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江苏省扬州市2016届高三上学期期末调研考试数学试题word版(含答案)



扬州市 2015—2016 学年度第一学期期末检测试题


? ?







2016.1

第一部分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡相应位置) 1.已知集合 A ? x |

x 2 ? 2 x< 1 , 2?,则 A ? B ? 0 , B ? ?0, 2.若复数 z ? i(3 ? 2i ) ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为 3.如图,若输入的 x 值为 ▲ ▲ . ▲ . .

? ,则相应输出的值为 3

4.某学校从高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 ?155 , 160?、第二组 ?160 , 165?、??、第 八组 ?190 , 195? . 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示,估计这所学校高三年级 全体男生身高 180cm 以上(含 180cm)的人数为 ▲ ▲ . ▲ ▲ ▲ . ▲ . . . .

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 5.双曲线 9 16

6.从 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数中, 随机抽取 2 个不同的数, 则这 2 个数的和为偶数的概率是 7.已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 2a1 ? 4 , a3 ? a5 ,则该数列的前 5 项的和为
2

8.已知正四棱锥底面边长为 4 2 ,体积为 32,则此四棱锥的侧棱长为 9.已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?

1 ) ( 0 ? x<? ) , 且 f (? ) ? f ( ? ) ? ( ? ? ? ) , 则? ? ? ? 3 2 3? ? ? ?? , ? ,若 m ? n ? 1 ,则 sin( 2? ? ) ? 2 ? 2 2? 1 的最小值为 b ?1
2

10.已知 m ? (cos?, sin ? ) ,n ? (2, 1) ,? ? ? ?



.

1 且 2 loga b ? 3 logb a ? 7 ,则 a ? 11.已知 a>b>



.

-1-

12.已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 , 若不过原点 O 的直线 l 与圆 O 交于 P 、Q 两点, 且满足直线 OP 、PQ 、

OQ 的斜率依次成等比数列,则直线 l 的斜率为



.

<a ? 2 ) 13. 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? a ( 0 , a n ?1 ? ?

(a n>2) ?a n ? 2 * ( n? N ) ,记 ? a ? 3 ( a ? 2 ) n ? n
.

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,若 S n ? 2015,则 n ?



14.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? (x ? a ? x ? 2a ? 3 a) . 若集合

1 2

?x |

f ( x ? 1) ? f ( x) > 0,x ? R? ? ? ,则实数 a 的取值范围为



.

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)

D 、E 分别为 BC 、 如图, 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? AC , CC1 中点,BC1 ? B1 D .
(1)求证: DE // 平面 ABC 1; (2)求证:平面 AB1 D ? 平面 ABC 1.

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 cos2 ?x ? sin ?x cos?x ( ?>0 )的周期为 ? . (1)当 x ? ?0, ? 时,求函数 f ( x) 的值域;

? ?? ? 2?

C 对应的边分别为 a ,b ,c , (2) 已知 ?ABC 的内角 A ,B , 若 f( )?
求 ?ABC 的面积.

A 2

b ? c ? 5, 3, 且a ? 4,

-2-

17. (本小题满分 15 分)

x2 y2 0 )的左、右焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点, M 在 如图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b> a b
, PO ? F2 M , O 为坐标原点. PF1 上,且满足 F1M ? ? MP ( ? ? R ) (1)若椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,且 P( ,求点 M 的横坐标; 2,2 ) 8 4

(2)若 ? ? 2 ,求椭圆离心率 e 的取值范围.

18. (本小题满分 15 分) 某隧道设计为双向四车道,车道总宽 20 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道口截面的拱线近似 地看成抛物线形状的一部分,如图所示建立平面直角坐标系 xoy . (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)为了使施工的土方工程量最小,需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高 h 不小于 6 米, 则应如何设计拱高 h 和拱宽 l ,使得隧道口截面面积最小?(隧道口截面面积公式为 S ?

2 lh ) 3

-3-

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x ? 2)e x ( a>0 ) ,其中 e 是自然对数的底数. (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在 ?? 2, 2?上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 1 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 4 在 ?t,t ? 1? 上有解.

20. (本小题满分 16 分) 若数列 ?an ? 中不超过 f ( m ) 的项数恰为 bm ( m ? N ) ,则称数列 ?bm ? 是数列 ?an ? 的生成数列,
*

称相应的函数 f ( m ) 是数列 ?an ? 生成 ?bm ? 的控制函数. (1)已知 an ? n 2 ,且 f (m) ? m ,写出 b1 、 b2 、 b3 ;
2

(2)已知 an ? 2n ,且 f (m) ? m ,求 ?bm ? 的前 m 项和 S m ;
* 3 (3)已知 an ? 2 n ,且 f (m) ? Am ( A ? N ) ,若数列 ?bm ? 中,b1 ,b2 ,b3 是公差为 d ( d ? 0 )

的等差数列,且 b3 ? 10 ,求 d 的值及 A 的值.

-4-

第二部分(加试部分)
21.(本小题满分 10 分) 已知直线 l:x ? y ? 1 在矩阵 A ? ?

?m n ? 求矩阵 A . ? 对应的变换作用下变为直线 l ?:x ? y ? 1, ?0 1?

22. (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,求圆 ? ? 8 sin ? 上的点到直线 ? ?

?
3

( ? ? R )距离的最大值.

-5-

23. (本小题满分 10 分) 某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球,乙箱 中有三个球(每个球的大小、形状完全相同) ,每一个箱子中只有一个红球,其余都是黑球. 若摸中 甲箱中的红球,则可获奖金 m 元,若摸中乙箱中的红球,则可获奖金 n 元. 活动规定:①参与者每 个箱子只能摸一次,一次摸一个球;②可选择先摸甲箱,也可先摸乙箱;③如果在第一个箱子中摸 到红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止. (1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金 n 元的概率; (2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大,请你帮他设计摸箱子的顺序,并说明理由.

24. (本小题满分 10 分)
2 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ,设数列 ?an ? 满足: a1 ?

1 , an?1 ? f (an ) . 4

< a n< ; (1)求证: ?n ? N ,都有 0
*

1 3

(2)求证:

3 3 3 ? ??? ? 4 n ?1 ? 4 . 1 ? 3a1 1 ? 3a 2 1 ? 3a n

-6-

扬州市 2015-2016 学年度第一学期高三期末调研测试

数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案
2016.1

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.
1 1.答案 ? ?
2 解析: A ? x | x ? 2 x<0 ? ? x | 0 ? x ? 2? , B ? ?0,1, 2? ,则 A ? B ? ?1 ?

?

?

2.答案 3 解析: z ? i(3 ? 2i) ? 3i ? 2i 2 ? 2 ? 3i ,则 z 的虚部为 3
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

1 3.答案 2
解析: sin

?
3

?

? 1 3 ? 1 ? ? , cos ? ,sin ? cos ,由流程图得 y ? cos ? 3 2 2 3 2 3 3

4.答案 144 解析: 由图得, 身高 180cm 以上 (含 180cm) 的频率为 1 ? 5 ? ? 0.008 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06? ? 0.18 , 则人数为 800 ? 0.18 ? 144 5.答案 4 解析:焦点 ? ?5,0? ,渐近线 y ? ?

4 20 x ,即 4 x ? 3 y ? 0 ,则 d ? ?4 3 5

2 6.答案 5
解析:从 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数共有 10 种情况,其中满足 2 个数的和为偶数共有 1+3,1+5,2+4,3+5 这 4 种,则这 2 个数的和为偶数的概率是 7.答案 31

4 2 ? 10 5

解析

8.答案 5 解析:V ?

1 Sh ? 32, S ? 4 2 ? 4 2 ? 32 ,得 h ? 3 ;正四棱锥底面对角线长为 8,则此四棱锥的 3

侧棱长为 32 ? 42 ? 5

-7-

7? 9.答案 6
解析:由 0 ? x<? 得

7? 1 ,由 f (? ) ? f ( ? ) ? 且 ? ? ? ,不妨设 ? ? ? ,则 3 3 3 2 ? 5? ? 13? ? 11? 7? 2? ? ? , 2? ? ? ,解得 ? ? , ? ? ,则 ? ? ? ? 4 3 6 3 6 12 6 ? 2x ? <
?

?

?

7 25 10.答案
解析: m ? n ? 2cos ? ? sin ? ? 1 , sin ? ? 1 ? 2 cos ? ,由 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得

?? ?

?1 ? 2 cos ? ?
sin(2? ?
11.答案 3

2

4 ? ? ?? ? cos 2 ? ? 1即 5cos2 ? ? 4cos ? ? 1 ? 1 ,又 ? ? ? ? , ? 解得 cos ? ? 5 ? 2 2?

3? 7 ) ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 25
1 3 ? 7 解得 t ? 2 t

1 得 0 ? t ? 1 , 2 log a b ? 3log b a ? 2t ? 解析:令 log a b ? t ,又 a>b>
即 log a b ?

1 1 1 , a ? b2 , a ? 2 ? a ?1? ? 1 ? 3 ,当且仅当 a ? 2 时取“=” 。 2 b ?1 a ?1

题后反思:此题在转换时要注意化归的等价性,注意换元法后新未知量范围,及基本不等式成立的 条件。 12.答案 ?1 解析:设 l : y ? kx ? b(b ? 0) ,代入圆的方程,化简得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2kbx ? b2 ? 4 ? 0 :设

P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,得 x1 ? x2 ? ?
kop ? koq ?

2kb b2 ? 4 , , x x ? 1 2 1? k 2 1? k 2

? x ? x ? b2 y1 y2 ? b ?? b? ? ? ? k ? ? ? k ? ? ? k 2 ? kb ? 1 2 ? ? x1 x2 ? x1 ? ? x2 ? ? x1 x2 ? x1 x2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2 ? 4k 2 2 ? 2kb ? b (1 ? k ) k ? b ? 4 ? ? 2k b ? k b ? b k ,由 ko 得 ? k 2 ? kb ? ? 2 ? ? ? p ?k o q ? l ? 2 2 2 b ?4 b ?4 b ?4 ? b ?4?

b 2 ? 4k 2 ? k 2 解得 k ? ?1 b2 ? 4
13.答案 1343 解析: a1 ? a(0? a ? 2) , a2 ? 3 ? a(1 ? a2 ?3) .以下分情况 , a2 ? 3 ? a(2? a2 ?3) , a3 ? 1 ? a(0? a3 ?1) , a4 ? 2 ? a(2? a?3) , a1 ? a(0? a1 ?1 )

a5 ? a1 (0?a1 ?1) ??可知该数列四个为一个循环,且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 6, 而 2015=6*335+5,
-8-

又 a1 ? a ? 5, a1 ? a2 ? 3, a1 ? a2 ? a3 ? 4 ? a ? 5 , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 6, 则 0〈 a〈1 时不成 立。② a1 = a (1 ? a1 ? 2) , a2 ? 3 ? a(? a1 ? 2), a3 ? a(1 ? a1 ? 2) ??可知数列两个为一个 循环,且

a1 ? a2 ? 3, 而 2015=3*671+2, a1 ? a ? 2 成立,则 n=671*2+1=1343.

题后反思:此题为分段数列,要注意递推选取的条件,此题并且为周期数列,要找出其周期,下面 就迎刃而解。

1 (??, ] 6 14.答案
解析:① a ? 0 时, f ( x) ? x 满足 f ( x ? 1) ? f ( x)

? x ? 3a, x ? 2a 1 ? ② a ? 0 时, f ( x ) ? ? ? x, 0 ? x ? a ,由图像知, 0 ? 6a ? 1, 0 ? a ? 6 ? ? a , a ? x ? 2a ?
y

-3a

0

3a

x

1 综上,实数 a 的取值范围为 (??, ] 6
题后反思:此题为函数奇偶性和分段函数综合题,主要考察数形结合和化归数学思想的运用。1 要 去绝对值写出解析式。2 要画出函数图像。注意分类讨论。

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.解析:证明: (1)? D 、 E 分别为 BC 、 CC1 中点,? DE / / BC1 ,
? DE ? 平面 ABC1 , BC1 ? 平面 ABC1 ? DE / / 平面 ABC1

????2 分

????6 分 ?8 分

(2)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC

? AD ? 平面 ABC ?CC1 ? AD

? AB ? AC , D 为 BC 中点 ? AD ? BC ,又? CC1 ? BC ? C , CC1 , BC ? 平面 BCC1 B1 ,

? AD ? 面BCC1 B1

? BC1 ? 平面 BCC1 B1 ? AD ? BC1

????11 分
? BC1 ? 平面 AB1 D

又? BC1 ? B1 D , B1 D ? AD ? D , B1 D , AD ? 平面 AB1 D

-9-

? BC1 ? 平面 ABC1

? 平面 AB1 D ? 平面 ABC1

????14 分

题后反思: (1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发进行论证,而线线 平行,一般可从平面几何条件中寻找,例如中 位线性质,注意平行移动的运用。 (2)证明面面垂直, 首先转化为线面垂直: BC1 ? 平面 AB1 D ,而线面垂直的证明, 一般需多次利用线面垂直的判定及性质 定理.先由平面几何条件 AB ? AC 得 AD ? CB ,即 AD ? C1B ,又由 BC1 ? B1 D 得 BC1 ? 平面 AB1 D . 其本质就是转化,化归数学思想的运用。 16.思路分析: (1)利用降幂公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式:
f ( x) ? 3 1 ? 3 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? sin(2? x ? ) ? ,再根据正弦函数性质求其值域(2)先由 2 2 3 2

A ? 1 f ( ) ? 3 确定 A ? ,这样三角形面积公式就选用 S?ABC ? bc sin A ,从而问题转化为求 bc ,这 3 2 2
可利用余弦定理的变形得到: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 3bc ,即 bc ? 3 , S?ABC ? 16 解析: (1) f ( x) ?
3 1 ? 3 (1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? sin(2? x ? ) ? 2 2 3 2

3 3 4

????2 分

? 3 2? ????4 分 ? ? ,解得 ? ? 1 ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 3 2 2? 3 ? ? ? ? 4 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 又 0 ? x ? , 得 ? 2x ? ? ? , ? 2 3 2 3 3 3 ? 3 3 3 ? ? 1] .???7 分 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? 1 即函数 y ? f ( x) 在 x ? [0, ] 上的值域为 [0, 2 3 2 2 2
? f ( x) 的周期为 ? ,且 ? ? 0 ,?

? 3 A (2)? f ( ) ? 3 ? sin( A ? ) ? 3 2 2 ? 2 ? 解得: A ? ? ? ,所以 A ? 3 3 3

由 A ? (0, ? ) ,知

?
3

? A?

?

4 ? ?, 3 3
????9 分

由余弦定理知: a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 16 ? b 2 ? c 2 ? bc ?16 ? (b ? c)2 ? 3bc ,因为 b ? c ? 5 ,所以 bc ? 3 1 3 ∴ S?ABC ? bc sin A ? 3. 2 4

????12 分 ????14 分

题后反思:二角和与差,二倍角等公式 正余弦定理及面积公式要熟练脱口而出。

Y ? A sin(?x ? ? ) 中知道 x 范围求 y 范围最好结合正弦函数图象来求解,直观不易出错。
17.思路分析: (1)求点坐标,方法为待定系数法,即列两个独 立条件,解方程组就可.(2)求椭圆 离心率,只需得到关于 a,b,c 的一个关系式:本题可用 a,b,c 表示出点 P 的坐标,再根据点 P 坐标

????? ? 2 2 1 2 4 2 的取值范围得到 a,b,c 的一个关系式,设 P( x0 , y0 ) ,则点 M ( x0 ? c, y0 ), F2 M ? ( x0 ? c, y0 ) , 3 3 3 3 3 3
所以由 PO ? F2 M 得 x02 ? y02 ? 2cx0 ,又

a ( a ? c) x0 2 y0 2 ? 2 ? 1 ,解得 x0 ? ,而 ?a ? x0 ? a ,因此 2 c a b

1? e ?

1 2
- 10 -

17.解析: (1)?

2 2 , k F2 M ? ? 2, k F1M ? 2 4 2 ( x ? 2) ????4 分 ? 直线 F2 M 的方程为: y ? ? 2( x ? 2) ,直线 F1M 的方程为: y ? 4

x2 y 2 ? ?1 8 4

? F1 (?2,0), F2 (2,0)

? kOP ?

? y ? ? 2( x ? 2) 6 6 ? 由? 解得: x ? ????6 分 ? 点 M 的横坐标为 2 5 5 ( x ? 2) ?y? ? 4 (2)设 P( x0 , y0 ), M ( xM , yM ) ????? ???? ????? 2 ????? ? 2 2 1 2 4 2 ? F1M ? 2MP ? F1M ? ( x0 ? c, y0 ) ? ( xM ? c, yM ) ? M ( x0 ? c, y0 ), F2 M ? ( x0 ? c, y0 ) 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? 2 4 2 2 ? PO ? F2 M , OP ? ( x0 , y0 ) ?( x0 ? c) x y ?0 0 ? 0 3 3 3 即 x02 ? y02 ? 2cx0 ????9 分
? x0 2 ? y0 2 ? 2cx0 ? 联立方程得: ? x 2 y 2 ,消去 y0 得: c2 x02 ? 2a2cx0 ? a2 (a2 ? c2 ) ? 0 0 0 ? 2 ? 2 ?1 b ? a a ( a ? c) a ( a ? c) 解得: x0 ? 或 x0 ? ????12 分 c c a(a ? c) 1 ? ?a ? x0 ? a ? x0 ? ? (0, a) ? 0 ?a 2 ?a c ? a c 解得: e ? 2 c 1 综上,椭圆离心率 e 的取值范围为 ( ,1) . ????15 分 2 题后反思:注意方程(组)的使用。向量的使用,为计算带来方便。消元的技术使用。

18.思路分析: (1)实际问题为求抛物线方程,再根据方程求对应点的坐标:先确定抛物线形状

3 3 y ? ?ax2 (a ? 0) 再代入点 (10, ? ) 解得 a ? ,最后令 y ? ?6 ,解得: x ? ?20 ,即隧道设计的拱宽 2 200
l 是 40 米; (2)由于隧道口截面面积公式为 S ?

2 lh ,因此本题难度不大,只需消元,将二元转化 3

9 l 为一元问题,再利用导数求解即可.因为抛物线过点过点 (10, ?(h ? )) , ( , ?h) 代入抛物线方程得: 2 2
9 2 l 9 l2 3l 3 ?(h ? ) ? ?100a, ?h ? ? a 两式相除解得 h ? 2 ,因此 S ? 2 2 4 l ? 400 l 2 ? 400
20 ? l ? 40 ,下面利用导数求解即可.

解出定义域:

18.解析: (1)设抛物线的方程为: y ? ?ax2 (a ? 0) ,则抛物线过点

3 , (10, ? ) 2
????3 分 ????5 分

3 , 200 令 y ? ?6 ,解得: x ? ?20 ,则隧道设计的拱宽 l 是 40 米;
代入抛物线方程解得: a ?

9 h? 9 2 (2)抛物线最大拱高为 h 米, h ? 6 ,抛物线过点 (10, ?(h ? )) ,代入抛物线方程得: a ? 100 2 9 9 2 h? l 100 h l 100 h 2 x 2 ? ? h ,解得: x 2 ? 令 y ? ?h ,则 ? ,则 ( )2 ? ,h ? 2 2 ???9 分 9 9 100 l ? 400 2 h? h? 2 2

- 11 -

9 2 l ?h ? 6 ? 2 2 ?6 l ? 400

即 20 ? l ? 40
3 2 2

9 2 l 2 2 3l 3 ? S ? lh ? l ? 2 2 ? 2 3 3 l ? 400 l ? 400
2

(20 ? l ? 40)

???12 分
?S ' ? 9l (l ? 400) ? 3l ? 2l 3l (l ? 1200) 3l (l ? 20 3)(l ? 20 3) ? ? (l 2 ? 400)2 (l 2 ? 400)2 (l 2 ? 400)2
2 2

当 20 ? l ? 20 3 时,S ' ? 0 ; 当 20 3 ? l ? 40 时,S ' ? 0 , 即 S 在 (20,20 3) 上单调减, 在 (20 3,40] 27 上单调增,? S 在 l ? 20 3 时取得最小值,此时 l ? 20 3 , h ? 4 27 答:当拱高为 米,拱宽为 20 3 米时,使得隧道口截面面积最小. ???15 分 4 题后反思:根据抛物线建立模型。依据消元,求导解决问题。注意定义域的求解。 19.思路分析: (1)求函数极值,首先确定函数定义域 R,再求函数导数
f ' ( x) ? (2x2 ? 5x ? 3)e x ? ( x ? 1)(2x ? 3)e x ,再定义域上求导函数零点 x ? ?1, ?

3 ,最后列表分析函数 2

3 ? 3 ?1 极值: f ( x)极大值 =f ( ? ) ? 5e 2 , f ( x)极小值 =f (?1) ? 3e (2)利用导数研究函数单调性,一般先确定 2

' 2 x x 2 ?( 2 a ?1 )x ? 3? 0 对应不等式恒成立: f ( x) ? ? 即a ?ax ? (2a ? 1) x ? 3? ? e ? 0 在 x ? [?2, 2] 上恒成立,

在 x ? (?2,0) ? (0, 2] 上恒成立;再利用变量分离, 转化为对应函数最值:a ? (?

x?3 )max , x ? (0, 2] 且 x ? 2x
2

a ? (?

x?3 )min , x ? (-2,0) ,注意变量分离时需分类讨论,最后利用导数或基本不等式求最值(3) x ? 2x
2

利用导数研究函数 h( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? x ? 4 图像,经过两次求导后得导函数先增再减再增,且仅在
(?1, 0) 上有且仅有一个零点,即原函数先减再增,由于

h(?4) ?

14 8 ? 0, h(?3) ? 3 ? 1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? 4e ? 5 ? 0 , 因此 h( x) ? 0的根x1 ? (?4, ?3), x2 ? (0,1) , e4 e

即 t ? ?4, 0 . 19.解析: (1) f ( x) ? (2 x2 ? x ? 2)e x ,则 f ' ( x) ? (2x2 ? 5x ? 3)e x ? ( x ? 1)(2x ? 3)e x 令 f ' ( x) ? 0 , x ? ?1, ? ???2 分

3 2 3 (??, ? ) 2
? 3 2
0 极大值

x
f ' ( x)
f ( x)

3 (? , ?1) 2
?

?1
0 极小值

( ?1, ?? )

?

3 ? 2

?




3 ? f ( x)极大值 =f (? ) ? 5e 2

, f ( x)极小值 =f (?1) ? 3e?1

???4 分

2 x (2)问题转化为 f ' ( x) ? ? ?ax ? (2a ? 1) x ? 3? ? e ? 0 在 x ? [?2, 2] 上恒成立;

又 ex ? 0

即 ax2 ? (2a ? 1) x ? 3 ? 0 在 x ? [?2, 2] 上恒成立;
? a ? 0 ,对称轴 x ? ?1 ?

???6 分

令g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 3

1 ?0 2a

- 12 -

①当 ?1 ?

1 1 ? ?2 ,即 0 ? a ? 时, g ( x) 在 [ ?2, 2] 上单调增, 2a 2 ?0 ? a ? 1 2
???8 分

? g ( x)min ? g (?2) ? 1 ? 0

②当 ?2 ? ?1 ?

1 1 1 1 ? 0 ,即 a ? 时, g ( x) 在 [?2, ?1 ? ] 上单调减,在 [?1 ? , 2] 上单调增, 2 2a 2a 2a
3 3 ? a ?1? 2 2 1 3 ? ? a ?1? 2 2

?? ? (2a ? 1)2 ? 12a ? 0 解得: 1 ?

综上, a 的取值范围是 (0,1 ?

3 ]. 2

???10 分

(3)? a ? 1, 设 h( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? x ? 4 , h' ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 令 ? ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3)e x ? 1 , ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x 令 ? ' ( x) ? ( x2 ? 5x ? 6)e x ? 0, 得x ? ?2, ?3

x

(??, ?3)

?3
0 极大值

(?3, ?2)
?

?2
0 极小值

(?2, ??)

? ' ( x)
? ( x)
?? ( x)极大值 =? (?3) ?

?


?




3 1 ? 1 ? 0 , ? ( x)极小值 =? (?2) ? 2 ? 1 ? 0 3 e e

???13 分

1 +?)时? ( x) ? 0 ?? (?1) ? ? 1 ? 0,? (0) ? 2 ? 0 ? 存在x0 ? (?1,0), x ? (-?,x0 )时? ( x) ? 0,x ? ( x0 , e
? h ( x ) 在 (??, x0 ) 上单调减,在 ( x0 , ??) 上单调增

又? h(?4) ?

14 8 ? 0, h(?3) ? 3 ? 1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0, h(1) ? 4e ? 5 ? 0 e4 e
???16 分

由零点的存在性定理可知: h( x) ? 0的根x1 ? (?4, ?3), x2 ? (0,1) 即 t ? ?4, 0 .

题后反思: (1)求函数极值,一般先确定函数定义域,再求函数导数,再定义域上求导函数零点, 最后列表分析函数极值, (2)利用导数研究函数单调性,一般先确定对应不等式恒成立;再利用变 量分离, 转化为对应函数最值, 注意变量分离时需分类讨论, 最后利用导数或基本不等式求最值 (3) 利用导数研究函数 h( x) ? ( x2 ? x ? 2)e x ? x ? 4 图像,经过两次求导后得导函数先增再减再增,且仅在
(?1, 0) 上有且仅有一个零点,即原函数先减再增,得 t ? ?4, 0 .(3)化归数学思想的使用。逐步转化,

注意化归等价性。 题后警示:分类讨论要求不重复不遗漏,掌握好分类标准,和分类的时机。 20.思路分析: (1) 阅读题意:m ? 1 , 则 a1 ? 1 ? 1
m ?3, 则 a1 ? 1 ? 9 ,a2 ? 4 ? 9

? b1 ? 1 ;m ? 2 , 则 a1 ? 1 ? 4 ,a2 ? 4 ? 4

? b2 ? 2

a3 ? 9 ? 9

? b3 ? 3 (2) 由特殊到一般:m 为偶数时, 则 2n ? m ,

则 bm ?

m m ?1 ; m 为奇数时,则 2 n ? m ? 1 ,则 bm ? ;再分类求和: m 为偶数时,则 2 2
- 13 -

1 1 m m2 Sm ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? (1 ? 2 ? ? ? m) ? ? ? ; m 为奇数时,则 2 2 2 4 Sm ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? Sm?1 ? bm?1 ?
2t +d ?3

(m ? 1)2 m ? 1 m2 ? 1 ? ? ; (3)先按题中定义确定 A 的范围,再由 4 2 4 128 t t ? 2 ,最 ? 2t ?1 , 得 d ? 4 ,? d 为正整数 ? d ? 1, 2,3 ,最后代入验证得 d ? 3 ,因此 2 ? A ? 125

经验证得 A ? 64 或 65 . 20.解析: (1) m ? 1 ,则 a1 ? 1 ? 1
? b1 ? 1 ; m ? 2 ,则 a1 ? 1 ? 4 , a2 ? 4 ? 4 ? b2 ? 2

m ? 3 ,则 a1 ? 1 ? 9 , a2 ? 4 ? 9

a3 ? 9 ? 9

? b3 ? 3

????3 分

(2) m 为偶数时,则 2n ? m ,则 bm ?
?m ?1 (m为奇数) ? ? 2 ? bm ? ? ?m (m为偶数) ? ? 2

m m ?1 ; m 为奇数时,则 2 n ? m ? 1 ,则 bm ? ; 2 2
????5 分

1 1 m m2 ; m 为偶数时,则 Sm ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? (1 ? 2 ? ? ? m) ? ? ? 2 2 2 4 (m ? 1)2 m ? 1 m2 ? 1 ; m 为奇数时,则 Sm ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? Sm?1 ? bm?1 ? ? ? 4 2 4
? m2 ? 1 (m为奇数) ? ? 4 ? Sm ? ? 2 ?m (m为偶数) ? ? 4

????8 分

(3)依题意: an ? 2n , f (1) ? A , f (2) ? 8 A , f (5) ? 125 A , 设 b1 ? t ,即数列 {an } 中,不超过 A 的项恰有 t 项,所以 2t ? A ? 2t ?1 , 同理: 2t +d ? 8 A ? 2t ? d ?1 , 2t + 2d ? 125 A ? 2t ? 2d ?1 ,
t t ?1 ? 2 ? A?2 , 2t +2d 2t ?2d ?1 ? 即 ? 2t +d ?3 ? A ? 2t ? d ? 2 , 故 max{2t ,2t +d ?3 , } ? A ? min{2t ?1 ,2t ?d ?2 , } 125 125 ? 2t + 2 d t ? 2 d ?1 2 ? ? A? , 125 125

2t +d ?3 ? 2t ?1 , ? 由 ? 2t + 2 d 得 d ? 4 ,? d 为正整数 ? 2t ? d ? 2 , ? 125
当 d ? 1 时, max{2t ,2t +d ?3 ,

? d ? 1 , 2 ,, 3

????10 分

2t +2d 2t 4 ? 2t }= max{2t , , } ? 2t , 125 4 125 2t ? 2d ?1 2t 8 ? 2t 8 ? 2t }= min{2t ?1 , , }? ? 2t 不合题意,舍去; 125 2 125 125 2t ? 2d 16 ? 2t }= max{2t ,2t ?1 , } ? 2t , 125 125
- 14 -

min{2t ?1 ,2t ?d ?2 ,
当 d ? 2 时, max{2t ,2t +d ?3 ,

min{2t ?1 ,2t ?d ?2 ,
当 d ? 3 时, max{2t ,2t +d ?3 ,

2t ?2d ?1 32 ? 2t 32 ? 2t }= min{2t ?1 ,2t , }? ? 2t 不合题意,舍去; 125 125 125 2t +2d 64 ? 2t }= max{2t ,2t , } ? 2t , 125 125 2t ?2d ?1 128 ? 2t 128 ? 2t }= min{2t ?1 ,2t +1 , }? ? 2t 适合题意,???12 分 125 125 125

min{2t ?1 ,2t ? d ?2 ,
此时 2t ? A ?
? b3 ? 10

128 t ? 2 , b1 ? t , b2 ? t ? 3, b5 ? t ? 6 ,? t ? 3 ? b3 ? t ? 6 125
6 t?7 ?t 为整数 ? t ?4 , t ? 5 ,t ? 或
1 1 ? 21 0 ? 2 7 A ? 2 ?

?4 ? t ? 7

? f (3) ? 27 A , b3 ? 10

210 211 ? A? 27 27

???14 分

211 125 212 当 t ? 5 时, 25 ? A ? 125
当 t ? 4 时, 24 ? A ? 当 t ? 6 时, 26 ? A ?

? 无解 ? 无解

213 213 ?64 ? A ? 125 125 14 2 当 t ? 7 时, 27 ? A ? ? 无解 125 213 ? A ? N * ? A ? 64 或 A ? 65 ? 26 ? A ? 125 综上: d ? 3 , A ? 64 或 65 .

???16 分

题后反思: (1)本题第一问实质为阅读题意,做好符号语言的转化,内化。做到有序。 (2)第二问 考查归纳与分类,由特殊到一般是解决问题的法宝和突破口; (3)第三问按题中定义转化出求解 A 范围的关系式。 (4)本质考察化归数学思想。注意体会。

2015-2016 学年度第一学期高三期末调研测试

数 学 试 题 Ⅱ 参 考 答 案
21.解析: (1)设直线 l : x ? y ? 1 上任意一点 M ( x, y) 在矩阵 A 的变换作用下,变换为点 ? ? M ( x , y?) .

由? ? ? ?

? x '? ? y '?

? x? ? mx ? ny ? m n ? ? x ? ? mx ? ny ? , 得 ? ? ?? ? ? ? ? y? ? y ? 0 1? ? y ? ? y ?

????5 分

又点 M ?( x?, y?) 在 l ? 上,所以 x? ? y? ? 1 ,即 (mx ? ny) ? y ? 1 依题意 ?

? m ?1 ?m ? 1 ?1 2 ? ,解得 ? ,? A ? ? ? ?0 1 ? ?n ? 2 ?n ? 1 ? 1

????10 分

2 2 2 22.思路分析:利用 ? ? x ? y , ? cos? ? x, ? sin ? ? y, tan ? ?

y 将极坐标方程化为直角坐标方程,再 x

利用点到直线距离公式求最值

- 15 -

22.解析:圆的直角坐标方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 , 直线的直角坐标方程为 y ? 3x ,
) 直线的距离为 d? 圆 心 ( 0 , 4到
D ?d ?r ? 2?4?6 .

????3 分 ????6 分

0?4 (? 3)2 ? 12

?2 , 则 圆 上 点 到 直 线 距 离 最 大 值 为
????10 分

23.思路分析:第一问,参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元是指“参与者在乙箱中摸到红 球,且在甲箱中摸到黑球” ,因此所求概率为 P ( M ) ?

1 3 1 ? ? :第二问:参与者摸球的顺序有两 3 4 4

种,需分别讨论:①先在甲箱中摸球,参与者获奖金 x 可取 0, m, m + n ,求出对应概率,算出数学 期望值; ②先在乙箱中摸球, 参与者获奖金 h 可取 0, n, m + n , 同样求出对应概率, 算出数学期望值; 比较两个数学期望值的大小,作出判断. 23.解析: (1)设参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元为事件 M .

则 P(M ) ?

1 3 1 ? ? 3 4 4

即参与者先在乙箱中摸球,且恰好获得奖金 n 元的概率为
????4 分

1 . 4

(2)参与者摸球的顺序有两种,分别讨论如下: ①先在甲箱中摸球,参与者获奖金 x 可取 0, m, m + n 则 P(x = 0) =

3 1 2 , P(x = m) = ? 4 4 3

1 1 1 1 , P(x = m + n) = ? 6 4 3 12
m n + 4 12
????6 分

Ex = 0?

3 1 1 m? ( m + n) ? 4 6 12

②先在乙箱中摸球,参与者获奖金 h 可取 0, n, m + n
2 1 3 1 1 1 1 则 P(? ? 0) ? , P(? ? n) ? ? ? , P(? ? m ? n) ? ? ? 3 3 4 4 3 4 12

Eh = 0?

2 1 1 n? ( m + n) ? 3 4 12
2m - 3n 12

m n + 12 3

????8 分

Ex - Eh =
当 当 当

m 3 ? 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大; n 2

m 3 = 时,两种顺序参与者获奖金期望值相等; n 2 m 3 < 时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者获奖金期望值较大. n 2

- 16 -

答:当

m 3 m 3 ? 时,先在甲箱中摸球,再在乙箱中摸球,参与者获奖金期望值较大;当 = 时, n 2 n 2 m 3 < 时,先在乙箱中摸球,再在甲箱中摸球,参与者 n 2

两种顺序参与者获奖金期望值相等;当 获奖金期望值较大. ????10 分

题后反思:1)正确理解题意是解决概率问题的关键(2)参与者摸球的顺序有两种,需分别讨论: (3)注意概率的概念和概型及解题步骤。

24.思路分析: (1)根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定函数值域,再利用数学归纳法给予

1 1 1 1 2 证明(2)由 an?1 ? f (an ) 得 ? an?1 ? 3( ? an ) ,两边取对数得 log3 ( ? an?1 ) ? 1 ? 2log3 ( ? an ) ,再 3 3 3 3 1 1 1 2n?1 1 1 ( ) ,因此 构造等比数列 1 ? log3 ( ? an?1 ) ? 2[1 ? log3 ( ? an )] ,从而求得 ? an ? ? 3 3 4 3 3
1 1 ? a1 3 ? 1 1 ? a2 3 ??? 1 1 ? an 3 ? 3[42 ? 42 ? ? ? 42 ]
0 1 n?1

再放缩为一个等比数列的和:

3[41 ? 42 ? ? ? 4n ] ? 4n?1 ? 4

24. (1)解析:①当 n ? 1 时, a1 ?
? n ? 1 时,不等式成立

1 1 , 有 0 ? a1 ? 4 3
????1 分

②假设当 n ? k (k ? N * ) 时,不等式成立,即 0 ? ak ? 则当 n ? k ? 1 时,

1 3

2 1 1 2 2 ak ?1 ? f (ak ) ? 2ak ? 3ak ? ?3(ak ? ak ) ? ?3(ak ? )2 ? 3 3 3
1 1 于是 ? ak ?1 ? 3( ? ak )2 3 3 1 1 1 1 1 1 ? 0 ? ak ? ,? 0 ? 3( ? ak )2 ? ,即 0 ? ? ak ?1 ? ,可得 0 ? ak ?1 ? 3 3 3 3 3 3 所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立
由①②,可知,对任意的正整数 n ,都有 0 ? an ?

1 3

????4 分

1 1 (2)由(1)可得 ? an?1 ? 3( ? an )2 3 3 1 1 两边同时取 3 为底的对数,可得 log3 ( ? an?1 ) ? 1 ? 2log3 ( ? an ) 3 3 1 1 化简为 1 ? log3 ( ? an?1 ) ? 2[1 ? log3 ( ? an )] 3 3 1 1 所以数列 {1 ? log3 ( ? an )} 是以 log3 为首项, 2 为公比的等比数列 4 3
????7 分

- 17 -

n ?1 1 1 1 1 2n?1 1 1 ? 3?42 ( ) ,? ?1 ? log3 ( ? an ) ? 2n?1 log3 ,化简求得: ? an ? ? 1 3 3 4 3 4 ? an 3

0 1 2 n ?1 ? n ? 2 时, 2n?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 ? 1 ? n ? 1 ? n ,

n ? 1 时, 2n ?1 ? 1

? n ? N * 时, 2n ?1 ? n ,?

1 1 ? an 3

? 3 ? 42

n ?1

? 3 ? 4n

0 1 n ?1 1 1 1 ? ??? ? 3[42 ? 42 ? ? ? 42 ] ? 3[41 ? 42 ? ? ? 4n ] ? 4n ?1 ? 4 1 1 1 ? a1 ? a2 ? an 3 3 3

?

3 3 3 ? ??? ? 4n ?1 ? 4 . 1 ? 3a1 1 ? 3a2 1 ? 3an

????10 分

题后反思: (1)关于 N 的命题,要用数学归纳法给予证明,注意数学归纳法的正确步骤。

1 1 1 2n?1 ( ) ,进一步放缩为一个等比 (2)两边取对数得,问题转化为构造等比数列,从而求得 ? an ? ? 3 3 4
数列的和: 3[41 ? 42 ? ? ? 4n ] ? 4n?1 ? 4 问题。

- 18 -



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