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圆及其标准方程


学习数学要多做习题,边做边思索。先知其然,然后知其所以然——苏步青

§4.1.1 圆及其标准方程
教学目标: 1.了解确定一个圆的基本要素是圆心和半径,从集合角度来理解圆的定义. 2.理解动点的轨迹与满足条件的点的集合间的关系,掌握坐标法并建立圆的直角坐标方程. 3.会判断点与圆的位置关系,会用定义法、待定系数法和相关点法求圆的标准方程. 教学重难点: 重点:圆的定义,圆的标准方程的建立,坐标法. 难点:圆及其标准方程. 教学方法:CAI 课件展示,启发式教学,引导归纳. 教学过程: Ⅰ新课导入 问题 1:确定一条直线的几何要素是什么?(两点或一点+斜率) 问题 2:确定一个圆的几何要素是什么?(圆心位置+半径)你能用集合的语言来描述圆吗? 问题 3:圆规为什么可能画圆?(因为脚在走,心不变。 )你的梦为何不能圆?(因为心不定, 脚不动。 ) Ⅱ新课讲授 一、知识点精讲 1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 2.数学表述:设定点为 A ,定长为 r ,则圆用集合形式表示如下: P ? ?M MA ? r? . 3.标准方程: (以下是坐标法解决轨迹方程问题的五个步骤) (1)建系:建立平面直角坐标系, (2)设点:设点 A ? a, b ? ,动点 M ? x, y ? , (3)列式:根据两点间的距离公式得:
2

? x ? a?
2

2

? ? y ? b? ? r ,
2

(4)化简:得圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 (☆) , (5)检验:一方面,若点 M ? x, y ? 在圆上,则由上述讨论可知,点 M 的坐标都适合方程(☆) ;另 一方面,若点 M 的坐标都适合方程(☆) ,这说明点 M 与定点 A 的距离为定长 r ,满足圆的

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轨迹的定义,即点 M 在以 A 为圆心的圆上.所以说,方程(☆)就是以 A? a, b ? 为圆心,以 r 为 半径的圆的标准方程. 4.点与圆的位置关系: 二、典例精选 例 1.写出分别满足下列条件的圆 C 的标准方程 (1)以 A? 2, ?3? 为圆心, 2 为半径; (2)圆心在直线 x ? 2 上,与 y 轴交于点 A? 0, ?4? , B ? 0, ?2? ; (3)过点 ? 0,1? 和 ? 2,1? ,半径为 5 ; (4)与 x 轴交于点 A?1,0? , B ? 5,0 ? ,半径为 5 ; (5)与圆 ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 1 关于原点对称;关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称呢?
2 2

说明:求圆的标准方程一般方法有代数法和几何法(数学结合法) .通过本例(3) 、 (4)学习 发现这两个方法的各优缺点:代数法准确,但有时计算会很困难;几何法(即数形结合法)简单, 但难很到,且易漏解. 例 2.若已知线段 P 1P 2 两端点坐标分别如下,则求以线段 P 1P 2 为直径的圆的标准方程. (1) P (2) P (3) P 1 ? 4,9 ? 、 P 2 ? 6,3? ; 1 ? 3,2 ? 、 P 1 ? x1 , y1 ? 、 P 2 ? x2 , y2 ? . 2 ? ?2,3? ; 结论:已知两点坐标分别为 P 1P 2 为直径的圆的方程可表示为: 1 ? x1 , y1 ? 、 P 2 ? x2 , y2 ? ,则以线段 P

? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 .
例 3.已知直角 ?ABC 的两个顶点 A?1,1? , B ? 3,4 ? ,则顶点 C 的轨迹为 .

说明:本题旨在训练学生对坐标法的应用,并理解轨迹与轨迹方程的概念.本题又涉及分类 讨论, A, B, C 都可能成为直角顶点,并且当 C 为直角顶点时,要注意对所求轨迹方程的检验是十 分必要的,此时顶点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆(但要除去两个点) . 例 4. 已知 ? O 的方程是 ? x ? 1? ? y2 ? 4 , 线段 AB 的端点 A 的坐标是 ? 4,3? , 另一个端点 B 在 ? O
2

上自由运动.若点 M 是线段 AB 上一点,且 AM ? 说明:本题用相关点法求动点的轨迹方程.
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1 MB .求点 M 的轨迹方程. 3

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例 5.已知圆 C : ? x ? 5? ? ? y ? 6? ? a2 ? a ? 0? ,
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(1)若 a ? 1 ,则点 P ? 4,3? 与圆的位置关系为 (2)若点 Q ? 6,9 ? 在圆上,则 a ? ;



(3)若点 M ? 3,3? , N ? 5,3? 分别在圆内和圆外,则 a 的取值范围为



说明:点与圆的位置关系,与此类似的有点与直线的位置关系( ax ? by ? c ? 0 ?或 ? 0或 ? 0? ) , 勾股定理与三角形形状判断( a2 ? b2 ? c2 ?或 ? c2或 ? c2 ? ) . Ⅲ课时小结 本节课主要讲解了圆定义、圆的标准方程的建立、坐标法以及点与圆的位置关系等相关知 识.坐标法是解析几何中的通用方法,注意理解并掌握. Ⅳ课后作业

Ⅴ教学反思

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