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1.3导数在研究函数中的应用(第三课时)



1.3导数在研究函数中的应用

2014-3-24

2014-3-24

y

温 故 知 新


a

y=f(x)

x1 x2 x3

o

x4 x5

x6

b

x

极值反映的是函数在某一点附近的局部性质. 最值是相对函数定义域整体而言的. 注意:
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极值
不唯一 极大值和极小值大小不定
只能是内点值,不能为端点值

最值
唯一 最大值一定比最小值大 两者都有可能

※探究新知
y y
y=f(x)

y
y=f(x)

y=f(x)

a

o o a
x1 x2 x3

x4 x3

b o

x
x4 x5

a

x1 x2

b x
x

x6

b

如果在闭区间【a,b】上函数y=f(x)的图像是一条连 续不断的曲线,那么它必定有最大值和最小值。

所有极值连同端点函数值进行比较, 最大的为最大值,最小的为最小值

2014-3-24

※典型例题
求函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x 3在 ? ?3, 3? 上的最大值与最小值.

在闭区间上求函数最值时,必须确定函数的极大值和极小值吗?

解:f ' ? x ? ? 12 ? 3x 2

x ? ? ?3,3?

令f ' ? x ? ? 0, 解得:x ? 2或x ? ?2 1、求出所有导数为0的点; 又f (2) ? 22,f (?2) ? ?10,f (3) ? 15, f (?3) ? ?3 所以函数f ( x) ? 6 ? 12 x ? x 3在 ? ?3, 3? 上的 最大值为22,最小值为 ? 10.
2、计算;

3、比较确定最值。

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※动手试试
求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:

1、f ( x) ? x3 ? 27 x
2、f ( x) ? 6 ? 12 x ? x
3

x ? ? ?4, 4?
? 1 ? x ? ? ? ,3? ? 3 ?

3、f ( x) ? 3x ? x
2014-3-24

3

x ? ? 2,3?

※典型例题
例题2:已知函数f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a在 ? ?2, 2 ? 上有最小值 ? 37

?1? 求实数a的值;

2 ? 上的最大值。 ? 2 ? 求f ( x)在 ? ?2,

反思:本题属于逆向探究题型; 其基本方法最终落脚到比较极 值与端点函数值大小上,从而解决 问题,往往伴随有分类讨论。

2014-3-24

※拓展提高
我们知道,如果在闭区间【a,b】上函数 y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线, 那么它必定有最大值和最小值;那么把闭 区间【a,b】换成开区间(a,b)是否一 定有最值呢?

2014-3-24

函数f(x)有一个极值点时,极值点必定是最值点。

有两个极值点时,函数有无最值情况不定。

2014-3-24

如果函数f(x)在开区间(a,b)上只有一个极 值点,那么这个极值点必定是最值点。

2014-3-24

※动手试试
? 1? 讨论函数( f x)=4x ? 4 x ? x在 ? 0, ?的最值情况。 ? 2?
3 2

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补充练习: 1.下列说法正确的是( ) (A)函数的极大值就是函数的最大值 (B)函数的极小值就是函数的最小值 (C)函数的最值一定是极值 (D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值. 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f ?( x ) ( ) (A)等于 0 (B)大于 0 (C)小于 0 (D)以上都有可能 1 4 1 3 1 2 3.函数 y= x ? x ? x ,在 [-1,1] 上的最小值为( ) 4 3 2 13 (A)0 (B)-2 (C)-1 (D) 12

D

A

A

2014-3-24

3.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0 的最短距离为( )
A. 5 B.2 5 C.3 5 D.0

[答案] A

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[解析] 设曲线在点 P(x0, y0)处的切线与 2x-y+3=0 平行,则切线与 2x-y+3=0 间的距离即为所求. 2 2 由 y′=[ln(2x-1)]′= ,则 =2,x0=1, 2x-1 2x0-1 所以 P(1,0),切线方程为 y=2(x-1),即 2x-y-2=0, 5 d= 2 = 5,故选 A. 2 +1

2014-3-24

4.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接 矩形面积的最大值为 ( ) A.10 B.15 C.25 D.50 [答案] C

2014-3-24

[解析] 设矩形长为 2a,宽为 b,则 S=2ab,且 a +b =25,∴S=2a 25-a (0<a<5), 2a ∴S′=2 25-a - 2 25-a
2 2 2 2

2

25 令 S′=0,得 a =b = 2
2 2

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5 2 当 0<a< 2 时,S′>0; 5 2 当 2 <a<5 时,S′<0, 25 因此当 a =b = 2 时,S 取得最大值,最大值为 2ab
2 2

=25,故应选 C.

2014-3-24

5.用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的 框架,如果所制作容器的底面的相邻两边 长之比为3:4,那么容器容积最大时,高 为 ( ) A.0.5m B.1m C.0.8m D.1.5m ? [答案] A

2014-3-24

[解析]

设容器底面相邻两边长分别为 3xm,4xm,则

? ?3 ? 6-12x-16x ?3 ? -7x?(m) ,容积 V = 3x· ? -7x? = 高为 = 4 x · 4 ?2 ? ?2 ?

18x -84x

2

3

? 3? ?0<x< ?,V′=36x-252x2, 14? ?

? 1? 1 由 V′=0 得 x=7或 x=0(舍去). x∈?0,7?时, V′>0, ? ? ?1 3? x∈?7,14?时,V′<0,所以在 ? ?

1 x=7处,V 有最大值,此

时高为 0.5m.
2014-3-24

6.如图所示,一窗户的上部是半圆,下部是 矩形,如果窗户面积一定,窗户周长最小 时,x与h的比为________.
? [答案] 1∶1

2014-3-24

[解析]

π 2 设窗户面积为 S,周长为 L,则 S=2x +2hx,

S π π S h=2x-4x, 所以窗户周长 L=πx+2x+2h=2x+2x+x , L′ π S = + 2- 2 . 2 x 由 L′=0, 得 x=
? x∈ ? ? ? ? 2S 0, , x∈? ? π+4 ?

2S ? ? 时, L′<0, π+4? ? 2S 时,L π+4

? 2S ,+∞? ?时,L′>0,所以当 x= π+4 ?
2

h 2S-πx 2S π π+4 π 取最小值,此时 = = 2- = - =1. x 4x2 4x 4 4 4
2014-3-24

6.设某银行中的总存款与银行付给存户的利率的平 方成正比,若银行以 10% 的年利率把总存款的 90%贷出,同时能获得最大利润,需要支付给存 户的年利率定为________. [答案] 6% [ 解析 ] 设支付给存户的年利率为 x ,银行获得的 利润 y是贷出后的收入与支付给存户利息的差, 即y=kx2×0.9×0.1-kx2·x=0.09kx2-kx3(x>0), y′=0.18kx-3kx2,由y′=0,得x=0.06或x=0(舍 去 ). ? 当 x∈(0,0.06) 时, y′>0 ,当 x∈(0.06 ,+ ∞ ) 时, y′<0,故当x=0.06时,y取最大值.
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7..如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小 相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这 两栏的面积之和为 18000cm2 ,四周空白的宽度 为 10cm ,两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm. 怎 样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩 形广告面积最小?

[解析]
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设广告的高和宽分别为xcm,ycm,

y-25 则每栏的高和宽分别为 x-20, 2 ,其中 x>20,y>25. y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· 2 =18000,

18000 由此得 y= +25. x-20 广告的面积
?18000 ? 18000x ? ? + 25 S=xy=x?x-20 ?= x-20 +25x, ? ?

18000[(x-20)-x] -360000 ∴S′= +25= +25. (x-20)2 (x-20)2
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? ? ? ? ?

令S′>0得x>140,令S′<0得20<x<140. ∴函数在(140,+∞)上单调递增, 在(20,140)上单调递减, ∴S(x)的最小值为S(140). 当x=140时,y=175.即当x=140,y=175 时,S取得最小值24500,故当广告的高为 140cm,宽为175cm时,可使广告的面积 最小.

2014-3-24

小结:
1、基本知识

2、基本思想

2014-3-24



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