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韦达定理和逆定理在解析几何中的应用


襄 樊职 业技 术 学院 学报   第 9卷  第 1 期  双 月刊  2 1 0 0年 1   月 韦达定理和逆定理在解析几何中的应用  叶 忠 国  ( 樊职 业技 术学 院 公 共课部 ,湖北 襄樊 4 15 ) 襄 40 0  摘 要: 平面解析 几何 , 用代数 方法研 究平 面几何 图形的一个教学分支 , 是 它所提 出的 问题以及 问题 的结论都  是几何形式 , 而中间的论证和推导基本上是用代数方法。本文通过具体 的例 子, 介绍 了韦达定理和逆定理在解析 几  何中的应用。   关键词 : 韦达定理; 解析几何 ;   应用 中 图分 类 号 : 6 3 2 G 3.   6 文 献 标识 码 :   A 文 章 编号 :6 19 4 2 1) l0 3- 3 17 — 1X(0 0 O 一 0 0 0  如 果 方 程 a : b + = ( 、 C都 是 实 数 , ≠0 的  x+ x c 0 a b、   a ) 两 根 是   和 p, 么 :t 1 一 , p   . 之 , 果   那 e+3    ? = 反 = 如 a  a  J2 + 2 = 2  b) a  a 【 y b   [= (- ) y kx c  () 1   () 2  消 去 Y得 (2 ak)  2 2kx a (  kc) 0, 方   b+ "r 一 ac  ̄— 2 b一  2- 此 x 两 个 数 仅 和 B满 足 如 下 关 系 :t 1 一 , ?   o+3     p= = a  a  程 二 根 为 过 F点 弦 与 椭 圆 二 交 点 的 横 坐 标 。   那 么 这 两 个 数 d和 1 方 程 a   b + = ( 、 C都   3是 x+ x c O a b、 是 实 数 , ≠0) 根 。{ 述 是 韦 达 定 理 及 其 逆 定 理 。 a 的 1 1 上   下 面 通 过 具 体 的 例 子 说 明 它 在 解 析 几 何 中 的应 用 。   由 达 理 x2 韦 定 得 -= +器 x 所 以弦 中点 的横坐标 是 x  = 代 入 ( 纵 坐 标 y    c 2) = - 2k b ? . .  .     =  k  ac 2 2 ,  例 1连 接 抛 物 线 上 任 意 两 点 的 线 段 叫 抛 物 线 的  . 弦 , 证抛 物线 的平行 弦 的中点在 一条 直线上 。 求   证 明 : 抛 物 线 方 程 为 y= p ( > ) 它 的 一 组   设 2 2 xp 0 , = 阜 .   () 3  平 行 弦 的 斜 率 是 k, 程 是 y k + . 方 = x b  由 程 {2b  去 得y孕y :  方 组yx+ 2p =x消   : + o 一   , y =k 此 方程两 根为 弦与抛 物线二 交点 的纵 坐标 。   由 ( ) = r , / 3) 理 得 bx+  ̄Zbc = . 2 k j - 代 k( 整 Z a - Zx O  即  +   -1 .   由韦达定理得 Y y 牟   l2 . += (  ( ) 手)     这 是经 过椭 圆一 焦点 诸 弦 中点 的 轨迹 方程 , 它  但 y毕   =   = 二 }为弦中 K 点的 纵坐标。   该纵 坐标 与 b值无 关 , 以 y } 为平 行 弦的 中  所 =K  点 轨 迹 方 程 , 是 平 行 于 x轴 的 一 条 直 线

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