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福建省福州市第八中学2016届高三数学上学期第一次质量检测考试试题 文



福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第一次质量检查 数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 2015.8.28 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1、设全集 U ? R ,集合 A ? y y ? x ? 2 , B ? x y ? log 2 ? 3 ? x ?

,则 ? CU A ? ? B ?
2

A. C.

? x ?2 ? x ? 3? ? x x ? 3?

?

?

?

?

B. D.

? x x ? ?2? ? x x ? ?2?

2、已知命题 p: 已知实数 a, b ,则 a ? b ? 0 是 a ? 0 且 b ? 0 的必要不充分条件,命题 q : 在曲线 y ? cos x 上存在斜率为 2 的切线,则下列判断正确的是 A. p 是假命题 B. q 是真命题 C. p ? (?q ) 是真命题 D. (?p ) ? q 是真命题 3、从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离小于该正方 形边长的概率为 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 4、已知向量 m=(λ +1,1),n=(λ +2,2),若(m+n)⊥(m-n),则 λ = A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
2 5、函数 y ? log 0.4 – x ? 3x ? 4 的值域是

?

?

A.(0,–2] B.[–2,+∞) C.(–∞,–2] D.[2,+∞) 6、若将函数 f(x)=sin 2x+cos 2x 的图像向右平移 φ 个单位,所得图像关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是 π π 3π 3π A. B. C. D. 8 4 8 4 7、若 l , m, n 是不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题正确的是 A. ? / / ? , l ? ? , n ? ? ? l / / n B. l ? n, m ? n ? l / / m C. l ? ? , l / / ? ? ? ? ? D. ? ? ? , l ? ? ? l ? ? 8、已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2= ? A.-6(1-3 )
2
-10

4 ,则{an}的前 10 项和等于 3
C.3(1-3 )
-10

B.(1-3 )
2 2

10

D.3(1+3 )

-10

9、已知双曲线 ax – by ?( 的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,它的一个 1 a>0,b>0) 焦点在抛物线 y ? –4 x 的准线上,则双曲线的方程为

4 2 4 2 2 2 y =1 C. 12x –4y =1 D. x – 4 y2 ? 1 3 3 ? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? 10、已知 f ? x ? ? ? 2 ,不等式 f ? x ? a ? ? f ? 2a ? x ? 在 ? a, a ? 1? 上恒成 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 立,则实数 a 的取值范围是
A. 4x –12y =1
2 2

B. 4x –

2

-1-

A. ? ??, ?2?

B. ? ??, 0 ?
2

C. ? 0, 2 ?

D. ? ?2,0 ?

11、如图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在 的区间是 A. ( ) B. (1,2) D. (2,3)

C. ( ,1)

12、已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? 2 x , x ? 0 ,若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 ln( x ? 1 ), x ? 0 ?
D.[-2,0] .

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。
x 13、已知函数 f (2 ) 的定义域为[-1,1],则 f ( x) 的定义域为

14、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,给出以下四个结论: ① D1C ∥平面 A1 ABB1 ; ③AD⊥平面 D1 DB ; 其中正确结论的序号是 ② A1 D1 与平面 BCD1 相交; ④平面 BCD1 ⊥平面 A1 ABB1 . .

15、已知一扇形的圆心角为 ? (? ? 0) ,所在圆的半径为 R,若扇形的周长是一定值 C,该 扇形的最大面积为 .

16 、 f ( x), g ( x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ?( x) g ( ? x)

,且 f ( ?x) g ?( x ) g 0(?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 12 分)设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足 2 ?x -x-6≤0, ?
? 2 ?x +2x-8>0. ?
2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 18、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a ,
2

(1)若 a =2 ,求 f ( x) 在区间 ?0,3? 上的最小值; (2)若 f ( x) 在区间 ?0,1? 上有最大值 3 ,求实数 a 的值. 19.(本小题满分 12 分)已知 f ( x ) ? (1 ? (1)若 tan ? ? 2 ,求 f (? ) 的值;
-2-

1 ? ? ) sin 2 x ? 2 sin( x ? ) sin( x ? ) tan x 4 4

(2)求函数的最小正周期,并求当 x ?

?? ? ? 时, f ( x ) 的取值范围. , ? ?12 2 ? ?

20、(本小题满分 12 分)如图所示的长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形,O 为 AC 与 BD 的交点,BB1= 线段 B1D1 的中点. (1)求证:BM∥平面 D1AC; (2)求三棱锥 D1﹣AB1C 的体积. ,M 是

21 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 F1 , F2 分 别 为 椭 圆

C:

x2 y2 3 )到 F1,F2 两点的距 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,若椭圆 C 上的点 A(1, 2 2 a b

离之和等于 4. ⑴写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ⑵过点 P(1,

1 )的直线与椭圆交于两点 D、E,若 DP=PE,求直线 DE 的方程; 4

⑶过点 Q(1,0)的直线与椭圆交于两点 M、N,若△OMN 面积取得最大,求直线 MN 的方 程. 22、(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x +2ax﹣(2a+3)x+a , (a∈R) . (Ⅰ)当 时,求 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程;
3 2

(Ⅱ)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上有极小值,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 x∈[﹣1,1]时,恒有 f(x)>0 成立,求实数 a 的取值范围.

稿



福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第一次质量检查

-3-

数学(文)试卷参考答案及评分标准 一.DCBBB CCCDA 二、13、 CD 16、 (??, ?3) ? (0,3)

C2 ?1 ? ; 14、①④; 15、 ; , 2 ? 16 ?2 ? ?
2 2

三、17、解:(1)由 x -4ax+3a <0,得(x-3a)(x-a)<0, 当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 2 ? ?x -x-6≤0 ? 由 2 ,得 2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ?x +2x-8>0 ? 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. ……………………6 分 (2)p 是 q 的必要不充分条件,即 q? p 且 p q,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 A B, 又 B=(2,3],当 a>0 时,A=(a,3a); a<0 时,A=(3a,a). ?a≤2, ? 所以当 a>0 时,有? 解得 1<a≤2; ?3<3a, ? 当 a<0 时,显然 A∩B=?,不合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 1<a≤2.……………………12 分
2 2 18、解: (1)若 a ? 2 ,则 f ( x) ? ? x ? 4 x ?1 ? ?( x ? 2) ? 3

函数图像开口向下函数的对称轴为 x ? 2 , 所以函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上是增函数,在区间 [2,3] 上是减函数, 有又 f (0) ? ?1 , f (3) ? 2 ? f ( x)min ? f (0) ? ?1……………………5 分 (2)由题意得:函数的对称轴为 x ? a 当 a ? 0 时,函数在 f ( x) 在区间 [0,1] 上是减少的,则

f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 3 ,即 a ? ?2 ;
当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在区间 [0, a ] 上是增加的,在区间 [a,1] 上是减少加的,则

f ( x)max ? f (a) ? a2 ? a ? 1 ? 3 ,解得 a ? 2或 ? 1 ,不符合;
高三数学(文)第一次月考试卷答案 f ( x) 在区间 [0,1] 上是增加的,则 第 1 页 共 4 页 当 a ? 1 时,函数

f ( x)max ? f (1) ? ?1 ? 2a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ;
所以 a ? ?2 或 a ? 3 . ……………………12 分

19、解: (1)

-4-

f (? ) ? sin ? ? cos? ? cos2 ? sin ? ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? tan? ? 1 3 ? ? tan2 ? ? 1 5
……………………6 分 (2)

f ( x ) ? sin x ? cos x ? cos2 x 1 1 ? (sin 2 x ? cos2 x ) ? 2 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2
∴ f ( x ) 的的最小正周期为 ? ……………………9 分

?? ? ? ?x?? , ? ?12 2 ? ? ? 5? 5? ? ?2x ? ? ? , ? 4 ? 12 4 ? ? sin(2 x ?

?

? 2 ? ) ? ?? ,1? 4 ? 2 ?

? 2 ? 1? ? f ( x ) ? ?0, ? 2 ? ?
? 2 ? 1? ?0, ? 2 ? ∴ f ( x ) 的取值范围是 ? ……………………12 分
20、 (Ⅰ)连接 D1O,如图, ∵O、M 分别是 BD、B1D1 的中点,BD1D1B 是矩形,∴四边形 D1OBM 是平行四边形, ∴D1O∥BM. ∵D1O ? 平面 D1AC,BM?平面 D1AC,∴BM∥平面 D1AC.……………………5 分 (Ⅱ)连接 OB1,∵正方形 ABCD 的边长为 2,
2 2 2

,∴

,OB1=2,D1O=2,

则 OB1 +D1O =B1D1 , ∴OB1⊥D1O. 又∵在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AC⊥BD, AC⊥D1D, 且 BD∩D1D=D, ∴AC⊥平面 BDD1B1,又 D1O ? 平面 BDD1B1,∴AC⊥D1O,又 AC∩OB1=O, ∴D1O⊥平面 AB1C,即 D1O 为三棱锥 D1﹣AB1C 的高. ∵ ∴ ,D1O=2 . ……………………12 分

-5-

21、解⑴椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.;

3 1 2 2 又点 A(1, ) 在椭圆上,因此 2 ? 4 ? 1. 得 b =1,于是 c =3; 2 2 2 b
所以椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1, 焦点F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). ,……………………3 分 4 ⑵∵P 在椭圆内,∴直线 DE 与椭圆相交, ∴设 D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆 C 的方程得
2

3

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得 2(x1-x2)+4×2×
∴DE 方程为 y-1= -1(x-

1 (y1-y2)=0,∴斜率为 k=-1 4

1 ),即 4x+4y=5;……………………7 分 4 2m 3 , y1y2=- 2 ,且△>0 成立. 2 m ?4 m ?4

(3)直线 MN 不与 y 轴垂直,∴设 MN 方程为 my=x-1,代入椭圆 C 的方程得 (m +4)y +2my-3=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2=2 2

又 S△OMN= S△OMN=

4m 2 ? 12(m 2 ? 4) 2 m 2 ? 3 1 1 2 |y1-y2|= × = ,设 t= m ? 3 ≥ 3 ,则 2 2 m ?4 m ?4 2 2
,(t+ )′=1-t >0 对 t≥ 3 恒成立,∴t= 3 时 t+ 取得最小,S△OMN 最大,
-2

2 1 t? t

1 t

1 t

此时 m=0,∴MN 方程为 x=1 22.解(Ⅰ)当 时,

……………………12 分 ,

高三数学(文)第一次月考试卷答案 第 3 页 共 4 页 2 ∴f′(x)=3x +x﹣4,∴f′(0)=﹣4,又 f(0)= , ∴切线方程为
2



……………………4 分

(Ⅱ)f′(x)=3x +2ax﹣(2a+3)=(3x+2a+3) (x﹣1) 令 f′(x)=0,得 x=1 或 ,

要使函数 f(x)在区间(1,+∞)上有极小值点, 必须有 ,

解得 a<﹣3; ……………………8 分 (Ⅲ)由题意知,即使 x∈[﹣1,1]时, (f(x) )min>0. 讨论①当 , 即 a ≤ ﹣ 3 时 , f ( x ) 在 x ∈ [ ﹣ 1 , 1] 上 单 调 递 增 , ,得 a>﹣1 或 a<﹣2, 由此得:a≤﹣3; ②当 ,即﹣3<a<0,

-6-

f(x)在

为增函数,在

上为减函数,

所以(f(x) )min=min{f(﹣1) ,f(1)}, 得 由此得﹣3<a<﹣2; ③当 所以 由①②③得实数 a 的取值范围为 a>2 ,即 a≥0,f(x)在 x∈[﹣1,1]上为减函数, 得 a>2 或 a<﹣1,由此得 a>2; ……………………14 分 解得 a>2 或 a<﹣2,

-7-



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