9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015数学



2014-2015 学年广东省广州二中、珠海一中联考 高一(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={﹣1,1,2},N={x∈R|x2﹣5x+4=0},则 M∪N=( ) A. ? B. {1} C. {1,4} D. {﹣1,1,2,4} 【考点】

: 并集及其运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】 : 解:N={x∈R|x2﹣5x+4=0}={1,4}, ∵M={﹣1,1,2}, ∴M∪N={﹣1,1,2,4}, 故选:D 【点评】 : 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)函数 y=lnx﹣6+2x 的零点为 x0,则 x0∈( ) A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (5,6) 【考点】 : 二分法求方程的近似解. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用. 【分析】 : 可判断函数 y=lnx﹣6+2x 连续,从而由零点的判定定理求解. 【解答】 : 解:函数 y=lnx﹣6+2x 连续, 且 y|x=2=ln2﹣6+4=ln2﹣2<0, y|x=3=ln3﹣6+6=ln3>0; 故函数 y=lnx﹣6+2x 的零点在(2,3)之间, 故 x0∈(2,3) ; 故选 B. 【点评】 : 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 3. (5 分)三个数 0.89,90.8,log0.89 的大小关系为( A. log0.89<0.89<90.8 B. 0.89<90.8<log0.89 C. log0.89<90.8<0.89 D. 0.89<log0.89<90.8 )

【考点】 : 指数函数的图像与性质. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 依据对数的性质,指数的性质,分别确定 log0.89,0.89,90.8 数值的大小,然后 判定选项. 【解答】 : 解:∵0.89∈(0,1) ;90.8>1;log0.89<0, 所以:log0.89<0.89<90.8, 故选:A 【点评】 : 本题考查对数值大小的比较,分数指数幂的运算,是基础题. 4. (5 分)与直线 l:3x﹣4y﹣1=0 平行且到直线 l 的距离为 2 的直线方程是( A. 3x﹣4y﹣11=0 或 3x﹣4y+9=0 B. 3x﹣4y﹣11=0 C. 3x﹣4y+11=0 或 3x﹣4y﹣9=0 D. 3x﹣4y+9=0 )

【考点】 : 两条平行直线间的距离;直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】 : 计算题;直线与圆. 【分析】 : 根据平行线的直线系方程设所求的直线方程为 3x﹣4y+c=0,再由题意和两平行 线间的距离公式列方程,求出 c 的值,代入所设的方程即可. 【解答】 : 解:由题意设所求的直线方程为 3x﹣4y+c=0, 根据与直线 3x﹣4y﹣1=0 的距离为 2 得 =2, 解得 c=﹣11,或 c=9, 故所求的直线方程为 3x﹣4y﹣11=0 或 3x﹣4y+9=0. 故选:A. 【点评】 : 本题考查两直线平行的性质,两平行线间的距离公式,设出所求的直线方程为 3x﹣4y+c=0,是解题的突破口. 5.已知 sinx=﹣ ,且 x 在第三象限,则 tan2x=( A. B. C. D. )

【考点】 : 二倍角的正切;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】 : 计算题;三角函数的求值. 【分析】 : 由已知和同角三角函数关系式可求 cosx,tanx,从而由二倍角的正切函数公式可 求 tan2x 的值. 【解答】 : 解:∵sinx=﹣ ,且 x 在第三象限, ∴cosx=﹣ =﹣ , ∴tanx= = , ∴tan2x= =﹣ , 故选:A. 【点评】 : 本题主要考查了同角三角函数关系式,二倍角的正切函数公式的应用,属于基础 题. 6. (5 分)半径为 R 的球内接一个正方体,则该正方体的体积是( A. B. C. D. )

【考点】 : 球的体积和表面积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 根据半径为 R 的球内接一个正方体,根据正方体的对角线过原点,可以求出正 方体的棱长,从而根据体积公式求解 【解答】 : 解:∵半径为 R 的球内接一个正方体,设正方体棱长为 a, 正方体的对角线过球心,可得正方体对角线长为: a=2R, 可得 a= , ∴正方体的体积为 a3=( )3= , 故选:D. 【点评】 : 此题主要考查圆的性质和正方体的体积公式,考查学生的计算能力,是一道基础 题,难度不大. 7.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 =(2,4) , = ( 1 , 3) ,则 =( )

A. (2,4) B. (﹣2,﹣4) C. (3,5) D. (﹣3,﹣5) 【考点】 : 平面向量的坐标运算. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 根据题意,画出图形,结合图形以及平行四边形中的向量相等关系,求出 . 【解答】 : 解:根据题意,画出图形,如图所示; ∵平行四边形 ABCD 中, =(2,4) , =(1,3) , ∴ = ﹣ =(﹣1,﹣1) , ∴ = + = + = ﹣ =(﹣3,﹣5) . 故选:D. 【点评】 : 本题考查了平面向量的坐标表示以及平行四边形法则,是基础题目. 8. (5 分) (2013?广州二模)直线 y=kx+1 与圆 x2+y2﹣2y=0 的位置关系是( A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 取决于 k 的值 )

【考点】 : 直线与圆的位置关系. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : 根据圆的方程,先求出圆的圆心和半径,求出圆心到直线 y=kx+1 的距离,再和 半径作比较,可得直线与圆的位置关系. 【解答】 : 解:圆 x2+y2﹣2y=0 即 x2+(y﹣1)2=1,表示以(0,1)为圆心,半径等于 1 的圆. 圆心到直线 y=kx+1 的距离为 =0,故圆心(0,1)在直线上,故直线和圆相交, 故选 A. 【点评】 : 本题主要考查求圆的标准方程的特征,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公 式,属于中档题. 9.已知向量 , 满足 ,| |=1, |=2,则|2 ﹣ |=( A. B. C. 8 D. 12 )

【考点】 : 平面向量数量积的运算. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 根据向量的数量积运算,以及向量的模的方法,即遇模则平方,问题得以解决 【解答】 : 解:∵ , ∴ =0 ∵| |=1, |=2, ∴|2 ﹣ |2=4| |2+| |2﹣4 =4+4﹣0=8, ∴|2 ﹣ |=2 , 故选:A 【点评】 : 本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法,属于基础题 10. (5 分)对于平面α 和共面的直线 m、n,下列命题中正确的是( ) A. 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α B. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C. 若 m?α,n∥α ,则 m∥n D. 若 m、n 与α 所成的角相等,则 m∥n

【考点】 : 空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】 : 阅读型;空间位置关系与距离. 【分析】 : 由线面的位置关系,即可判断 A;由线面平行的定义和性质,即可判断 B; 由线面平行的定义和性质,再由 m,n 共面,即可判断 C;由线面角的定义和线线的位置关 系,即可判断 D. 【解答】 : 解:由于直线 m、n 共面, 对于 A.若 m⊥α ,m⊥n,则 n?α 或 n∥α ,故 A 错; 对于 B.若 m∥α ,n∥α ,则 m,n 相交或平行,故 B 错; 对于 C.若 m?α,n∥α ,由于 m、n 共面,则 m∥n,故 C 对; 对于 D.若 m、n 与α 所成的角相等,则 m,n 相交或平行,故 D 错. 故选 C. 【点评】 : 本题考查空间直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,考查空间想象能 力,属于基础题和易错题. 11.求值:tan42°+tan78°﹣ tan42°?tan78°=( A. B. C. D. )

【考点】 : 两角和与差的正切函数. 【专题】 : 计算题;三角函数的求值. 【分析】 : 观察发现:78°+42°=120°,故利用两角和的正切函数公式表示出 tan(78° +42°) ,利用特殊角的三角函数值化简,变形后即可得到所求式子的值 【解答】 : 解:由 tan120°=tan(78°+42°)= =﹣ , 得到 tan78°+tan42°=﹣ (1﹣tan78°tan42°) , 则 tan78°+tan42°﹣ tan18°?tan42°=﹣ . 故选:C. 【点评】 : 此题考查了两角和与差得正切函数公式,以及特殊角的三角函数值.观察所求式 子中的角度的和为 120°,联想到利用 120°角的正切函数公式是解本题的关键,属于基础 题. 12. (5 分)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半 径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( ) A. π B. π C. π D. π 【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : 根据几何体的三视图,得出该几何体的结构特征,从而求出它的体积. 【解答】 : 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面为半圆,母线长为 2 的半圆锥体; 且底面半圆的半径为 1, ∴该半圆锥个高为 2× = , 它的体积为 V= × π ?12× = π . 故选:C.

【点评】 : 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,是基础题目. 13.已知 cosα = ,cos(α +β )=﹣ ,且α 、β ∈(0, ) ,则 cos(α ﹣β )=( A. B. C. D. )

【考点】 : 两角和与差的余弦函数. 【专题】 : 计算题;三角函数的求值. 【分析】 : 根据α 的范围,求出 2α 的范围,由 cosα 的值,利用二倍角的余弦函数公式求 出 cos2α 的值, 然后再利用同角三角函数间的基本关系求出 sin2α 的值, 又根据α 和β 的范 围,求出α +β 的范围,由 cos(α +β )的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin(α +β ) 的值, 然后据α ﹣β =2α ﹣ (α +β ) , 由两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后, 将各自的值代入即可求解. 【解答】 : 解: 由 2α ∈ (0, π) , 及 cosα = , 得到 cos2α =2cos2α ﹣1=﹣ , 且 sin2α = = , 由α +β ∈(0,π ) ,及 cos(α +β )=﹣ ,得到 sin(α +β )= = , 则 cos(α ﹣β )=cos[2α ﹣(α +β )] =cos2α cos(α +β )+sin2α sin(α +β ) =﹣ ×(﹣ )+ × = . 故选:C. 【点评】 : 此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系 化简求值,解题的关键是角度的灵活变换即α ﹣β =2α ﹣(α +β ) ,属于中档题. 14. (5 分)f(x)为 R 上的偶函数,若对任意的 x1、x2∈(﹣∞,0](x1≠x2) ,都有 >0, 则( ) A. f(﹣2)<f(1)<f(3) B. f(1)<f(﹣2)<f(3) C. f(3)<f(﹣2) <f(1) D. f(3)<f(1)<f(﹣2) 【考点】 : 函数奇偶性的性质. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 先根据对任意的 x1, x2∈ (﹣∞, 0] (x1≠x2) , 都有 (x2﹣x1) ?[f (x2) ﹣f (x1) ] >0,可得函数 f(x)在(﹣∞,0](x1≠x2)单调递增.进而可推断 f(x)在[0,+∞)上 单调递减,进而可判断出 f(3) ,f(﹣2)和 f(1)的大小. 【解答】 : 解:∵对任意的 x1、x2∈(﹣∞,0](x1≠x2) ,都有 >0, 故 f(x)在 x1,x2∈(﹣∞,0](x1≠x2)单调递增. 又∵f(x)是偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减, 且满足 n∈N*时,f(﹣2)=f(2) , 由 3>2>1>0, 得 f(3)<f(﹣2)<f(1) , 故选:C. 【点评】 : 本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用.属基础题. 15. (5 分)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同 族函数” ,那么 y=x2,值域为{1,9}的“同族函数”共有( )

A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个 【考点】 : 函数的值域. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用;集合. 【分析】 : 由题意知定义域中的数有﹣1,1,﹣3,3 中选取;从而讨论求解. 【解答】 : 解:y=x2,值域为{1,9}的“同族函数”即定义域不同, 定义域中的数有﹣1,1,﹣3,3 中选取; 定义域中含有两个元素的有 2×2=4 个; 定义域中含有三个元素的有 4 个, 定义域中含有四个元素的有 1 个, 总共有 9 种, 故选 C. 【点评】 : 本题考查了学生对新定义的接受能力及集合的应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 16. (5 分)已知 a<0,直线 l1:2x+ay=2,l2:a2x+2y=1,若 l1⊥l2,则 a= ﹣1 . 【考点】 : 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】 : 直线与圆. 【分析】 : 利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出. 【解答】 : 解:两条直线的斜率分别为:﹣ ,﹣ . ∵l1⊥l2, ∴ =﹣1, 解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】 : 本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系,属于基础题. 17.已知 a<0,向量 =(2,a﹣3) , =(a+2,a﹣1) ,若 ∥ ,则 a= ﹣1 . 【考点】 : 平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】 : 平面向量及应用. 【分析】 : 直接由向量共线的坐标表示列式求得 a 的值. 【解答】 : 解:∵ =(2,a﹣3) , =(a+2,a﹣1) , 由 ∥ ,得 2(a﹣1)﹣(a+2) (a﹣3)=0, 解得:a=﹣1 或 a=4. ∵a<0, ∴a=﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】 : 平行问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐 标表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0,是基础题. 18. (5 分)若函数 f(x)= ,则 f[﹣f(9)]= 9 .

【考点】 : 函数的值. 【专题】 : 计算题;函数的性质及应用. 【分析】 : 由分段函数的应用知,代入求函数的值. 【解答】 : 解:f(9)=log39=2, 故 f[﹣f(9)]=f(﹣2)= =9; 故答案为:9. 【点评】 : 本题考查了分段函数的应用,属于基础题. 19. (5 分)直线 3x+4y﹣5=0 被圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=4 截得的弦长为 【考点】 : 直线与圆相交的性质. 【专题】 : 计算题;直线与圆. 【分析】 : 根据直线和圆的位置关系,结合弦长公式进行求解即可. 【解答】 : 解:∵圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=4, ∴圆心(2,1) ,半径 r=2, 圆心到直线的距离 d= =1, ∴直线 3x+4y﹣5=0 被圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=4 截得的弦长 l=2 = . 故答案为: . 【点评】 : 本题考查直线和圆的位置关系,利用弦长公式是解决本题的关键. 20.若函数 f(θ )= ,则 f(﹣ )= 2 . .

【考点】 : 同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : f(θ )解析式利用诱导公式化简,约分得到结果,把θ =﹣ 代入计算即可求出 值. 【解答】 : 解:f(θ )= =﹣4 sinθ , 则 f(﹣ )=﹣4 ×(﹣ )=2 , 故答案为:2 . 【点评】 : 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及运用诱导公式化简求值,熟练掌 握诱导公式是解本题的关键. 21. (5 分)已知函数 f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0)对任意的 x1∈[﹣1,2]都存在 x0∈[﹣1,2],使得 g(x1)=f(x0)则实数 a 的取值范围是 (0, ] . 【考点】 : 函数的零点与方程根的关系. 【专题】 : 综合题;函数的性质及应用. 【分析】 : 确定函数 f(x) 、g(x)在[﹣1,2]上的值域,根据对任意的 x1∈[﹣1,2]都存 在 x0∈[﹣1,2],使得 g(x1)=f(x0) ,可 g(x)值域是 f(x)值域的子集,从而得到实 数 a 的取值范围. 【解答】 : 解:∵函数 f(x)=x2﹣2x 的图象是开口向上的抛物线,且关于直线 x=1 对称 ∴x1∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为 f(1)=﹣1,最大值为 f(﹣1)=3, 可得 f(x1)值域为[﹣1,3] 又∵g(x)=ax+2(a>0) ,x2∈[﹣1,2],

∴g(x)为单调增函数,g(x2)值域为[g(﹣1) ,g(2)] 即 g(x2)∈[2﹣a,2a+2] ∵对任意的 x1∈[﹣1,2]都存在 x0∈[﹣1,2],使得 g(x1)=f(x0) ∴ ,∴0<a≤ 故答案为: (0, ]. 【点评】 : 本题考查了函数的值域, 考查学生分析解决问题的能力, 解题的关键是对 “任意” 、 “存在”的理解. 三、解答题:本大题共 9 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax+ (其中 a、b 为常数)的图象经过(1,2) 、 两点. (1)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (2)证明:函数 f(x)在区间[1,+∞)上单调递增. 【考点】 : 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : (1)根据函数奇偶性的定义判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义证明即可. 【解答】 : 解:由已知有 ,解得 , ∴ . ?(3 分) (1)f(x)是奇函数.?(4 分) 证明:由题意 f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,关于原点对称,?(5 分) 又 ,?(6 分) ∴f(x)是奇函数. ?(7 分) (2)证明:任取 x1,x2∈[1,+∞) ,且 x1<x2,?(8 分) , ,?(10 分) ∵x1﹣x2<0,x1x2﹣1>0,x1x2>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) ,?(11 分) 故函数 f(x)在区间[1,+∞)上单调递增.?(12 分) 【点评】 : 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,利用定义法是解决本题的关键. 23. (12 分)化简求值: (1) ; (2) (lg2)2+lg2?lg50+lg25. 【考点】 : 对数的运算性质;根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : (1)利用指数幂的运算性质即可得出; (2)利用对数的运算性质、lg2+lg5=1 即可得出. 【解答】 : 解: (1)原式= . (2)原式=lg2(lg2+lg50)+2lg5=2lg2+2lg50=2(lg2+lg5)=2lg10=2. 【点评】 : 本题考查了指数幂的运算性质、对数的运算性质、lg2+lg5=1,考查了计算能力, 属于基础题.

24. (14 分) 如图所示, 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PA⊥平面 ABCD, PA=AB, 点 E 为 PB 的中点. (1)求证:PD∥平面 ACE; (2)求证:平面 ACE⊥平面 PBC.

【考点】 : 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)连 BD 交 AC 于 O,连 EO,利用三角形的中位线的性质证得 EO∥PD,再 利用直线和平面平行的判定定理证得 PD∥平面 ACE. (2)由条件利用直线和平面垂直的判定定理证得 BC⊥平面 PAB,可得 BC⊥AE.再利用 等腰直角三角形的性质证得 AE⊥PB.再利用平面和平面垂直的判定定理证得平面 ACE⊥ 平面 PBC. 【解答】 : 证明: (1)连 BD 交 AC 于 O,连 EO,∵ABCD 为矩形,∴O 为 BD 中点. E 为 PB 的中点,∴EO∥PD 又 EO?平面 ACE,PD?平面 ACE, ∴PD∥平面 ACE (2)∵PA⊥平面 ABCD,BC?底面 ABCD,∴PA⊥BC. ∵底面 ABCD 为矩形,∴BC⊥AB. ∵PA∩AB=A,BC⊥平面 PAB,AE?PAB,∴BC⊥AE. ∵PA=AB,E 为 PB 中点,∴AE⊥PB. ∵BC∩PB=B,∴AE⊥平面 PBC, 而 AE?平面 ACE,∴平面 ACE⊥平面 PBC. 【点评】 : 本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理、平面和 平面垂直的判定定理的应用,属于基础题. 25. (2015?广东模拟)已知函数 . 的部分图象如图所示,其中点 P 是图象的一个最高点. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知 且 ,求 .

【考点】 : 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;三角函数的化简求值. 【专题】 : 计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】 : (1)依题意知,A=2,由图得 T=π .从而可得ω =2;又 2× +φ =2kπ + ,k∈ Z,φ ∈(0, ) ,可求得φ ,于是可得函数 f(x)的解析式; (2)易求 cosα =﹣ ,利用两角和的正弦即可求得 f( )=2sin(α + )的值. 【解答】 : 解: (1)由函数最大值为 2,得 A=2. 由图可得周期 T=4[ ﹣(﹣ )]=π , ∴ω = =2. 又 2× +φ =2kπ + ,k∈Z, ∴φ =2kπ + ,k∈Z,又φ ∈(0, ) , ∴φ = , ∴f(x)=2sin(2x+ ) ;

(2)∵α ∈( ,π ) ,且 sinα = , ∴cosα =﹣ =﹣ , ∴f( )=2sin(2? + ) =2(sinα cos +cosα sin ) =2[ × +(﹣ )× ] = . 【点评】 : 本题考查由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式,考查三角函数的化简 求值,属于中档题. 26. (14 分) (2012?广东)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平 面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B﹣PC﹣A 的正切值.

【考点】 : 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【专题】 : 计算题;证明题;数形结合. 【分析】 : (1)由题设条件及图知,可先由线面垂直的性质证出 PA⊥BD 与 PC⊥BD,再 由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可; (2)由图可令 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE,证明出∠BEO 为二面角 B﹣PC﹣A 的平 面角,然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值. 【解答】 : 解: (1)∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥BD ∵PC⊥平面 BDE ∴PC⊥BD,又 PA∩PC=P ∴BD⊥平面 PAC (2)设 AC 与 BD 交点为 O,连 OE ∵PC⊥平面 BDE ∴PC⊥平面 BOE ∴PC⊥BE ∴∠BEO 为二面角 B﹣PC﹣A 的平面角 ∵BD⊥平面 PAC ∴BD⊥AC ∴四边形 ABCD 为正方形,又 PA=1,AD=2,可得 BD=AC=2 ,PC=3 ∴OC= 在△PAC∽△OEC 中, 又 BD⊥OE, ∴ ∴二面角 B﹣PC﹣A 的平面角的正切值为 3 【点评】 : 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理, 属于立体几 何中的基本题型,二面角的平面角的求法过程,作,证,求三步是求二面角的通用步骤,要 熟练掌握

27.如图,甲船以每小时 15 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当 甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里;当 甲船航行 40 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相 距 10 海里.问乙船每小时航行多少海里?

【考点】 : 解三角形的实际应用. 【专题】 : 应用题;解三角形. 【分析】 : 连接 A1B2,依题意可知 A2B2,求得 A1A2 的值,推断出△A1A2B2 是等边三 角形,进而求得∠B1A1B2,在△A1B2B1 中,利用余弦定理求得 B1B2 的值,即可求得乙 船的速度. 【解答】 : 解:如图,连结 A1B2,由已知 , ,?(2 分) ∴A1A2=A2B2, 又∠A1A2B2=180°﹣120°=60°,∴△A1A2B2 是等边三角形,?(4 分) ∴ , 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105°﹣60°=45°,?(6 分) 在△A1B2B1 中,由余弦定理, ?(9 分)= =200. ∴ . ?(12 分) 因此,乙船的速度的大小为 (海里/小时) .?(13 分) 答:乙船每小时航行 海里. ?(14 分) 【点评】 : 本题主要考查了解三角形的实际应用.要能综合运用余弦定理,正弦定理等基础 知识,考查了综合分析问题和解决实际问题的能力. 28. (14 分)已知圆 M 经过三点 A(2,2) ,B(2,4) ,C(3,3) ,从圆 M 外一点 P(a, b)向该圆引切线 PT,T 为切点,且|PT|=|PO|(O 为坐标原点) . (1)求圆 M 的方程; (2)试判断点 P 是否总在某一定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由. 【考点】 : 直线和圆的方程的应用;圆的一般方程. 【专题】 : 综合题. 【分析】 : (1)解法一:设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三点 A(2,2) ,B(2, 4) ,C(3,3)代入可求; 解法二:设圆 M 的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0) ,将三点 A(2,2) ,B(2,4) , C(3,3)代入可求; 解法三:求线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 的垂直平分线的交点,可求圆心 M 的坐标, 进而可求圆 M 的半径,从而可求圆 M 的方程; 解法四: 可判断△ABC 是直角三角形, 进而可求圆 M 的圆心 M 的坐标为 AB 的中点 (2, 3) , 半径 ,从而可求圆 M 的方程; (2)连接 PM,根据 , ,利用|PT|=|PO|,可判断点 P 总在定直线上. 【解答】 : 解: (1)解法一:设圆 M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,?(1 分) ∵圆 M 经过三点 A(2,2) ,B(2,4) ,C(3,3) , ∴ ?(4 分) 解得 ?(7 分)

∴圆 M 的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.?(8 分) 解法二:设圆 M 的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0) ,?(1 分) ∵圆 M 经过三点 A(2,2) ,B(2,4) ,C(3,3) , ∴ ?(4 分) 解得 ?(7 分) ∴圆 M 的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.?(8 分) 解法三:∵A(2,2) ,B(2,4) , ∴线段 AB 的垂直平分线方程为 y=3,?(2 分) ∵A(2,2) ,C(3,3) , ∴线段 AC 的垂直平分线方程为 即 x+y﹣5=0,?(4 分) 由 解得圆心 M 的坐标为(2,3) .?(6 分) 故圆 M 的半径 . ∴圆 M 的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.?(8 分) 解法四:∵ , , ,?(2 分) ∴|AC|2+|BC|2=4=|AB|2. ∴△ABC 是直角三角形.?(4 分) ∵圆 M 经过 A,B,C 三点, ∴圆 M 是 Rt△ACB 的外接圆.?(6 分) ∴圆 M 的圆心 M 的坐标为 AB 的中点(2,3) ,半径 . ∴圆 M 的方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.?(8 分) (2)连接 PM,则 ,?(10 分) ∵ ,且|PT|=|PO|, ∴ ,?(12 分) 化简得 2a+3b﹣6=0. ∴点 P 总在定直线 2x+3y﹣6=0 上.?(14 分) 【点评】 : 本题主要考查直线和圆等基本知识,考查运算求解能力和抽象概括能力,利用待 定系数法,确定圆的方程是解题的关键. 29.已知向量 =(sinx,﹣1) , =( cosx,﹣ ) ,函数 f(x)= . (1)求 f(x)的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (2)已知 a、b、c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,且 b2=ac,B 为锐角,且 f(B) =1,求 的值. 【考点】 : 平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用;正弦定理. 【专题】 : 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形;平面向量及应用. 【分析】 : (1)根据向量的数量积运算,先化简 f(x)=sin(2x﹣ ) ,再根据三角形函数 的图象和性质,问题得以解决; (2)先求出 B 的大小,再根据正弦定理或余弦定理,即可求出 的值. 【解答】 : 解: (1) = = . 故 f(x)max=1, 此时 ,得 , ∴取最大值时 x 的取值集合为 .

(2) , ∵ , ∴ , ∴ , , (法一)由 b2=ac 及正弦定理得 sin2B=sinAsinC 得: = . (法二)由 b2=ac 及余弦定理得:ac=a2+c2﹣ac 即 a=c, ∴△ABC 为正三角形, ∴ . 【点评】 : 本题考查向量的数量积的运算以及三角函数的化简和求值, 正弦定理和余弦定理, 属于中档题 30. (14 分)已知 a∈R,函数 f(x)=x|x﹣a|. (1)当 a=2 时,求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)求函数 g(x)=f(x)﹣1 的零点个数. 【考点】 : 函数的单调性及单调区间;二次函数的性质;函数零点的判定定理. 【专题】 : 计算题;数形结合;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】 : (1)求出 a=2 的函数解析式,讨论 x≥2 时,x<2 时,二次函数的对称轴与区 间的关系,即可得到增区间; (2)函数 g(x)=f(x)﹣1 的零点个数即为 y=f(x)与 y=1 的交点个数.画出图象,讨 论 a=0, a>0, ①a=2, ②0<a<2③a>2, 及 a<0, 通过图象和对称轴, 即可得到交点个数. 【解答】 : 解: (1)当 a=2 时,f(x)=x|x﹣2|, 当 x≥2 时,f(x)=x2﹣2x,对称轴为 x=1, 所以,f(x)的单调递增区间为(2,+∞) ; 当 x<2 时,f(x)=﹣x2+2x,对称轴为 x=1, 所以,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,1) . (2)令 g(x)=f(x)﹣1=0,即 f(x)=1,f(x)= , 求函数 g(x)的零点个数,即求 y=f(x)与 y=1 的交点个数; 当 x≥a 时,f(x)=x2﹣ax,对称轴为 x= , 当 x<a 时,f(x)=﹣x2+ax,对称轴为 x= , ①当 a=0 时,f(x)=x|x|, 故由图象可得, y=f(x)与 y=1 只存在一个交点. ②当 a>0 时, <a,且 f( )= , 故由图象可得,1°当 a=2 时,f( )= =1, y=f(x)与 y=1 只存在两个交点; 2°当 0<a<2 时,f( )= <1, y=f(x)与 y=1 只存在一个交点; 3°当 a>2 时,f( )= >1, y=f(x)与 y=1 只存在三个交点. ③当 a<0 时, >a, 故由图象可得, y=f(x)与 y=1 只存在一个交点. 综上所述:当 a>2 时,g(x)存在三个零点;

当 a=2 时,g(x)存在两个零点; 当 a<2 时,g(x)存在一个零点. 【点评】 : 本题考查函数的单调性的运用:求单调区间,考查函数和方程的思想,函数零点 的判断,考查数形结合和分类讨论的思想方法,属于中档题和易错题.



更多相关文章:
2015全国数学高考题及答案
2015全国数学高考题及答案_高考_高中教育_教育专区。2015 年新课标全国 高考数学 (理科) 及答案第Ⅰ卷一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在...
2015年高考理科数学天津卷(含答案)
绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全套统一考试(天津卷) 数学(理工类)参考解答一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。 (1)...
2015年上海市黄浦区中考一模(即期末)数学试题及答案
2015年上海市黄浦区中考一模(即期末)数学试题及答案_数学_初中教育_教育专区。2015 年上海市黄浦区初三一模数学试卷一. 选 择题(24 分) 1. 在 Rt△ ABC 中...
2015北京中考数学试题与答案
2015北京中考数学试题与答案_中考_初中教育_教育专区。2015 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的。...
2015年上海市闸北区初三一模数学试题及答案WORD版
2015年上海市闸北区初三一模数学试题及答案WORD版_数学_初中教育_教育专区。关注微信sh-maths,分享更多 闸北区九年级数学学科期末练习卷(考试时间:100 分钟,满分:...
2015武汉元调数学试题及答案
2015武汉元调数学试题及答案_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015武汉元调数学试题及答案_数学_初中教育_教育专区。2015年武汉数学元...
2015年考研数学(一)真题及答案详解
2015年考研数学(一)真题及答案详解_研究生入学考试_高等教育_教育专区。2015年考研数学(一)真题及答案详解 要考研, 找金程 WWW.51DX.ORG 2015 年全国硕士研究生...
黄浦区2015年高三数学文理一模试卷
黄浦区2015年高三数学文理一模试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。黄浦区2015年高三数学文理一模试卷,word版含答案黄浦区 2014 学年度第一学期高三年级期终调研测...
上海市宝山区2015年中考一模(即期末)数学试题及答案(扫描版)
上海市宝山区2015年中考一模(即期末)数学试题及答案(扫描版)_数学_初中教育_教育专区。1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ...
2015年中考数学模拟试题及答案
2015年中考数学模拟试题及答案_中考_初中教育_教育专区。这是按2014年江西中考试题分值及题型的试题,试题难度适中,可供2015年上完新课后,进行模拟测试用。...
更多相关标签:
2015高考数学    2015数学中考    2015数学高考全国卷    2015高考数学全国卷1    2015考研数学一真题    数学考研答案    2015数学建模a题    2015数学考研    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图