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上海市南汇中学2012届高三第一次考试数学试题



上海南汇中学 2011—2012 学年度高三第一次考试

数 学 试 题
考生注意: 1.答卷前,考生务必将班级、姓名 、考号等在答题纸的相应位置填写清楚。 2.本试卷共有 2 3 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。请考 生用黑色铅笔或圆珠 笔将答案填写在答题纸的指定位置上。[来源:学科网 ZXXK] 一、填空题(本大题共有 14 题

,每小题 4 分,满分 56 分)
[来源:Zxxk.Com]

1.已知集合 U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={4,5},则 A ∩ (CU B ) = 2. (1 + i )(1 ? i ) 表示为 a + bi (a, b ∈ R ), 则a + b = 。



3.过点 A(2,-3) ,且法向量是 m = (4, ?3) 的直线的点方向式方程是

ur



4.若

cos( x + ) sin( x + ) 6 6 sin( x + ) cos( x + ) 3 3

π

π

π

π

= 0, 且x ∈ (0, π ) ,则 x=



5. F1 以 (-3, 、 2 0) F (3, 为焦点, 0) 渐近线方程为 y = ± 2 x 的双曲线的标准方程是 6.在等差数列 {an } 中,若公差 d ≠ 0 ,且 a2 , a3 , a6 成等比数列, 则公比 q= 。



7.已知 e1 , e2 是平面上两 上不共线的向量,向 量 a = 2e1 ? e2 , b = me1 + 3e2 ,若 a / / b ,则实 数 m= 。 。

ur uu r

r

ur uu r r

ur

uu r

r

r

8.点 A(3,1)和 B(-4,6)在直线 3 x ? 2 y + a = 0 的两侧,则 a 的取值 范围是
n

9.设 n ∈ N * , (2 x + 1) n 的展开式各项系数之和为 an , (3 x + 1) 展开式 的二项式系数之和为 bn , 则 lim

n →∞

2an + 3bn = an +1bn +1



10 . 函 数 y = a x +1 ? 2( a > 0, a ≠ 1) 的 图 像 恒 过 定 点 A , 若 点

A

在 直 线

mx + ny + 1 = 0, (m > 0, n > 0) 上,则

2 1 + 的最小值是 m n



11.已知长 方体的三条棱长分别为 1,1,2, 并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上, 则此球的表面积为 。 12.一个不透明 的袋中装有 5 个白球、4 个红球(9 个球除颜色外其余完全相同) ,经充分混 合后,从袋中随机摸出 3 球,则摸出的 3 球中至少有一个是白球的概率为 。 13.已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 {S n } 中的唯一
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最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是



14.若直角坐标平面 内的两点 P、Q 满足条件:①P、Q 都在函数 y = f ( x) 的图像上;②P、Q (点对(P,Q) 关于原点对称,则答点对(P,Q)是函数 y = f ( x) 的一个“友好点对”

??2 x 2 + 4 x ? 1 x ≥ 0 ? 与(Q,P)看作同一个“友好点对”。已知函数 f ( x ) = ? 2 x ) , 则此函 ? x<0 ? ? 3
数的“友好点对”有 对。 二、选择题(本大题共有 4 题,每小题 5 分,满分 20 分) 15.已知实数 abc ≠ 0 ,则“线性方程组 ?

?ax + by = 0 有无穷多组解”是“a、b、c 成等比数 ?bx + cy = 0

列”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是( )
[来源:学科网]

1 * n 1 B.求数列 { } 的前 10 项和 ( n ∈ N * ) 2n 1 C.求数列 { } 的前 11 项和 ( n ∈ N * ) n 1 D.求 数列 { } 的前 11 项和 ( n ∈ N * ) 2n
A.求数列 { } 的前 10 项和 ( n ∈ N ) 17.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 6,动点 E、F 在 棱 A1B1 上,动点 P、Q 分别在棱 AB、CD 上,若 EF=2 , DQ=x,AP=y,则四面体 PEFQ 的体积 ( ) A.与 x,y 都无关 B.与 x 有关,与 y 无关 C.与 x、y 都有关 D.与 x 无关,与 y 有关
[来源:学科网] [来源:Z_xx_k.Com] [来源:学+科+网 Z+X+X+K]

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

18.若 ?ABC 的面积 S ?ABC ∈ ? A. [

uuu uuu r r r r ? 3 3 3 ? uuu uuu , ? , 且 AB ? BC = 3, 则 AB与BC 夹角的取值范围是( ) 2 ? ? 2

π π

, ] 3 2

B. [

π π

, ] 4 3

C. [

π π

, ] 6 4

D. [

π π

, ] 6 3

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三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)本题有 2 小题, 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。 已知关于 t 的方程 t ? 2t + a = 0 一个根为 1 + 3i.( a ∈ R )
2

(1)求方程的另一个根及实数 a 的值; (2)若 x +

a ≥ m 2 ? 3m + 6在x ∈ (0, +∞) 上恒成立,试求实数 m 的 取值范围。 x

20. (本题满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分。 用 2π 平方米的材料制成一个有盖 的圆锥 形容器,如果在制作过程 中材料无损耗, 且材料的厚度忽略不计,底面半径长为 x,圆锥母线的长为 y。 (1)建立 y 与 x 的函数关 系式,并写出 x 的取值范围;

π
(2)圆锥的母线与底面所成的角大小为 ,求所制作的圆锥容器容积多少立方米(精确

3
到 0.01m3).

21. (本题满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 在数列 {a n } 中, a1 = 5, an +1 = 3an ? 4n + 2, 其中n ∈ N .
*

(1)设 bn = an ? 2n ,求数列 {bn } 的通项公式; (2)记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S n与n + 2011n 的大小。
2

22. (本题满分 16 分)本题有 3 小 题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满 分 8 分。 我们将具有下列性质的所有函数组成集合 M:函 数 y = f ( x)( x ∈ D ) ,对任意

x, y ,

x+ y x+ y 1 ∈ D 均满足 f ( ) ≥ [ f ( x) + f ( y )] ,当且仅当 x = y 时等号成立。 2 2 2
[来源:学#科#网]

(1)若定义 在 (0, +∞ ) 上的函数 f ( x) ∈ M , 试比较f (3) + f (5)与2 f (4) 大小; ( 2 ) 给 定 两 个 函 数 : f1 ( x) =

1 ( x > 0), f 2 ( x) = log a x(a > 1, x > 0). 证 明 : x

f1 ( x) ? M , f 2 ( x) ∈ M ;
(3)试利用(2)的结论解决下列问题:若实数 m,n 满足 2m + 2 n = 1 ,求 m+n 的最大值。 23. (本题满分 18 分)本题有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满

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分 6 分。 定义 :由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成 的三角形称为该椭圆的“特征三角 形” 。如果两个椭圆的“特 征 三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将 三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆 C1 :

x2 + y 2 = 1. 4

(1 )若椭圆 C2 :

x2 y 2 + = 1, 判断 C2 与 C1 是否相似?如果相似,求出 C2 与 C1 的相似比; 16 4

如果不相似,请说明理由;[来源:学_科_网] (2)写出与椭圆 C1 相似且短轴半 轴长为 b 的焦点在 x 轴上的椭圆 Cb 的标准方程;若在椭 圆 Cb 上 存在两点 M、N 关于直线 y = x + 1 对称,求实数 b 的取值范围? (3)如图:直线 y = x 与两个“相似椭圆”

M:
D,

x2 y 2 x2 y 2 + 2 = 1和M λ : 2 + 2 = λ 2 (a > b > 0, 0 < λ < 1) 分别交于点 A,B 和点 C, a2 b a b

试在椭圆 M 和椭圆 M λ 上分别作出点 E 和点 F(非椭圆顶点) ,使 ?CDF 和 ?ABE 组 成以 λ 为相似的两个相似三角形,写出具体作法。 (不必证明)

[来源:Z|xx|k.Com]

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