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高二数学下学期十四周周练教师版


高二下学期数学周练(5.22)

? 2 3? 1.已知直线 l : ax ? y ? 1 在矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下变为直线 l ? : x ? by ? 1 . ?0 1 ?
(1)求实数 a , b 的值;

? x0 ? ? x0 ? (2)若点 P( x0,y0 ) 在直线 l 上,且 A ? ? ? ? ? ,求点 P 的坐标. ? y0 ? ? y0 ?
解: (1)设直线 l 上一点 ( x, y ) 在矩阵 A 对应的变换下得点 ( x?, y?) ,

? 2 3? ? x ? ? x? ? ? x? ? 2 x ? 3 y 则? 代入直线 l ? ,得 2 x ? (b ? 3) y ? 1 , ? ? ? ,? ? ? ? ? ? 0 1 ? ? y ? ? y ?? ? y? ? y ? a ? 2, b ? ?2 ;……5 分
(2) 点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上,? 2 x0 ? y0 ? 1 ,

3 ? ? x0 ? 5 3 1 ? x0 ? 2 x0 ? 3 y0 ? 2 3? ? x0 ? ? x0 ? ? 由? ,? ? ,? P ( , ? ) .…………10 分 ? ? ? ? ? ,得 ? ? 5 5 ?0 1 ? ? y0 ? ? y0 ? ? y0 ? y0 ?y ? ? 1 0 ? 5 ?
x ? 2cos t 2.已知曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C 在点 (1 ,3) 处的切线为 l .以坐 ? ? y ? 2sin t 标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求 l 的极坐标方程.

解:由题意,得曲线 C : x2 ? y 2 ? 4 ,? 切线为 l 的斜率 k ? ?

3 , 3

? 切线为 l 的方程为: y ? 3 ? ?

3 ( x ? 1) ,即 x ? 3 y ? 4 ? 0 , 3

? ? 切线为 l 的极坐标方程: ? sin(? ? ) ? 2 .………………………………… 10 分 6
3.一批产品需要进行质量检验, 质检部门规定的检验方案是: 先从这批产品中任取 3 件作检 验,若 3 件产品都是合格品,则通过检验;若有 2 件产品是合格品,则再从这批产品中任取 1 件作检验,这 1 件产品是合格品才能通过检验;若少于 2 件合格品,则不能通过检验,也 不再抽检. 假设这批产品的合格率为 80%,且各件产品是否为合格品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费为 125 元,并且所抽取的产品都要检验,记这批产品的检验费 为 ? 元,求 ? 的概率分布及数学期望.

4 3 2 42 11 4 5 1 2 ? C3 (? ) () ? ? ? ;…………………………………………5 分 5 5 5 5 6 2 5 4 3 1 3 77 1 4 1 1 2 (2) P(? ? 375) ? ( ) ? C3 ( ) ( ) ? ( ) ? , 5 5 5 5 125
解(1) :P ?()

4 1 48 P(? ? 500) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? , 5 5 125 77 48 ? 500 ? ? 423 .……………………………………10 分 ∴ E (? ) ? 375 ? 125 125
4.已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 19 , bn ? 2n .将 {an } 与 {bn } 中的公共 项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为 {cn } . (1)试写出 c1 , c 2 , c3 , c 4 的值,并由此归纳数列 {cn } 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论. 解: (1) c1 ? b1 ? a7 ? 21 , c2 ? b3 ? a9 ? 23 , c3 ? b5 ? a17 ? 25 , c4 ? b7 ? a48 ? 27 , 由此归纳: cn ? 22 n?1 .…………………………………………………………4 分 (2) 由 an ? bm ,得 n ?

2m ? 19 2m ? 1 (3 ? 1)m ? 1 ? ? 6 ,? n ? 6 ? ,由二项式定理得 3 3 3
m ?1 1 m ? Cm 3 (?1) m?1 ? Cm (?1) m ? 1

0 m 1 m ?1 2 m?2 Cm 3 ? Cm 3 (?1)1 ? Cm 3 (?1) 2 ? ? n?6 ? 3



? 当 m 为奇数时, n 有整数解, ? cn ? b2n?1 ? 22n?1 .…………………………10 分
? a 0? 5.若矩阵 M ? ? ? 把直线 l : x ? y ? 2 ? 0 变换为另一条直线 l ? : x ? y ? 4 ? 0 , ? ?1 2 ?

试求实数 a 值. 解:设直线 l 上任意一点 P( x, y ) 在矩阵 M 作用下的点 P? 的坐标为 ( x?, y?) ,
? x ' ? ? a 0? ? x ? ? x? ? ax, 则? ? ?? ,所以 ? ……………………………4 分 ? ? ? ? y '? ? ?1 2? ? y ? ? y ? ? ? x ? 2 y.

将点 P?( x?, y ?) 代入直线 l ? : x ? y ? 4 ? 0 ,得 (a ? 1) x ? 2 y ? 4 ? 0 . 即直线 l 的方程为 a ? 1 x ? y ? 2 ? 0 .所以 a ? 3 . 2 ………10 分

6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(0,1) ,曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,若 直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,求 PA ? PB 的值.
? x ? t cos ? , 解:设直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数, ? 为倾斜角) ? y ? 1 ? t sin ? . ? x ? t cos ? , 设 A , B 两点对应的参数值分别为 t1 , t 2 .将 ? 代入 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 , ? y ? 1 ? t sin ?

整 理可得 t 2 ? 2t (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 0 .………5 分(只要代入即可,没有整理成一般形 式也可以)所以 PA ? PB ? t1t2 ? 1 . ……………………………10 分 7.各项均为正数的数列 {xn } 对一切 n ? N* 均满足 xn ? 1 ? 2 . xn?1 证明: (1) xn ? xn?1 ; (2) 1 ? 1 ? xn ? 1 . n 证 明: (1)因为 xn ? 0 , xn ? 1 ? 2 ,所以 0 ? 1 ? 2 ? xn , xn?1 xn ?1
2 2 1 ,且 2 ? x ? 0 .因为 1 ? x ? xn ? 2 xn ? 1 ? ( xn ? 1) ≥ 0 . n n 2 ? xn 2 ? xn 2 ? xn 2 ? xn 1 ? xn ?1 ,即 xn ? xn?1 . ………………4 分 所以 1 ≥ xn ,所以 xn ≤ 2 ? xn 2 ? xn

所以 xn?1 ?

(2)下面用数学归纳法证 明: xn ? 1 ? 1 . n

[来源:Z|xx|k.Com]

① 当 n ? 1 时,由题设 x1 ? 0 可知结论成立; ② 假设 n ? k 时, xk ? 1 ? 1 , k 当 n ? k ? 1 时,由(1)得, xk ?1 ?

1 ? 1 ? k ?1? 1 . 2 ? xk 2 ? 1 ? 1 k ?1 k ?1 k

? ?

由① ,② 可得, xn ? 1 ? 1 . n 下面先证明 xn ≤1 .

……………………………7 分

假设存在自然数 k ,使得 xk ? 1 ,则一定存在自然数 m ,使得 xk ? 1 ?

1 . m

1 因为 xk ? 1 ? 2 , xk ?1 ? 1 ? ? m , xk ?1 2 ? xk 2 ? 1 ? 1 m ?1 m

?

?

xk ? 2 ?

m ? ? m ? 2? 1 ? 1 ?2, ? m ? 1 ,…, xk ? m ?1 ? 2 ? xk ?1 2 ? 1 ? 1 m?2 m ? ? m ? 1? m ?1

?

?

与题设 xk ? 1 ? 2 矛盾,所以, xn ≤1 .若 xk ? 1 ,则 xk ?1 ? xk ? 1, xk ?1 根据上述证明可知存在矛盾.所以 xn ? 1 成立.…………10 分

?1 2 ? 8.已知矩阵 A ? ? .若矩阵 A 属于特征值 2,3 的一个特征向量分 ? ( c , d 为实数) ?c d ? ? 2 ? ?1? 别为 ? ? , ? ? ,求矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 . ?1 ? ?1?

? ? 2? ?1 2 ? ?1? ?3 ? ?1? ?1 2 ? ? 2? ? 4 解:由题意知, ? ?? ? 2? ? , ? ?? ? 3? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ?c d ? ?1 ? ? 2c ? d ? ?1 ? ?c d ? ?1? ?c ? d ? ?1?

?2c ? d ? 2, ?c ? ?1, 所以 ? 解得 ? ?c ? d ? 3, ?d ? 4.

……………………5 分

?2 ?3 ? 1 2? 所以 A ? ? ,所以 A?1 ? ? ? ? ?1 4? ?1 ? ?6

1? ? ? 3 . ? 1 ? 6 ? ?

……………………10 分

9.在极坐标系中,已知圆 A 的圆心为 (4,0) ,半径为 4 ,点 M 为圆 A 上异于极点 O 的动点, 求弦 OM 中点的轨迹的极坐标方程. 解:由题意知,圆 A 的极坐标方程为 ? ? 8cos? , ………………4 分 设弦 OM 中点为 N ( ? ,? ) ,则 M (2 ? ,? ) , 因为点 M 在圆 A 上,所以 2? ? 8cos? ,即 ? ? 4cos? , ………………9 分 又点 M 异于极点 O ,所以 ? ? 0 , 所以弦 OM 中点的轨迹的极坐标方程为 ? ? 4cos? ( ? ? 0) . ………………10 分 10.某电视台准备举行文艺演出,可从 7 个代表队中任选 3 个代表队参加演出,且每个代表 队被选中的机会相等。已知这 7 个代表队能参加的节目数量分别为 1,1,2,2,2,3,3.设参演的节 目总数为 X. (1)若参演的节目总数为 X≥6,则演出即为成功,求演出成功的概率; (2)求演出节目总数 X 的概率分布及其数学期望。 解:(1)记“演出成功”为事件 A , 则事件 A 由三个互斥事件构成: X ? 6 , X ? 7 , X ? 8 , 因为 P( X ? 6) ?
1 1 3 2 1 1 C1 C3 C2 ? C2 13 8 2 C3 C 2 ? C 3 2 C2 ? P ( X ? 7) ? ? , , 3 3 C7 35 C7 35
1 C2 3 24 2 C3 ? .所以 P( A) ? P( X ? 6) ? P( X ? 7) ? P( X ? 8) ? . 3 C7 35 35

P( X ? 8) ?

所以演出成功的概率为

24 .……………………………………………………4 分 35

(2) X 的可能取值为 4,5,6,7,8. 因为 P( X ? 4) ?
1 2 1 2 1 C2 C3 C2 ? C2 C2 8 3 2 C3 ? P ( X ? 5) ? ? . , 3 3 C7 35 C7 35

所以 X 的概率分布为

X
P

4

5

6

7

8

3 35

8 35

13 35

8 35

3 35
………………8 分

4 ? 3 5 ? 8 6 ?13 7 ? 8 8 ? 3 所以 E( X ) ? ? ? ? ? ? 6. 35 35 35 35 35
答:演出节目总数的数学期望为 6. ………………………………………10 分


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