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江苏省2014届一轮复习数学试题选编12:等差数列及其前n项和(学生版)



江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 12:等差数列及其前 n 项和

填空题 1 . (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )已知 ? an ? 是首项为 a,公

差为 1 的等差数列, bn ? __________.

1 ? an * .若对任意的 n ? N

,都有 bn ? b8 成立,则实数 a 的取值范围是 an

2 . (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题) 已知等差数列 {an } 的首项为1 ,公差为 2 ,若

a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ?a2 n a2 n?1 ? t ? n2 对 n ? N * 恒成立,则实数 t 的取值范围是____.
3 . (江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题)在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数

列,每一纵列成等比数列,则 a ? b ? c 的值为_______. 1 0. 5 2 1

a b c
4 . (江苏省淮安市 2013 届高三上学期第一次调研测试数学试题) 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若

1 ? a4 ? 4, 2 ? a5 ? 3, S 6 取值范围是________.
5 . (南京市、 盐城市 2013 届高三年级第一次模拟考试数学试题) 在等差数列

?an ?中,



a3 ? a5 ? a7 ? 9

, 则

其前 9 项和

S9

的值为

.

6 . (江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn ? ? n2 ? kn(k ?N? ) ,且 S n

1 2

的最大值为 8,则 a 2 ? ___.
7 . (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若

?S ? S7 ? 7 , S15 ? 75 ,则数列 ? n ? 的前 20 项和为____. ?n?
8 . (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)设数列{ an }是公差不为 0 的等差数列,S 为其前

n 项和,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 , S5 ? 5 ,则 a7 的值为_____.
2 2 2 2

第 1 页,共 8 页

9 . 江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题) ( 已知等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 S n 和

Tn ,若

Sn 7n ? 45 a ,且 n 是整数,则 n 的值为_______. ? Tn n?3 b2 n

10.江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题) ( 等差数列 ?an ? 中,已知 a8 ? 15 , a9 ? 13 ,则 a12

的取值范围是__________.
11. (南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104,则 a5

与 a7 的等比中项为________.
12. (江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)等差数列{an}的公差为-2,且 a1,a3,a4 成等比数列,

则 a20=_______________.
13.2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 ( (二) 数学试题) 已知数列 ? an ? 的通项公式为 an

? 2n ? 1 ,

则数据 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的方差为_____.
14. (南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷)已知数列{ an }的通项公式为 an ? 7n ? 2 ,数列

{ bn }的通项公式为 bn ? n .若将数列{ an },{ bn }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{ cn },
2

则 c9 的值为_____.
15 . 江 苏 海 门 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 模 拟 数 学 试 卷 ) 已 知 函 数 f(x)= (

3 2x , 则 3+3

2x

f(

1 2 100 )+f( )++f( )=________________. 101 101 101

16. (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)设 S n , Tn 分别是等差数列 ?an ? , ?bn ? 的

前 n 项和,已知

S n 2n ? 1 ,n? N *, ? Tn 4n ? 2



a10 a11 ? ? _______. b3 ? b18 b6 ? b15
a5 ? ?1 ,则数列 a6

17. (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题)已知数列{an}为等差数列,若

{|an|}的最小项是第_____项.
18. (江苏省苏州市五市三区 2013 届高三期中考试数学试题 )已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1))

处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行, 若数列 {
解答题 19. (江苏省姜堰市 2012—2013 学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) )已知各项均不相同的等差数列
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1 } 的前 n 项和为 S n ,则 S 2013 的值为____________. f ( n)

?an ? 的前四项和 S4 ? 14 , 且 a1 , a3 , a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式;
(Ⅱ)设 Tn 为数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和,求 T2012 的值. ? an ? an ?1 ?

20. (2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)已知等差数列 ? an ? 的公差 d 不为零,

且 a3 ? a7 , a2 ? a4 ? a6 .
2

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,求满足 Sn ? 2an ? 20 ? 0 的所有正整数 n 的集合.

21. (2010 年高考 (江苏) 设各项均为正数的数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,已知 2a 2 ? a1 ? a3 ,数列 )

? S ?是
n

公差为 d 的等差数列. ①求数列 ?a n ?的通项公式(用 n, d 表示) ②设 c 为实数,对满足 m ? n ? 3k且m ? n 的任意正整数 m, n, k ,不等式 S m ? S n ? cS k 都成立.求 证: c 的最大值为

9 2

22. (江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,存在常数 A,B,C,

使得 an ? S n ? An ? Bn ? C 对任意正整数 n 都成立.若数列 {an } 为等差数列,求证 :3A-B+C=0.
2

23 . 扬 州 、 南 通 、 泰 州 、 宿 迁 四 市 2013 届 高 三 第 二 次 调 研 测 试 数 学 试 卷 ) 设 无 穷 数 列 ?an ? 满 (

足: ?n ?Ν? , an ? an ?1 , an ? N? .记 bn ? aan ,cn ? aan ?1 (n ? N* ) . (1)若 bn ? 3n(n ? N* ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值;
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(2)若 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论.

24 . 苏 州 市 第 一 中 学 2013 届 高 三 “ 三 模 ” 数 学 试 卷 及 解 答 ) 已 知 数 集 A ? {a1 , a 2 ,? ? ?, a n } , 其 中 (

0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ,且 n ? 3 ,若对 ?i, j ( 1 ? i ? j ? n ), a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个属
于 A ,则称数集 A 具有性质 P . (Ⅰ)分别判断数集 {0,1,3} 与数集 {0,2,4,6} 是否具有性质 P ,说明理由; (Ⅱ)已知数集 A ? ?a1 , a 2 ,? , a8 ?具有性质 P . ①求证: 0 ? A ; ②判断数列 a1 , a 2 ,? , a8 是否为等差数列,若是等差数列,请证明;若不是,请说明理由.

A G E

D

F

B

C

(第 21—A 题图)
25 . 2009 高 考 ( 江 苏 ) ) 设 (
2 2 2 2 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,S7 ? 7

?an ? 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , S n

为其前

n

项和,满足

(1)求数列

?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ;
am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2

(2)试求所有的正整数 m ,使得

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江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 12:等差数列及其前 n 项和参考答案 填空题 1. 2.

? ?8, ?7 ?
(??, ?12]
解: a1a2 ? a2 a3 ? a3a4 ? a4 a5 ? ??? ? a2 n a2 n ?1

? a2 (a1 ? a3 ) ? a4 (a3 ? a5 ) ? ??? ? a2 n (a 2 n ?1 ?a2 n ?1 )

a2 ? a2 n ? n ? ?8n2 ? 4n , 2 4 2 2 * 所以 ?8n ? 4n ? tn ,所以 t ? ?8 ? 对 n ? N 恒成立, n t ? ?12 ,
? ?4(a2 ? a4 ? ? ? a2 n ) ? ?4 ?
3. 4. 5. 6.

16

[0,30]
27

5 2 7. 55; 8. 9
9. 10.

15 ;

?? ?,7?

;

11.答案: ?4 2 .

本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算. 法一 用性质.S9=9a5= -36,S13= 13a7= -104,于是 a5= -4,a7= -8,等比中项为 ?4 2 . 法二 用基本量.S9=9a1+36d= -36,S13=13a1+78d= -104,解得 a1=4,d= -2.下同法一.
12.

?30

13. 8 14. 961 15. 16.

50

41 78

17. 6 ; 18.

2013 2014

解答题

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19.解(Ⅰ)设公差为 d,由题意得 ?

?4a1 ? 6d ? 14 ? 2 ?? a1 ? 2d ? ? a1 ? a1 ? 6d ? ?

解得 d=0(舍)或 d=1,所以 a1 ? 2 故 an ? n ? 1 (Ⅱ)

1 1 1 1 ? ? ? an an ? n ? 1?? n ? 2 ? n ? 1 n ? 2

所以 Tn ? 所以 T2012
20.

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 503 ? 1007

21. (1)? { Sn }是等差数列, 2 S1 ?

S1 ? S2 .

又2a2 ? a1 ? a3 ,? 2 a1 ? a2 ? a1 ? 3a2 , 平方得 3a3 ? a2 ? 2 3a1 a2 , 即( a2 ? 3a1 ) 2 ? 0,? a2 ? 3a1 , ? d ? S 2 ? S1 ? 2 a1 ? a1 ? a1 , 即 S1 ? d , ? S n ? S1 ? (n ? 1)d ? nd , S n ? n 2 d 2
n ? 2时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 d 2 ? (n ? 1) 2 d 2 ? (2n ? 1)d 2 且对n ? 1成立, ? an ? (2n ? 1) d 2
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(2)由 Sm ? Sn ? cSk 得m ? n ? ck 即c ?
2 2 2

m2 ? n 2 k2

?

m 2 ? n 2 9(m 2 ? n 2 ) 9(m 2 ? n 2 ) ? ? 2 , k2 ( m ? n) 2 m ? n 2 ? 2mn

? 2mn ? m 2 ? n 2 (m ? n) m 2 ? n 2 9(m 2 ? n 2 ) 9(m 2 ? n 2 ) 9 ? ? 2 ? 2 2 2 k ( m ? n) m ? n ? 2mn 2 9 9 ? c ? , c的最大值为 . 2 2 ?
22.因为 ?an ? 为等差数列,设公差为 d ,由 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C ,

1 得 a1 ? (n ? 1)d ? na1 ? n(n ? 1)d ? An 2 ? Bn ? C , 2 1 d 即 ( d ? A)n2 ? (a1 ? ? B)n ? (a1 ? d ? C ) ? 0 对任意正整数 n 都成立 2 2
?1 ? 2 d ? A ? 0, ? 1 ? 所以 ?a1 ? d ? B ? 0, 所以 3A ? B ? C ? 0 . 2 ? a1 ? d ? C ? 0, ? ? ?
23. 【解】(1)因为 an ? N? ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾,

若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1≥a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2 于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下:
an ?1 ? an ? n≥2 时, an ? an ?1 ,所以 an≥an?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)
? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an ?1 ? 1 ? (an ? 1) ,

即 cn?1 ? cn≥an?1 ? an ,由题设, 1 an?1 ? an ,又 an?1 ? an≥ , ≥ 1 所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列
24. 解:(Ⅰ)由于 3 ? 1 和 3 ? 1 都不属于集合 0,1,3 ,所以该集合不具有性质 P ;

?

?

由于 2 ? 0 、4 ? 0 、6 ? 0 、4 ? 2 、6 ? 2 、6 ? 4 、0 ? 0 、2 ? 2 、4 ? 4 、6 ? 6 都属于集合 ?0,2,4,6?, 所以该数集具有性质 P (Ⅱ)①? A ? {a1 , a 2 ,? ? ?, a8 } 具有性质 P ,所以 a8 ? a8 与 a8 ? a8 中至少有一个属于 A ,
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由 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a8 ,有 a8 ? a8 ? a8 ,故 a8 ? a8 ? A ,? 0 ? a8 ? a8 ? A , 故 a1 ? 0 ②? 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a8 ,? a8 ? a k ? a8 ,故 a8 ? a k ? A(k ? 2,3,? ? ?,8) . 由 A 具有性质 P 知, a8 ? a k ? A(k ? 2,3,? ? ?,8) , 又? a8 ? a8 ? a8 ? a7 ? ? ? ? ? a8 ? a 2 ? a8 ? a1 ,

? a8 ? a8 ? a1 , a8 ? a7 ? a2 ,? ? ?, a8 ? a2 ? a7 , a8 ? a1 ? a8 ,
即 ai ? a9?i ? a8 (i ? 1,2,? ? ?,8) ①

由 a 2 ? a7 ? a8 知, a 3 ? a 7 , a 4 ? a 7 ,,, a 7 ? a 7 均不属于 A , 由 A 具有性质 P , a 7 ? a 3 , a 7 ? a 4 ,,, a7 - a7 均属于 A ,

? a7 ? a7 ? a7 ? a6 ? ? ? a7 ? a4 ? a7 ? a3 ? a8 ? a3 ,而 a8 ? a3 ? 6 , ? a 7 ? a 7 ? 0 , a7 ? a6 ? a 2 , a7 ? a5 ? a3 ,, a7 ? a3 ? a5
即 ai ? a8?i ? a7 (i ? 1,2,? ,7) ② 由①②可知 ai ? a8 ? a9?i ? a8 ? ( a7 ? ai ?1 )(i ? 1,2,? ,8) , 即 ai ? ai ?1 ? a8 ? a7 ( i ? 2,3,? ? ?,8 ).故 a1 , a 2 ,? , a8 构成等差数列
25. (1)设公差为 d ,则 a2
2 2 2 2 ? a5 ? a4 ? a3

,由性质得 ?3d ( a4

? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因为 d ? 0 ,

所【解析】以 a4

? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5 d ?0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?

7?6 d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 , 2

d ? 2 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 7 ,前 n 项和 S n ? n 2 ? 6n 。
(2)

am am ?1 ( 2m ? 7 )( 2m ? 5 ) a a ( t ? 4 )( t ? 2 ) 8 ? ?t ? ?6, , 2m ? 3 ? t , m m ?1 ? 令 am ? 2 ( 2m ? 3 ) am ? 2 t t

因为 t 是奇数,所以 t 可取的值为 ?1 ,当 t

8 ? 1 , m ? 2 时, t ? ? 6 ? 3 , 2 ? 5 ? 7 ? 3 ,是数 t 8 ? 6 ? ?15 ,数列 ?an ? 中的最小项是 ?5 ,不符合。 t



?an ? 中的项; t ? ?1, m ? 1 时, t ?

所以满足条件的正整数 m ? 2 。
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