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用二分法求方程的近似解



y

o

2

2.5

3

x

公主岭一中 刘 刚

重点:二分法基本思想的理解; 借助计算器用二分法求所给方程 近似解的步骤和过程的掌握

难点:精确度概念的理解,二分法一般 步骤的归纳和概括; 疑点:方程近似

解的选取

一、辨真伪,除次品
“嫦娥二号”从月球上带回来一块 月球标本。一个盗窃组织将其盗走,并 制作了很多仿制品。我公安机关一举摧 毁了这个盗窃组织,将标本抢回。问题 是标本已经混在一堆仿制品中,里面有 11个月球标本的仿制品。

初 尝 练 习

初 问:已知月球标本比仿制品略重,现在 只给你一架天平,怎样用最少的步骤找出这块 尝 月球标本的正品? 练 习

身临其境 体验生活

初 尝 练 二、修电路、水管、气管 习 某个雷电交加的夜晚,医院的医生正在抢救一
个危重病人,忽然电停了。据了解原因是供电站到 医院的某处线路出现了故障,维修工,如何迅速查 出故障所在? (线路长10km,每50m一根电线杆)

初 找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆子, 10km长,大约有200根电线杆子呢。 尝 练 想一想: 维修线路的工人 习 师傅怎样工作最
合理?

提醒:如果沿着线路一小段一小段查

初 尝 练 习

如图,设供电站和医院的所在处分别为点A、B

A
(供电站)

C

E

D

B
(医院)

取中点

这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减

一半,算一算,要把故障可能发生的范围缩小到
50m~100m左右,即一两根电杆附近,大概要查多 少次呢?

温 故 知 新 设 置 冲 突

问题1:判断方程

lnx+2x-6=0

根的个数?

问题2:试求方程

lnx-6=0

的根?

问题3:试求方程

lnx+2x-6=0

的根?

求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点?
1 2 3 4 5 6 7 f(x) -4 -0.13069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 x

如何求出 这个零点 呢?

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x) -4 -0.13069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459

首先,我们取(2,3)的中点2.5,用计算器算 得 f (2.5) ? ?0.084 , ? f (2.5) ? f (3) ? 0 ? 零点在区间(2.5,3)内. 再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算 得 f (2.75) ? 0.512, ? f (2.5) ? f (2.75) ? 0 ? 零点在区间(2.5,2.75)内

由于(2,3) ? (2.5,3) ? (2.5,2.75)
所以零点的范围确实越来越小了 如果重复上述步骤,那么零点所在的范围 会越来越小(见下表)

中点函 区间 中点的值 数近似 值 2.5 -0.084 ( 2 , 3) 2.75 0.512 (2.5,3) 2.625 0.215 (2.5,2.75) 2.5625 0.066 (2.5,2.625) 2.53125 -0.009 (2.5,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001

计算函数 f ( x ) ? lnx ? 2x ? 6 在区间(2,3) 内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 中点值m f(m)的近 精确度|a-b| 似值

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)

2.5 2.75 2.625

-0.084 0.512 0.215

1 0.5 0.25

(2.5,2.625)
(2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875)

2.562 5
2.531 25 2.546 875 2.539 062 5

0.066
-0.009 0.029 0.01

0.125
0.0625 0.03125 0.015625

(2.531 25,2.539 062 5)

2.535 156 25

0.001

0.007813

上述求函数零点近似值的方法叫做二分 法,那么二分法的基本思想是什么?

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

用二分法求函数零点近似值的步骤

思考1:求函数f(x)的零点近似值第一步 应做什么?
y ?3 2x

确定区间[a,b],使 f(a)f(b)<0 思考2:为了缩小零点所在区间的范围, 接下来应做什么?
求区间的中点c,并计算f(c)的值

思考3:若f(c)=0说明什么? 若f(a)·f(c)<0或f(c)·f(b)<0 ,则 分别说明什么?
若f(c)=0 ,则c就是函数的零点;

若f(a)·f(c)<0 ,则零点x0∈(a,c);
若f(c)·f(b)<0 ,则零点x0∈(c,b).

思考4:若给定精确度ε,如何选取近似 值? 当|m—n|<ε 时,区间[m,n]内的任意 一个值都是函数零点的近似值.
思考5:对下列图象中的函数,能否用 二分法求函数零点的近似值?为什么?
y y o x o x

口诀:

定区间,找中点,中值计算两边看。 同号去,异号算,零点落在异号间。 周而复始怎么办?精确度上来判断。

练习:

在用二分法求方程的近似解时,若 初始区间是[1,5],精确度要求是0.001, 则需要计算的次数是______.

练习:
求:x2 ? 2 x ?1 ? 0的正数近似解(精确到0.1)

练习:
若求得 lg x ? 3 ? x的近似解约为x ? 2.6, 你能求出 10 ? x ? 3的近似解吗?(精确到0.1)
x

课后作业,求 3 的近似值,精确到0.01



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