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基本计数原理第一章1.1(二)



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§1.1(二)

【学习要求】 巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理, 并能应用两个原
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理解决实际问题. 【学法指导】 用两个计数原理解决具体问题时, 首先要分清是“分类”还是 “分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在 “分类”时要做到

“不重不漏”,在“分步”时要正确设计 “分步”的程序,注意步与步之间的连续性.

试一试·双基题目、基础更牢固

§1.1(二)

1.如图所示,在由开关组 A 与 B 所组成的并联电路中,接通电源, 则只闭合一个开关能使电灯发光的方法种数为
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( B )

A.6
解析

B. 5

C.30

D.1

由电路图可知,关闭任何一个开关都能使电路接通,使电灯发

光,故由分类加法计数原理得,能使电灯发光的方法种数为 5.

试一试·双基题目、基础更牢固

§1.1(二)

2. 用 4 种不同的颜色涂入如图所示的矩形 A,B,C,D 中,每个矩形只涂入一种,要求相邻的矩形涂色不同,
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则不同的涂色方法共有 A.72 种 C.24 种 B.48 种 D.12 种

( A )

解析 共有 4×3×2×3=72(种)不同涂色方法.

试一试·双基题目、基础更牢固

§1.1(二)

3.在夏季,一个女孩有红、绿、黄 3 件上衣,红、绿、黄、白、 黑 5 种裙子,这位女孩夏季某一天去学校上学,有________ 15 种 不同的穿法.
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解析

由分步乘法计数原理可得,这位女孩共有 3×5=15(种)

不同的穿法.

研一研·问题探究、课堂更高效

§1.1(二)

题型一 例1
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两个计数原理在排数中的应用

用 0,1,2,3,4 五个数字,

(1)可以排出多少个三位数字的电话号码? (2)可以排成多少个三位数? (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数?



(1)三位数字的电话号码,首位可以是 0,数字也可以重复,每

个位置都有 5 种排法,共有 5×5×5=53=125(种).
(2)三位数的首位不能为 0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排 法, 除 0 外共有 4 种方法, 第二、 三位可以排 0, 因此, 共有 4×5×5 =100(种).

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§1.1(二)

(3)被 2 整除的数即偶数,末位数字可取 0,2,4.因此可以分两类,一 类是末位数字是 0,则有 4×3=12(种)排法;一类是末位数字不是 0,则末位有 2 种排法,即 2 或 4,再排首位,因 0 不能在首位,所 以有 3 种排法, 十位有 3 种排法, 因此有 2×3×3=18(种)排法. 因
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而有 12+18=30(种)排法.即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复 数字的三位数.

小结

(1)对于组数问题的计数:一般按特殊位置(末位或首位)由谁

占领分类,每类中再按特殊位置(或元素)优先的方法分步来计数; 但当分类较多时,可用间接法. (2)注意合理地画出示意图,直观地展现问题的实质.

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(1)三位整数? (2)无重复数字的三位整数? (3)小于 500 的无重复数字的三位整数? 解 由于 0 不可在最高位,因此应对它进行单独考虑.

§1.1(二)

跟踪训练 1 用 0,1,?,9 这十个数字,可以组成多少个:

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(1)百位数字有 9 种选择, 十位数字和个位数字都各有 10 种选择. 由 分步乘法计数原理知, 适合题意的三位数共有 9×10×10=900(个). (2)由于数字不可重复,可知百位数字有 9 种选择,十位数字也有 9 种选择,但个位数字仅有 8 种选择.由分步乘法计数原理知,适合 题意的三位数共有 9×9×8=648(个). (3)百位数字只有 4 种选择,十位数字有 9 种选择,个位数字有 8

种选择.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有 4×9×8 =288(个).

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题型二 例2 两个计数原理的实际应用

§1.1(二)

(1)给程序模块命名,需要用 3 个字符,其中首字符要求用字

母 A~G 或 U~Z,后两个要求用数字 1~9,最多可以给多少个 程序命名?
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(2)我们把壹元硬币有国徽的一面叫做正面, 有币值的一面叫做反 面.现依次抛出 5 枚壹元硬币,按照抛出的顺序得到一个由 5 个 “正”或“反”组成的序列,如“正、反、反、反、正”.问: 一共可以得到多少个不同的这样的序列?



(1)第一步,先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字

符共有 7+6=13(种)选法; 第二步,中间字符和末位字符各有 9 种不同的选法. 根据分步乘法计数原理, 最多可以有 13×9×9=1 053(种)不同的选 法,即最多可以给 1 053 个程序命名.

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§1.1(二)

(2)分五个步骤完成这件事, 每个步骤都有“正”或“反”两种不同 的情况,由分步乘法计数原理,得 N=2×2×2×2×2=25=32, 所以一共可以得到 32 个不同的序列.
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小结

要解决好实际问题,首先要将问题与学习过的两个原理联

系,确定用分类还是分步,或是分类和分步综合应用.

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§1.1(二)

跟踪训练 2 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等 两种状态,而这也是最容易控制的两种状态,因此计算机内部就采 用了每一位只有 0 或 1 两种数字的记数法,即二进制.为了使计算
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机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多 个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每 个字节由 8 个二进制位构成.问: (1)一个字节(8 位)最多可以表示多少个不同的字符? (2)计算机汉字国标码(GB 码)包含了 6 763 个汉字, 一个汉字为一个 字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节 表示?

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解 (1)用下图来表示一个字节.

§1.1(二)

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一个字节共有 8 位,每位上有 2 种选择.根据分步乘法计数原理, 一个字节最多可以表示 2×2×2×2×2×2×2×2=28=256(个 )不 同的字符.

(2)由(1)知,用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763 个,我们就 考虑用两个字节能够表示多少个字符.前一个字节有 256 种不同的 表示方法,后一个字节也有 256 种表示方法.根据分步乘法计数原 理,两个字节可以表示 256×256=65 536(个)不同的字符,这已经 大于汉字国标码包含的汉字个数 6 763.所以要表示这些汉字,每个 汉字至少要用两个字节来表示.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

§1.1(二)

1.某小组有 8 名男生,6 名女生,从中任选男生、女生各一
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人去参加座谈会,则不同的选法有 A.48 种 C.14 种 B.24 种 D.12 种

( A )

解析 从 8 名男生中任意挑选一名参加座谈会,共有 8 种 不同的选法,从 6 名女生中任意挑选一名参加座谈会,共 有 6 种不同的选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法 共有 8×6=48(种).

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§1.1(二)

2 . 已 知 函 数 y = ax2 + bx + c 为 二 次 函 数 , 其 中 a , b , c∈{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个数为 A.125
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( C )

B.15

C.100

D.10

解析

若 y=ax2+bx+c 为二次函数,则 a≠0,要完成该事件,

需分步进行: 第一步:对于系数 a 有 4 种不同的选法;
第二步:对于系数 b 有 5 种不同的选法; 第三步:对于系数 c 有 5 种不同的选法. 由分步乘法计数原理知,共有 4×5×5=100(个).

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3. (a1+a2)· (b1+b2+b3)· (c1+c2+c3+c4)的展开式中有_____项.

解析
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要得到项数分三步:第一步,从第一个因式中取一个因

子,有两种取法; 第二步,从第二个因式中取一个因子,有 3 种取法; 第三步,从第三个因式中取一个因子,有 4 种取法. 由分步乘法计数原理知,共有 2×3×4=24(项).

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§1.1(二)

4.数字不重复的四位偶数共有多少个?

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(1)0 在末位时,十、百、千分别有 9、8、7 种安排方法,

共有 9×8×7=504(个).

(2)0 不在末位时,2,4,6,8 中的一个在末位,有 4 种排法,首 位有 8 种(0 除外),其余两位有 8、7 两种排法.
∴共有 4×8×8×7=1 792(个). 由(1)(2)知,共有符合题意的偶数为: 504+1 792=2 296(个).

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§1.1(二)

5.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增 长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽 车牌照号码组成办法,每一个汽车牌照都必须有 3 个不重 复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并且 3 个字母
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必须合成一组出现,3 个数字也必须合成一组出现.那么按 照这种办法共能给多少辆汽车上牌照?



将汽车牌照分为两类,一类是字母组合在左,另一类

是字母组合在右.
字母组合在左时, 分 6 个步骤确定一个牌照的字母和数字:
第 1 步,从 26 个字母中选 1 个,放在首位,有 26 种选法;
第 2 步,从剩下的 25 个字母中选 1 个,放在第 2 位,有 25 种选法;

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§1.1(二)

第 3 步,从剩下的 24 个字母中选 1 个,放在第 3 位,有 24 种 选法;
第 4 步,从 10 个数字中选 1 个,放在第 4 位,有 10 种选法;
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第 5 步, 从剩下的 9 个数字中选 1 个, 放在第 5 位, 有 9 种选法; 第 6 步, 从剩下的 8 个数字中选 1 个, 放在第 6 位, 有 8 种选法. 根据分步乘法计数原理,字母组合在左的牌照共有 26×25×24×10×9×8=11 232 000(个). 同理,字母组合在右的牌照也有 11 232 000 个.

所以,共能给 11 232 000+11 232 000=22 464 000(辆)汽车上牌照.

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§1.1(二)

本课时主要讲解了两个基本计数原理的应用, 通过不同类型的
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题目, 要仔细体会两个计数原理的具体用法, 尤其是在自然科 学、 现代科技中处处都离不开这两个计数原理的应用, 从而深 刻体会数学本身的重要性,进一步坚定学好数学的信念.



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