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抛物线题及知识点总结


一、抛物线的定义及其应用 [例 1] 设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点.

(1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

例 2、 .(2011?山东高考)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一 点,F 为 抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) B.[0,2] D.[2,+∞)

A.(0,2) C.(2,+∞) . 二、抛物线的标准方程和几何性质

例 3、 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, 准线为 l, 经过 F 的直线与抛物线交于 A、

B 两点,交准线于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK⊥l,垂足为 K,若|BC|=2|BF|,
且|AF|=4,则△AKF 的面积是 A.4 C.4 3 [悟一法] 1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有 p,可利用题中已知条件 确定 p 的值.注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定 位,再定量. 2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考, 通过图形可以直观地看出抛 物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征. 例 4.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3 则此抛物线的方程为 3 A.y2= x 2 B.y2=9x 9 C.y2= x 2 ( ) B.3 3 D.8 ( )

D.y2=3x

1

三、抛物线的综合问题 [例 5] (2011?江西高考)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直

线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;

? ??? ??? ??? ? ? (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的
值.

例 6、(2011?湖南高考)(13 分)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,

??? ??? ? ? B,l 与轨迹 C 相交于点 D,E,求 AD EB 的最小值
2
?

例 7.已知点 M(1,y)在抛物线 C:y2=2px(p>0)上,M 点到抛物线 C 的焦点 F 的 1 距离为 2,直线 l:y=- x+b 与抛物线 C 交于 A,B 两点. 2 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程.

2

练习题 1.已知抛物线 x2=ay 的焦点恰好为双曲线 y2-x2=2 的上焦点,则 a 等于 ( ) A.1 B.4 C.8 D.16 ( )

2. 抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1, 则点 M 的纵坐标是 A.- 17 16 B.- 15 16 C. 7 16 D. 15 16

3.(2011?辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2=x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A. 3 4 B.1 C. 5 4 ( ) D. 7 4

4.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系 是 ( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定

5.(2012?宜宾检测)已知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直 线 交 抛 物 线 于 ( ) A.4 2

A 、 B
B.8C.

两 点 , 则 ||FA| - |FB|| 的 值 等 于 8 2 D.16

6.在 y=2x2 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点

P 的坐标是
A.(-2,1) C.(2,1) B.(1,2) D.(-1,2)

(

)

7.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂 足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= A.4 3 C.8 3 B.8 D.16 ( )

8.(2011?陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物 线的方程是 A.y2=-8x B.y2=8x ( C.y2=-4x ) D.y2=4x

9.(2012?永州模拟)以抛物线 x2=16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线 相切的圆的方程为________.
3

10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(-3,m)到 焦点的距离是 5,则抛物线的方程为________. 11.已知抛物线 y2=4x 与直线 2x+y-4=0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦 ??? ? ??? ? 点为 F,那么| FA | +| FB | =________. 12.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点, 若 x1+x2=6,那么 |AB|等于________ 13.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线 16x2-9y2=144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4).

14.已知点 A(-1,0),B(1,-1),抛物线 C:y2=4x,O 为坐标原点,过点 ???? ? A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M, 两点, P 直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM

??? ? π 与 OP 的夹角为 ,求△POM 的面积. 4

4

一、抛物线的定义及其应用 [例 1] 设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点.

(1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. [自主解答] (1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1.

由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到

F(1,0)的距离之和最小.显然,连结 AF 交曲线于 P 点,则所求的最小值为|AF|,
即为 5. (2)如图,自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q,交抛物线于点 P1,则|P1Q|=|P1F|. 则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为 4. 例 2、 .(2011?山东高考)设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y 上一 点,F 为 抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( ) B.[0,2] D.[2,+∞)

A.(0,2) C.(2,+∞)

解析:圆心到抛物线准线的距离为 p,即 p=4,根据已 知只要|FM|>4 即可.根 据抛物线定|FM|=y0+2 由 y0+2>4, 解得 y0>2, y0 的取值范围是(2, 故 +∞).

二、抛物线的标准方程和几何性质 例 3、 抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F, 准线为 l, 经过 F 的直线与抛物线交于 A、

B 两点,交准线于 C 点,点 A 在 x 轴上方,AK⊥l,垂足为 K,若|BC|=2|BF|,
且|AF|=4,则△AKF 的面积是 A.4 C.4 3 B.3 3 D.8 ( )

设点 A(x1 , y1),其中 y1>0.由点 B 作抛物线的准线的垂线,垂足为 B1.则有 |BF|=|BB1|;又|CB|=2|FB|,因此有|CB|=2|BB1|,cos∠CBB1= |BB1| 1 = ,∠ |BC| 2

CBB1= .即直线 AB 与 x 轴的夹角为 .

π 3

π 3

5

p π 又|AF|=|AK|=x1+ =4,因此 y1=4sin =2 3, 2 3
1 1 因此△AKF 的面积等于 |AK|?y1= ?4?2 3=4 3. 2 2 [悟一法] 1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法,未知数只有 p,可利用题中已知条件 确定 p 的值.注意到抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定 位,再定量. 2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考, 通过图形可以直观地看出抛 物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征. 例 4.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A、B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3 则此抛物线的方程为 3 A.y2= x 2 9 C.y2= x 2 B.y2=9x D.y2=3x ( )

解析: 分别过点 A、 作 AA1、 1 垂直于 l, B BB 且垂足分别为 A1、 1, B 由已知条件|BC| =2|BF|得|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,又|AA1|=|AF|=3, ∴|AC|=2|AA1|=6,∴|CF|=|AC|-|AF|=6-3=3,∴F 为线段 AC 的中点.故 1 3 点 F 到准线的距离为 p= |AA1|= ,故抛物线的方程为 y2=3x. 2 2 三、抛物线的综合问题 [例 5] (2011?江西高考)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直

线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;

? ??? ??? ??? ? ? (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求λ 的
值. [自主解答] (1)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ),与 y2=2px 联立,从而有 4x2 2 5p ,由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 4
6

p

-5px+p2=0,所以:x1+x2=

所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=- 2 2,y2=4 2,从而 A(1,-2 2),B(4,4 2);

??? ? 设 OC =(x ,y )=(1,-2
3 3

2)+λ (4,4 2)=(4λ +1,4 2λ -2 2).

又 y2=8x3,即[2 2(2λ -1)]2=8(4λ +1). 3 即(2λ -1)2=4λ +1.解得λ =0,或λ =2. 例 6、(2011?湖南高考)(13 分)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,

??? ??? ? ? B,l 与轨迹 C 相交于点 D,E,求 AD EB 的最小值
2
?

妙解](1)设动点 P 的坐标为(x,y),由题意有 ?

x-1?

2

+y2-|x|=1.化简得

y2=2x+2|x|. 当 x≥0 时,y2=4x;当 x<0 时,y=0.
所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2=4x(x≥0)和 y=0(x<0). (2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为 0,设为 k,则 l1 的方程为 y=k(x- ?y=k? x-1? 1).由? 2 ?y =4x ,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0. (7 分)

4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=2+ 2,

k

x1x2=1.
1 因为 l1⊥l2,所以 l2 的斜率为- .

(8 分)

k

设 D(x3,y3),E(x4,y4),则同理可得

x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)?(x4+1) = x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1 (11 分)

4 1 =1+(2+ 2)+1+1+(2+4k2)+1=8+4(k2+ 2)≥8+4?2

??? ??? ? ? 当且仅当 k = ,即 k=±1 时, AD EB 取最小值 16. k
2

k

k

k2? 2=16. k

1

1

2

?

7

例 7.已知点 M(1,y)在抛物线 C:y2=2px(p>0)上,M 点到抛物线 C 的焦点 F 的 1 距离为 2,直线 l:y=- x+b 与抛物线 C 交于 A,B 两点. 2 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆的方程. 解:(1)抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=- ,由抛物线定义和已知条件可知 2 |MF|=1-(- )=1+ =2,解得 p=2, 故所求抛物线 C 的方程为 y2=4x. 2 2

p

p

p

?y=-1x+b, 2 (2)联立? ?y =4x
2

消去 x 并化简整理得 y2+8y-8b=0.

依题意应有Δ =64+32b>0,解得 b>-2.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2 =-8,y1y2=-8b,设圆心 Q(x0,y0),则应用 x0=

x1+x2
2

,y0=

y1+y2
2

=-4.

因为以 AB 为直径的圆与 x 轴相切,所以圆的半径为 r=|y0|=4. 又|AB|= ? 5[?

x1-x2?
2

2

+?

y1-y2?

2

= ?

1+4?

?

y1-y2?

2



y1+y2?

-4y1y2]= 5? 64+32b?

64+32b? 8 =8,解得 b=- . 5 48 , 5

所以|AB|=2r= 5?

所以 x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16= 则圆心 Q 的坐标为(

24 24 ,-4).故所求圆的方程为(x- )2+(y+4)2=16. 5 5

1.已知抛物线 x2=ay 的焦点恰好为双曲线 y2-x2=2 的上焦点,则 a 等于 ( ) A.1 B.4 C.8 D.16

解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0, ),双曲线的上焦点为(0,2), 4 依题意则有 =2 解得 a=8. 4

a

a

8

2. 抛物线 y=-4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1, 则点 M 的纵坐标是 A.- 17 16 B.- 15 16 C. 7 16 D. 15 16

(

)

y 1 解析:抛物线方程可化为 x2=- ,其准线方程为 y= .设 M(x0,y0),则由 4 16
抛物线的定义,可知 1 15 -y0=1? y0=- . 16 16

3.(2011?辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2=x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A. 3 4 B.1 C. 5 4 ( ) D. 7 4

解析: 根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: 1 1 3 1 5 (|AF|+|BF|)- = - = . 2 4 2 4 4 4.已知抛物线 y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系 是 ( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定

解析:设抛物线焦点弦为 AB,中点为 M,准线 l,A1、B1 分别为 A、B 在直线

l 上的射影, AA1|=|AF|, BB1|=|BF|, 则| | 于是 M 到 l 的距离 d= (|AA1|+|BB1|)
1 1 = (|AF|+|BF|)= |AB|=半径,故相切. 2 2 5.(2012?宜宾检测)已知 F 为抛物线 y2=8x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直 线 交 抛 物 线 于 ( ) A.4 2 B.8C. 8 2 D.16 ,消去 y

1 2

A 、 B

两 点 , 则 ||FA| - |FB|| 的 值 等 于

?y=x-2, 解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2 由? 2 ?y =8x

得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+ 2)|=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= 144-16=8 2. 6.在 y=2x2 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点

P 的坐标是

(

)
9

A.(-2,1) C.(2,1)

B.(1,2) D.(-1,2)

解析:如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x2 的准线,F 为其焦 点,PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知,|PF|=|PN|,∴|AP| +|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|,当且仅当 A、P、N 三点共线时取 等号.∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1,则可排除 A、C、D.答案:B 7.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂 足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= A.4 3 C.8 3 B.8 D.16 ( )

8.(2011?陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物 线的方程是 A.y2=-8x B.y2=8x ( C.y2=-4x ) D.y2=4x

解析:由准线方程 x=-2,可知抛物线为焦点在 x 轴正 半轴上的标准方程,同时得 p=4,所以标准方程为 y2=2px=8x 9.(2012?永州模拟)以抛物线 x2=16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线 相切的圆的方程为________. 解析:抛物线的焦点为 F(0,4),准线为 y=-4,则圆心为(0,4),半径 r= 8.所以,圆的方程为 x2+(y-4)2=64. 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(-3,m)到 焦点的距离是 5,则抛物线的方程为________. 解析:设抛物线方程为 x2=ay(a≠0),则准线为 y=- .∵Q(-3,m)在抛 4 物线上,∴9=am.而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到准线的距离,

a

a 9 9 a ∴|m-(- )|=5.将 m= 代入,得| + |=5,解得,a=±2,或 a=±18, 4 a a 4
∴所求抛物线的方程为 x2=±2y,或 x2=±18y. 11.已知抛物线 y2=4x 与直线 2x+y-4=0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦 ??? ? ??? ? 点为 F,那么| FA | +| FB | =________.

10

?y =4x 解析:由? ?2x+y-4=0
2

,消去 y,得 x2-5x+4=0(*),方程(*)的两根

为 A、B 两点的横坐标,故 x1+x2=5,因为抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),所 ??? ? ??? ? 以| FA | +| FB | =(x1+1)+(x2+1)=7 12.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2)两点, 若 x1+x2=6,那么 |AB|等于________ 解析:因线段 AB 过焦点 F,则|AB|=|AF|+|BF|.又由抛物线的定义知|AF|=x1 +1,|BF|=x2+1,故|AB|=x1+x2+2=8. 13.根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2 -9y2=144 的左顶点;(2)过点 P(2,-4). 解:双曲线方程化为 - =1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为 9 16

x2

y2

p y2=-2px(p>0),则- =-3,∴p=6,∴抛物线方程为 y2=-12x.
2 (2)由于 P(2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为 y2 =mx 或 x2=ny,代入 P 点坐标求得 m=8,n=-1, ∴所求抛物线方程为 y =8x 或 x =-y. 14.已知点 A(-1,0),B(1,-1),抛物线 C:y2=4x,O 为坐标原点,过点 ???? ? A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M, 两点, P 直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM
2 2

??? ? π 与 OP 的夹角为 ,求△POM 的面积. 4
解:设点 M( ,y1),P( ,y2), 4 4 ∵P,M,A 三点共线, ∴kAM=kPM, 即

y2 1

y2 2

y1 y
2 1



4

+1

y1-y2 y1 1 = ,∴y1y2=4. 2 2,即 2 y1 y2 y1+4 y1+y2
4 - 4

???? ? ??? y2 y2 ? ???? ? ??? ? π 1 2 ∴ OM ? OP = ? +y1y2=5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为 , 4 4 4 ???? ? ??? ? ? ??? ? π 1 ???? π 5 ∴| OM |?| OP |?cos =5.∴S△POM= | OM | ?| OP | ?sin = . 4 2 4 2
11


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