, 递减数列 0.05,0.02,0.01. ⑸-1的1次幂, 2次幂, 3次幂, 4次幂 ……构成数列 摆动数列 -1,1,-1,1, … .

数列的对应关系

x y

1 a1

2 a2

3 a3

… …

n an

… …

从映射的观点看,数列可以看作是:序号到 数列项的映射; 从函数的观点看,数列项是序号的函数。 数列是一种特殊的函数。

我们把它看作以正整数集(或它的有限子集)为定义域 的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,都 有唯一一个函数值与其对应。

数列是一种特殊的函数
反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3, …)有意义 , 那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3), …,f(n) ,… 例如:函数y=7x+9,当x依次取1,2,3, …时,其函 数值构成的数列有什么特点? a1 = f(1) =16 a2 = f(2) =23 a3 = f(3) =30 a4 = f(4) =37

数列的通项公式

通项公式就是 an与n之间的函数关系式
如数列 如数列

2, 4, 6, …, 2n, …

an ? 2n
1 an ? n

1 1 1 1 1 … 1, , , , , … , , 2 3 4 5 n

数列的通项公式 例1. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1 ,用列表
法写出这个数列的前5项,并作出图象.

解:
n an =2n-1 1 2 3 4 5

1

3

5

7

9

an
10 9 8

y=2x-1 an=2n-1

7
6 5 4 3 2 1

O

特 点:数列的图象是一群孤立的点。

n 数列的图象有何特点?
1 2 3 4 5 6 7



题 1、通项公式法 2、列表法 3、图象法

问题1:数列的表示法:


a
10

问题2:写出这个数列的第10项? =2x10-1=19

问题3:2005是这个数列的项吗?2006呢?





解:设2006是此数列的项,则 2n-1=2006 ∴ n=1003.5 ? N* ∴ 2006不是这个数列的项。

猜猜看
观察下面数列的特点,用适当的数填空,并 写出每个数列的一个通项公式:

(1)2,4, ( 8 ),16,32, (64 ),128

( 2)(1 ),4,9,16,25, (36 ),49
1 1 1 1 1 1 ( 3) - 1, , ( - ), ,- , , ( - ) 2 3 4 5 6 7

(4)1, 2, ( 3 ),2, 5 , ( 6 ), 7

小结

1 2 3 4

生活处处有数列 数列的基本概念和表示方法 数列的分类 数列的对应关系

练习
课本:P31练习1,2

绥化市第二中学



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