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§1.2.2函数的表示法(一)


§ 1.2.2 函数的表示法(一) 我们学习了函数的概念及其三要素,它们所指的各是什么呢? 复习巩固,推陈出新 一、函数的基本概念及其三要素 1.函数的概念 设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有惟一确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A?B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x) ,x?A. 2.函数的三要素是什么? 定义域、值域和对应法则是函数的三要素. 今天我们继续研究函数的表示方法. 二、函数的表示法 初中函数的三种表示方法有哪些?各有什么优点? 函数的表示方法有三种 1.解析法:用数字表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明,给出自变量 x 可求出函数值. 2.图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系 优点:直观形象,反映变化趋势. 3.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点:不需计算,就可看出函数值.注意:①区间是集合; 练习 下列三个实例表示的函数各是运用了什么表示方法? (1)一枚炮弹发射后, 经过 26s 落到地面 击中目标.炮弹的射高 为 845m,且炮弹距 .. 地面的高度 h(单位:m)随时间 t(单位:s)变 化的规律是: h=130t-5t2. (*)

第 一 张 幻 灯 片

第 二 张 幻 灯



第 三 张 幻 灯



(2)近几十年来,大气层中的 臭氧迅速减少, 因而出现了臭氧层 空洞问题. 图中的曲线显示了南极 上空臭氧层空洞的面积从 1979~ 2001 年的变化情况.

第 三 张 幻 灯



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(3)国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数 越低,生活质量越高.表中是“八五”计划以来,我国城镇居民家庭恩格尔系 数随时间(年)变化的情况. 时间 t(年) 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系 53.8 数 y(%)
52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9

第 四 张 幻 灯


第 五 张 幻 灯

分析:(1)用解析法. (2) 用图象法. (3)用列表法. 典例分析,深化理解 例 1 某种笔记本的单价是 5 元,买 x(x?{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用 函数的三种方法表示函数 y=f(x) .

片 解:这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数 y=f(x)表示为:y=5x,x?{1,2,3,4,5}. 用列表法可将函数 y=f(x)表示为 笔记本数 x 钱数 y 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

用图象法可将函数 y=f(x)表示为

小结:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点. 例 1 中的函数可用三种表示方法,但并不是每一个函数关系都能用三种表示方法, 我们要学会选择恰当方法表示问题中的函数关系. 例 2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及 班级平均分表.
测试 序号 成绩 第1次 姓名

第2次 87 76 65 78.3

第3次 91 88 73 85.4

第4次 92 75 72 80.3

第5次 88 86 75 75.7

第6次 95 80 82 82.6

王伟 张城 赵磊 班级平均分

98 90 68 88.2

第 六 张 幻 灯



请你对三位同学在高一学年度的数学学习情况作一个分析. 第 2 页 共 7 页

分析:表格是函数的一种表示方法,但对所研究问题的解决,不是很方便,如果将 “成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来,得出 4 个函数关系如图,那 么就能比较直观地看到成绩变化的情况.这对我们的分析很有帮助.

由图我们看到,王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平,学习情况比较稳 定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均水平上下波动,而且波 动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平,但他的成绩曲线呈上升趋势, 表明他的数学成绩在稳步提高. 小结:恰当选择函数的表示方法,巧妙解决实际问题. 练习 1.如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为 x,面 积为 y,把 y 表示为 x 的函数. 第 25cm
七 张 幻 灯

x



解:如图,矩形的对角线就是圆的直径,所以矩形高为: 502 ? x 2 ,∴y=x 502 ? x 2
? ? x ? 0, 注意到实际问题的限制有 ? 2 有 0<x<50. 2 ? ?50 ? x ? 0.

∴所求函数为 y=x 502 ? x 2 (0<x<50) .

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2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写出一 件事. (1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学; (2)我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次家通堵塞,耽搁了一些时间; (3)我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速.
第 八 张 幻 灯



解:(1)与 D 图,(2)与 A 图,(3)与 B 图吻合得最好.剩下与 C 图相符的一件事可能 为:我出发后感到时间紧,所以加速前进,后来发现时间还很充裕,于是放慢了速度. 三、分数函数 例 3 判断下面图象是否为函数?如果是,则求出定义域、值域和解析式.
第 九 张 幻 灯



解:观察图象知函数定义域为[-1,2]值域为[-1,1]. 当?1≤x≤0 时 设 f(x)=kx+b(k?0) 则?
?0 ? ?k ? b ?1 ? b

??

?k ? 1 ?b ? 1

∴f(x)=x+1

当 0<x≤2 时 设 f(x)=kx(k?0) 则?1=2k ?k= ?
1 2

∴f(x)= ?

1 x 2

综上所求:f(x)= ? 1

? x ? 1, ? 1 ? x ? 0 ? ? x, 0 ? x ? 2 ? ? 2

象上面的函数 f(x)称为分段数函数. 注意:分段函数是一个分段书写的函数,不是多个函数.
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练习 3 画出函数 y=|x|的图象.

第 十 张 幻 灯

片 解:由绝对值的概念,我们有 y= ?
? x, x ? 0, ?? x, x ? 0.

所以,函数 y=|x|的图象如图所示.

练习
? x ? 4, x ? 0, ? 4.已知函数 y= ? x 2 ? 2 x, 0 ? x ? 4, 求 f{f[f(5)]}的值. ?? x ? 2, x ? 4. ?
第 十 一 张 幻 灯

解:∵5>4,∴f(5)= ?5+2= ?3. ∵?3<0, ∴f[f(5)]=f(?3)= ?3+4=1. ∵0<1<4, ∴f{f[f(5)]}=f(1)=12?2 ? 1= ?1,即 f{f[f(5)]}= ?1. 例 4 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里) ,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算). 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解 析式,并画出函数图象. 解:设票价为 y,里程为 x,由题意可知,自变量 x 的取值范围是(0,20]. 由“招手即停”公共汽车票价的制定规则, 可得到以下函数解析式:
?2, ?3, ? y= ? ?4, ? ?5, 0 ? x ? 5, 5 ? x ? 10, 10 ? x ? 15, 15 ? x ? 20.
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第 十 二 张 幻 灯



根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图.

回顾反思,提炼升华 一、从知识技能上
?解析法 ? 1.函数的表示法 ?图像法 ?列表法 ?

第 十 三 张 幻 灯

注意:恰当选择 2.分段函数 ①图象、分段函数. ②定义域,分段 x 范围的并集. ③值域,分段 y 范围的并集. 注意:分段函数是一个函数. 二、从思想方法上 数形结合 演练平台,巩固提高 1.第 27 页习题 1.2A 组第 7、8、9 题.第 49 页 B 组 7 题.
?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 2.已知函数 f(x)= ?1, x ? 0, ?? x ? 1, x ? 0. ?



⑴求 f(?1),f[f(?1)],f{f [f(?1)]}的值; ⑵画出函数的图象. 3.若定义运算 a⊙b= ?
?b, a ? b, 则函数 f(x)=x⊙(2?x)的值域是______________. ? a , a ? b,

答案与提示: 第 27 页习题 1.2A 组第 7 题

8.例如,y= 9.x=
4v

10 20 (x>0),l=2x+ (x>0),l=2 d 2 ? 20 . x x
h ?d 2 ],值域[0,h]. 4v

?d 2 第 49 页 B 组 7 题:设某人月工资、薪金所得为 x 元,应纳此项税款为 y 元,
第 6 页 共 7 页

t ,定义域[0,

0 ? x ? 800, ?0, ?( x ? 800) ? 5%, 800 ? x ? 1300 , ? 则 y= ? ) ?10%, 1300? x ? 2800 , ?25 ? ( x ? 1300 ? ) ?15%, 2800? x ? 5800 . ?175? ( x ? 2800

由于某人一月份应纳税款为 26.78 元, 故必有 1300<x≤2800, 从而 26.78=25+(x?1300) ? 10%,解得 x=1317.8 元 所以,某人一月份的工资、薪金为 1317.8 元. 2.⑴f(?1)=0; f[f(?1)] =f(0)=1;f{f [f(?1)]}=f(1)= ?12+2 ? 1=1. ⑵函数图象如图所示

3.(?∞,1].

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