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电动力学-第2.3节


第二章 第三节

拉普拉斯方程 分离变量法

Laplace's equation, method of separate variation
对于具有一定对称性的静电问题,可以试探求解。唯 一性定理保证解的正确性和唯一性。

如果静电问题多式多样,而且如果稍微复杂,则试探 解法不适用了,因此我们有必要多开辟一些求解方法。
电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导 体的表面上。因此,在没有电荷分布的区域里, Poisson's equation 就转化为 Laplace's equation,即

? 2 ? ??? ? ? ? ?0 ?
2

? ?0

产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上,它 们的作用通过边界条件反映出来: ① 给定 ? S ?? ?? ② 给定 或导体总电量 ? ? ?? ds ? Q ?n S ?n 所以,讨论的问题归结为: ①怎样求解(通解)Laplace's equation. ②怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。 Laplace's equation可以用分离变量法求通解,其求解 条件是: ① 方程是齐次的。 ② 边界应该是简单的几何面。 (能用分离变量法条件:求区无电荷,边界规则)

一、分离变量法求Laplace's equation的通解 1、在直角坐标系中

设 ? ( x , y, z ) ? X ( x )Y ( y ) Z ( z ) 在数学物理方法中,该方程的通解为 ? ( x , y , z ) ? ( A1 cos k x x ? A2 sin k x x )

? 2? ? 2? ? 2? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?0 ?x ?y ?z

? ( B1 cos k y y ? B2 sin k y y ) ? (C1 cos k z z ? C 2 sin k z z )
(A、B、C为待定系数) 或者写成

? ( x, y, z ) ? e
2 (kz

? ik x x ? ik y y ? ikz z

e

e

?

2 kx

2 ? ky)

2、在柱坐标系中 1 ? ?? 1 ? 2? ? 2? ? 2? ? (r ) ? 2 2 ? 2 ? 0 r ?r ?r r ?? ?z ? (r ,? , z ) ? R(r )?(? ) Z ( z ) 设 该方程的通解为 ? ( r ,? , z ) ? A1J m ( kr ) ? A2 N m ( kr )

? B1 cos(n? ) ? B2 sin(n? ) ? C1 cosh(kz ) ? C 2 sinh(kz ) 其中,Jm为m阶第一类贝塞尔函数,Nm为m阶第二类 贝塞尔函数。 n kr m ? 2 n ? ( ?1) ( ) 2 J m ( kr ) ? ? (?为伽马函数) n? 0 n! ?( m ? n ? 1)
N m ( kr ) ? cos(m ? )J m ( kr ) ? J ? m ( kr ) sin(m ? )

?

?

??

?

?

●如果考虑与 z 轴无关(k=0)情况,并讨论的区域 是 0 ? ? ? 2? ,故通解为

? ( r ,? ) ? A0 ? B0 ln r ? ? ( An r n ? Bn r ? n ) cos(n? )
?

?

n ?1

? (C n r

n ?1 ?

n

? Dn r

?n

) sin(n? )

这里A,B,C,D为待定系数。

3、在球坐标系中
1 ? 2 ?? 1 ? ?? 1 ? 2? ? 2? ? 2 ( r )? 2 (sin? )? 2 2 ?0 2 ?r ?? r ?r r sin? ?? r sin ? ??



? (r ,? ,? ) ? R(r )Y (? ,? )

其通解为

? ( r ,? , ? ) ?
?

n,m

? ( Anm r
n,m

n

?

Bnm r

m ) P (cos? ) cos(m ? ) n ?1 n m ) Pn (cos? ) sin(m ? ) n ?1

? (C nm r ?
n

Dnm r

m 这里 Pn (cos? ) 为缔合勒让德(Legendre)函数。

●对于具有轴对称的问题,m=0 (取此轴为极轴),且 Bn n ? ( r ,? ) ? ? ( Anr ? n?1 ) Pn (cos? ) r n? 0

这里 Pn (cos? ) 为勒让德函数, An 、Bn 为待定系数。
●对于球对称的问题,m=0 , n=0。且

B ? (r ) ? A ? r
A、B为待定系数。 1)在没有自由电荷分布的空间,电势满足拉普拉斯方 程; 2)其通解由(3.2)和(3.3)给出;

3)余下的问题就是,由边界条件来确定通解中的常数 了――得出满足边界条件的特解。

二、利用边界条件定解

说明两点: 第一,如果考虑问题中有i 个区域(均匀分布),必 须有i个相应的Laplace‘s equation 。 第二,在每个区域的交界面上,应该满足边值关系 ?? i ? ? j ? (在Sij面上) ? ?? ?? j ?? i i ? ? j ? ?n ?n 边界条件: ?? ? S或
?n
S

及导体的总电荷

?? ? ? ?? dS ? Q S ?n

三、举例说明定特解的方法

[例1]一个内径和外径分别为R2 和R3 的导体球壳,带电 荷为Q。同心地包围着一个半径为R1 的导体球(R1<R2), 使半径R1 的导体球接地,求空间各点的电势和这个导体 球的感应电荷。 [解]: Q R2 R1 第一步:分析题意,找出定解条件 R3 根据题意,具有球对称性,电 势不依赖于极角 ? 和方位角 ? , 只与半径r有关。 ? (r ,? ,? ) ? ? (r ) 即 故定解条件为:
? 2? 2 ? 0
? 2?1 ? 0 r ? R3 ???

R1 ? r ? R2

? 2?

边界条件: (i)因为导体球接地,有 ?2 ? ?1
r ? R1

r ??

?0

(3)

(ii)因整个导体球壳为等势体,有 ?2 ? ?1
r ? R2 r ? R3

(4)

(iii)球壳带电量为Q,根据Gauss theorem
? ? Q ?? E ? dS ?
S

得到

?0
?? 2 ?r r d? ?
2

?

r ? R3

??

?? 1 ?r

r d? ?
2

r ? R2

??

Q

?0

(5)

第二步,根据定解条件确定通解和待定常数 由方程式(1)、(2)可看出,电势不依赖于φ,取 n=0;不依赖于θ,取 Pn (cos? ) ? 1 ,

故得到导体球壳内、外空间的电势: B ?1 ? A ? r ? R3 r D ?2 ? C ? R1 ? r ? R2 r 由(3)式得 当r ? ?, ?1 ? 0. ? A?0 D 当r ? R1 , ? 2 ? 0. ? C?? R1 从而得到 B ?1 ? r 1 1 ? 2 ? D( ? ) r R1 由(4)式得 B 1 1 ? D( ? ) R3 R2 R1

(6) (7)

(8) (9)
(10)
(11)

(12)

由(5)式得

B ? 4? ? D ? 4? ?
B?D? Q 4?? 0

Q

?0
(13)



将(13)式代入(12)式,即得
D? Q 4?? 0 R3 1 1 1 (? ? ? ) R1 R2 R3

令 因此得到:
A ? 0,

Q Q1 ? ? 1 1 1 R3 ( ? ? ) R1 R2 R3

B?

Q 4?? 0

?

4?? 0

Q1

, C??

4?? 0 R1

Q1

,

D?

4?? 0

Q1

将A、B、C、D系数代入到(6)、(7)式,即得电势的解:
Q1 B Q ?1 ? ? ? r 4?? 0r 4?? 0 r Q1 Q1 D ?2 ? C ? ? ? ? r 4?? 0 R1 4?? 0r (r ? R3 ) ( R1 ? r ? R2 )

导体球上的感应电荷为

? ? Q1 1 1 ? 2 ( ? )? r d? ? ? ? 0 ?? r 2d? ? ? ? 0 ?? ?r ? 4?? 0 r R1 ? ?r ? ? r ? R1 r ? R1 总结解题思路,好好 ? Q1 1 2 ? ? ?? 0 ?? ? ? r d? ? 理解解题步骤,特别 2 注意边界条件。如果 ? ? 4?? 0 r ? r ? R1 ? 通解中的常数不能完 Q ? Q1 ? ? 全确定,一般可能是 1 1 1 边界条件没有全部挖 R3 ( ? ? ) R1 R2 R3 掘出来。

?? 2

[例2]介电常数为ε的均匀介质球,半径为R,被置于均匀 ? 外场 E0 中,球外为真空。求电势分布。 [解]:外电场将使介质球极化,假定介质球的尺度远小于 ? 产生原外场 E 0的电荷分布线度,则球内和球外空间的总 ? ? 电场,均是原外场 E 0与介质球极化电荷产生的电场 E ? 叠 加的结果。简单媒质中的极化强度与外场方向相同。 ? ? ? 第一步:根据题意,找出定解条件 E ? ?0E ? P 由于这个问题具有轴对 ? ? 称性,取极轴z沿外电场 E0 E0 R 方向,介质球的存在使空 z 间分为两个均匀区域—— 球内、球外,两区域内都 没有自由电荷。 因此电势 ? 满足Laplace’s equation。以? 代表球外 1 区域的电势,? 代表球内区域的电势,故
2

? ?1 ? 0
2

(1)
(2)
(3)
(4)
r?R

( r ? R)

?1

r ??
r?R

? ? E0r cos? ? ? E0rP1 (cos? )
? ?2
r?R

?1
?0

??1 ?n
r?R

??

?? 2 ?n

( r ? R)

?2

? 2? 2 ? 0
r ?0

(5)
(6)

? 有限值

?2
?

?? 2 ?n

r?R

? ?1
r?R

r?R

(7)
?n (8)
r?R

? ?0

??1

第二步:根据定解条件确定通解和待定常数 由于问题具有轴对称性,即 ? i 与 ?无关,故 bn n ?1 ? ? (anr ? n?1 ) Pn (cos? ) ( r ? R) (9) r n dn n ? 2 ? ? (cnr ? n?1 ) Pn (cos? ) ( r ? R) (10) r n 由(2)式得 ? ? 1 n ?1 ? ?? (an r ? bn n?1 ) Pn (cos? )? r ?? r ?n ? r ??

? ? E0rP1 (cos? )
比较两边系数,得

a1 ? ? E0

an ? 0. (n ? 1)

由(6)式得
? ? 1 n ?2 ? ?? (cn r ? d n n?1 ) Pn (cos? )? ? 有限值 r ?0 r ?n ? r ?0 从中可见 d n ? 0 故有: 1 ?1 ? ? E0rP1 (cos? ) ? ? bn n?1 Pn (cos? ) (11) r n ? 2 ? ? cnr n Pn (cos? ) (12)
n

再由(3)、(4)式或者(7)、(8)式得到:
? E0 RP1 (cos? ) ? ? bn
n

? ? E0 P1 (cos? ) ? ? ( n ? 1)bn n? 2 Pn (cos? ) ? ? cn R n?1 Pn (cos? ) ?0 n R n
1

R

Pn (cos? ) ? ? cn R n Pn (cos? ) n?1
n

1

比较 P (cos? ) 的系数,得 n b1 ? E0 R ? 2 ? c1 R R n ?1 2b1 ? ? E0 ? 3 ? c1 ?0 R bn ? cn R n n?1 R n ?1 bn ? ? ( n ? 1) n? 2 ? ncn R n?1 ?0 R 由(13)、(14)式给出 ? ? ?0 ? 3? 0 3 b1 ? E0 R c1 ? E0 2? 0 ? ? 2? 0 ? ? 由(15)、(16)式给出 bn ? 0 ,

(13)
(14)

(15)
(16)

(17)

cn ? 0. (n ? 1)

(18)

由此得到电势为

▲相应地,球内、外的电场强度为

? ? ?0 3 1 ?1 ? ? E0r cos? ? R E0 2 cos? 2? 0 ? ? r 3? 0 ?2 ? ? E0r cos? 2? 0 ? ?

(r ? R)
( r ? R)

? E1 ? ???1

? ? ? ?0 3 1 ? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? er ? e? ?? ? E0r cos? ? R E0 2 cos? ? ? r ?? ? ? 2? 0 ? ? ? ?r r ? ?

? ? ?0 3 2 ? ? ? ? E0 (cos er ? sin?e? ) ? R E0 cos? 3 er 2? 0 ? ? r ? ? ?0 3 1 ? ? R E0 sin? 3 e? 2? 0 ? ? r

其中

? ? ? (cos?er ? sin?e? ) ? e z

第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点 的偶极子在球外产生的电场,其电偶极矩为 ? ? ?0 3 ? ? p ? 4??0 R E0 2? 0 ? ? 因此,球外区域的电场为: ? ? ? ? 1 ? 3( p ? r )r p ? 而 E? ? ? 3? ? r5 4?? 0 ? r ? 同理得到 ? 3? 0 ? ? ? ? 1 ? ? ?? e? ?? ? E0r cos? ? E2 ? ??? 2 ? ?? er ? ? r ?? ?? 2? 0 ? ? ? ?r ? ?

? ? ? E1 ? E0 ? E ?

?

2? 0 ? ?

3? 0

? ? E0 (cos?er ? sin?e? ) ?

2? 0 ? ?

3? 0

? E0e z

2? 0 ? ? 由此可见,球内的场是一个与球外场平行的恒定场。 ? E0 而且球内电场比原则外场 为弱,这是极化电荷造 成的。 ▲在球内总电场作用下,介质球的极化强度的 ? ? ?0 ? ? ? ? P ? ? e? 0 E2 ? (? ? ? 0 ) E2 ? 3? 0 E0 2? 0 ? ? ▲介质球的总电偶极矩为 ? 4 3 ? ? ? ?0 3? p ? ?R P ? 4?? 0 R E0 3 2? 0 ? ?

? E2 ? ??? 2 ?

3? 0

? E0

该题的求解思路是非常明朗的! 1、坐标原点:介质球心,Z轴正向为电场方向(极轴)

2、分析问题的性质:球内、球外区域满足拉普拉斯方 程;分析通解的形式(为什么是(3.3)而不是(3.2)

3、最重要的一步!根据边界条件求待定常数。 边界条件如何挖掘? (1)注意在特殊点的值——比如无穷远处、坐标原点等;
(2)注意在界面的上数值关系——电势连续,界面两侧电 位移关系 D2n ? D1n ? ? (? f ) 在整个解题过程中,我们要将R理解为变量(建议同 学们用表示) 4、对结果的讨论(加深理解) 1)介质球内的电场(小于 E0 ),道理!极化电荷电偶极矩. 2)球外区域的电势=匀强电场电势+极化电荷(电偶极矩) 产生的电势。

B 也不是 ? ( r ) ? A ? 的形式?) r

? [例3] 半径为R0的导体球置于均匀外电场E 0 中,求电势和

导体上的电荷面密度。 [解]:该题的求解过程与上一例题思路完全一样。 令导体球外部和内部区域的电势分别为 ?1,? 2 。 ?2 ? const ? 2? ? 0 有
1

由于是轴对称问题,取解的形式为:
?1 ? ? ( a n r ?
n n

bn r

n ?1

) Pn (cos? )

( r ? R0 )

如何确实待定常数? (1)由 ?1 r ( 很大) ? ? E0r cos? (选择没有放入导体球前球心处 ? 的电势为零——P42[例1]),由此得到 E

a1 ? ? E0

? ? ? ( P ) ? ?0 ? E ? x

an ? 0

( n ? 1)

? x

0

?

?0 ? 0

因此解变成

?1 ? ? E0r cos? ? ?
n

bn r

n ?1

Pn (cos? )

? ? E0r cos? ?
(2)由? 2
R0

b0 r

r r 2 ? ? 2 ? const ,分析出:

?

b1

cos? ? 2

b2 1
3

( 3 cos2 ? ? 1) ? ?

b0 ? b2 ? b3 ? ? ? 0

3 b1 ? E0 R0

有了这些结论,结果就出来了。

?1 ? ? E0rcos? ?

3 E0 R0

?? ? ? ?? 0 ? 3? 0 E0cos? ?r r ? R0

r2

cos?

?2 ? 0

[例4]导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场。 ? [解]: 用柱坐标系,取z轴沿尖边 e? ? 电场存在于 0 ? ? ? 2? ? ? 的 ⊙ e ? r 空间,假设电场沿z轴具有平 ? ez 移对称性,则取垂直于z轴的 ⊙ 平面如图所示。 据数学物理方法,有方程: 1 ? ?? 1 ? 2? ? 2? ? 2? ? (r ) ? 2 2 ? 2 ? 0 r ?r ?r r ?? ?z

r

z

?

与z无关下,方程的通解为:
? n?1

1 ? ?? 1 ? 2? (r ) ? 2 2 ? 0 r ?r ?r r ??

据题意已选定参考点

? ( r ,? ) ? A0 ? B0 ln r ? ? ( Anr n ? Bnr ? n ) cos(n? )
?
n ?1

(C n r n ? Dn r ? n ) sin(n? ) ?

?

根据具体条件确定常数 在导体尖劈的 ? ? 0 面上 ? ? ?0 ? V
? ?=0 ? A0 ? B0 ln r ? ? ( Anr n ? Bnr ? n ) ? V
?



A0 ? V

B0 ? 0
?

n?1

An ? 0

Bn ? 0

( n ? 0)

此时方程的通解简化为
? ( r ,? ) ? V ? ? (C nr n ? Dnr ? n ) sin(n? )

当 r ? 0 时,因电势? 为有限值,
? r ?0 ? V ? ? (C nr n ? Dnr ? n ) sin(n? ) ? 有限值
n?1 ?

n?1



Dn ? 0

拉普拉斯方程的通解可写为:
? n ?1

? ( r ,? ) ? V ? ? C n r n sin(n? )

在导体尖劈的? ? 2? ? ? 面上 ? ? ? 2? ?? ? V
? ? ? 2? ?? ? V ? ? C nr n sin(2?n ? n? ) ? V
n?1 ?

2?n ? n? ? k? 有 sin(2?n ? n? ) ? 0 在尖角附近 r ? 0 ,上式求和式的主要贡献来自r的 最低次幂项,即k=1项 n ? ( r ,? ) ? V ? C n r 1 sin(n1? ) 1 ?? n ?1 Er ? ? ? ? n1C n r 1 sinn1? 1 ?r 电场为 1 ?? n1 ?1 E? ? ? ? ? n1C n r cosn1? 1 r ?? 尖劈两面上的电荷面密度为 ? ? ?0 ? ? 0 En上 ? ? 0 E?上 n ?1 ? ?? 0 n1C n r 1

k? nk ? 2? ? ? ( k ? 1,2,?)

? ? ? 2? ?? ? ? 0 En下 ? ?? 0 E?下

1

解题步骤 1、选择坐标系和电势参考点: 坐标系选择主要根据区域中分界面形状; 参考点主要根据电荷分布是有限还是无限。 2、分析对称性,分区写出拉普拉斯方程在所选坐标系中 的通解。 3、根据具体条件确定常数。 两种边界条件: 1)外边界条件:电荷分布在有限区域 ? ? ? 0 ? 导体边界可视为外边界: S =常量(接地 ? S ? 0), 或给定总电荷Q,或给定 ? 。 2)内边界条件――界面边值关系:介质分界面上 ?? 2 ??1 ?1 ? ? 2 ?2 ? ?1 ? ?? f
S S

?n

S

?n
?n

表面无自由电荷时:

?2

?? 2 ?n
S

? ?1

??1

S

S

[习题1]半径为R的带电球面,面电荷密度为 ? ? ? 0 cos ? ? (? 0为常量, ? 为极角),球外充满介电常数为 ? 的均 ? ?cos? 0 cos ?? 匀介质(如下图),求球内外的电势和电场强度。 [解]:如题图所示,设球内外的 电势分别为?1 , ?2,因球内外电 荷密度均为零,所以电势满足 的方程为拉普拉斯方程:

? ?1 ? 0
2 2

? ?2 ? 0

?r ? R? ?r ? R?

由对称性及边界条件,方程 1 ? ? n ?1 ? ? ? an r ? Bn n ?1 ? Pn ? cos ? ?, 的解可以写为: r ? ?
1 ? ? n ?1 ? ? ? an r ? Bn n ?1 ? Pn ? cos ? ?, ?2 ? ? ? An r n ? bn 1?1 ? Pn ? cos ? ?. ? ? r ? ? rn ? ?

边界条件有:

r ? 0时,?1有限; r ? ?时,?2=0.

??1 ? ?2 ? r ? R ? , ? 边值关系为: ? ?? ??1 2 ? ?0 ? ?? 0 cos ? ? r ? R ? . ?? ?r ? ?r 应用前面的第一个边界条件: ?r ? 0时,?1有限,Bn ? 0 ? ?r ? ?时,?2=0, An ? 0 可以得到:
1 ? ? n n ?1 ? ? ? an r ? Bn n ?1 ? Pn ? cos ? ? ? ? an r Pn ? cos ? ?, r ? ? 1 ? 1 ? n ?2 ? ? ? An r ? bn n ?1 ? Pn ? cos ? ? ? ? bn n ?1 Pn ? cos ? ?. r ? r ?

代入边值关系中可以得到:

bn ? an R

2 n ?1

,
3

? n ? 0,1, 2,...?
1

?0 n 2n 2? b1 / ? a1? 0 R ? ? ? 0 R ; bn ? ? an R ? n ?1 ?0 n 1 2 n ?1 ? ? ? 0 R ; bn ? ? ? n ? 1 an R , ? n ? 1?

?0 3 , b1 ? R , an ? bn ? 0 ? n ? 1? 2? ? ? 0

?0 ?0 3 a1 ? , b1 ? R , an ? b 解得: 2? ? ? 0 2? ? ? 0 ?0 ?0 3 a1 ? , b1 ? R , an ? bn ? 0 ? n ? 1? 2? ? ? 0 2? ? ? 0

所以

? ?r ? ? ?E ? ??? ? ?? ? ? 00 r cos ??? ? ? 00 e , ? ?? ? 0 r ?0 ? 1 1 ?? ? cos ? ? ? ? EE1 ? ???1???? ?? 2? ? ? cos ? ??? 2? ? ? ezz, 1 ? ???1 ?? ? 0 ? 2? ? 0 ??22?? ??00 ?? 2? ? ? 00 ? 3 3 ? ?e ? ? ? ? r ?? ? 0 ? ? 0 R3 ? ?? ? 0 ? ? 0 R3 ? 3 ? r ? z r R3 cos ? ?? ? ?00R3 ? 3 ? r ? ezz ? ? ? ?? Ecos ? ? ? 2???? ?? ez? 00 R 2 cos ? ? ? ? ??? ? ?? , ??? ?? ? 3 E2 2 ??? ? 2? ? ? ? ? 0E2?? ? 2 22? ? ? 0 2? ? ? 0 r22 cos ? ?? ? 2? ? ? 0 ? r 3 r ? ?? 2? ? ? r r3 ? ? 0 ?2? ? ? 00 r? ? 0 ? ? 3 ? 2 ? ? ? 0 R ? 3 ? r ? ez ? ? 1 ? ? 0 R3 ? cos ? ? ? r ? 3 ez ? . ? 2 3 ? ?0 r r ? 2? ? ? 0 ? r ?
前式为球内区域的场强分布式,后者为球外区域的场 强分布式。

根据电场与电势的关系可以求出球内外的电场分布为:

? 0r ? r cos ? ? ? 0 ? ? 0 0 ?1 ? r ? ez ? , ? r ? ez , ? cos ? 1 ? 2? ? ? 0 2? ? ? 0 2 ? 0 2 ? 0 3 3 ? 0 R3 ? 0 R3 ? R cos ? ? R r ?e . ? ? 0 0 ?2 ? ? r ? ezz ? . ? ? 2 cos 3 2 ? 2 3 2? ? ? 0 r 2? ? ? 0 r 2 ? 0 r 2 ? 0 r

[习题4]均匀介质球(介电常数为? 1)的中心置一自由电 ? 偶极子 p f ,球外充满另一种介质(介电常数为? 2 ),求 空间各点电势和束缚电荷分布。 [解]: (1)? 1 与? 2 的边界为球面,故选球坐标系, 电荷分 布在有限区,选 ? r ?? ? 0

(2)设球内为?1,球外为? 2 。球外无自由电荷分布, ? 2? 2 ? 0 ,但球内有自由偶极子,不满足拉普拉斯 方程,但满足泊松方程,考虑偶极子使介质极化, 极化电荷分布在偶极子附近和球面上。自由偶极子 在介质中产生电势

?0 ?

? ? p f ?R

4??R

3

?

? ? p f ?R

4?? 0 R

? 3

? ? p p ?R

4??R

3

所以

? ?1 ? ? 0 ? ?1
? ? 2?1 ? 0

?0 ?
( R ? R0 )
? ?0 ?

? ? p f ?R 4??1 R 3 ? ? p f ?R 4?? 2 R 3

? ?1 满足

? ? 还可设 ? 2 ? ? 0 ? ? 2
? ? 2 满足
? ? 2? 2 ? 0

(?

? ? 2? 0 ? 0) ( R>R0 )

? ? ? ? (a R n ? ??1 n ? n 考虑轴对称: ? ?? ? ? (c R n ? ? 2 ? n ? n (3)确定常数 ? ? ? ? ??
1 0 1

bn

R dn R

n ?1

) Pn (cos? )

) Pn (cos? ) n ?1

? ? ?2 ? ?0 ? ?2

? ? ①R→0,?1有限, bn ? 0

?1? R ?0,近场 ? 0, ?1 ?
R→∞

? ? p f ?R 4??1R
3

? ? an R Pn (cos ? )
n n

?2 ? 0 ? Cn ? 0, ?2 ? 4?? 2 R ? ? p f ?R dn ?2 ? ? ? n?1 Pn (cos ? ) 3 4?? 2 R n R ②边值关系 ?? 1 R0 ? ? 2 R0 ? ? ??1 ??2 ??1 ?R ? ? 2 ?R R0 R0 ?
并注意到

? p f ?R

? ? p f ? R ? p f R cos? ? p f Rp1 (cos ? )

dn ? n ?? an R0 Pn (cos ? ) ? ? R n?1 Pn (cos ? ) n ?n 0 ? ?? p f cos ? ? ? na R n?1P (cos ? )? ? ? 2 p f cos ? ? ? (n ? 1) dn P (cos ? ) 1? n 0 n 2? 3 n?2 n ? 2? R03 2??1R0 R0 n ? 比较 Pn (cos? )的系数,得 ? ? 3 a1 ? d1 / R0 ? ? pf ?2 pf 2d1 ? ? ?1a1 ? ? ? ?2 3 ?? 3 3 2??1 R0 R0 n ? 1 ? 2? R0 ? (?1 ? ? 2 ) p f d1 ?d1 ? a1 ? 3 2??1 (?1 ? 2? 2 ) R0 ? ?

n ?1

?a n ? d n / R ? ? ?n? 1 a n R0n ?1 ? ?? 2 (n ? 1)d n / R0n ? 2 ?
2 n ?1 0

(4)电势解为

? p f cos ? (?1 ? ? ? ??1 ? 3 3 2 4??1 R 2?? (?1 ? 2? 2 )1 R0 4??1 R 2?? ? ? ? ? ? ? cos ? (? ? ? ) p cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) p f ?? R ppf f ??R 3 p? R ( 1 ? 2 p R ?? ? p f R ? ? ((?11 ? ?22))p fff ??R ?Rp f cos R?? R?1 f ? ? 0 ?R32 4?? R32 ? 2?? (? ? 2? ) R3? 1 3 3 2 ? 2? 2 )1 0 4?? 1R 2?? ((? ? 2? ))2 R 3 0 4? (? R? 2? 2? 4??11 1 2?? 1 11 ? 2?22 11 R0 ? 1 ?? 1R ? 2 2 )R ? ? ?? ? ? 3 p ?R ? p ?cos ? ? ? ? )?p f ?R p fcos ?f ((?1? ?? 2 )pp f cos ? ?R ?? ) 3 ?R R ? ) p f ?R ? p f ?1 3 2 f f ? 2 3 pRf ?? R0 R? 3 2? 2 )??32 ? 4?? ?R? ??2?? (? ? ???1 ? 2? 2R4? (? ? 2? R0R R 3 ? 4? ( 1 2 2? 2 ) R 42 ( ) R3 3 ) R 1 2? 2 )1? 0 R 4??2 R 2??1 (1 1 ? 2? 21)1 R0 ? 2 1 2) 1 ? ? ? ? ) p f ?R 3 p f ?R 3 p f cos ? ? ? R ? R0 3 3 2 2? 2 )1 R 4? (?1 ? 2? 2 ) R 4? (?1 ? 2? 2 ) R

? ? p f ?R

? ? (?1 ? ? 2 ) p f ?R

(5)球面上束缚(极化)电荷分布

?
?

?P ?? f ? ? ? en ? ( E2 ? E1 ) ? ?0
? P ? ? 0 ( E2n ? E1n )
? ?? 0 ?? 2 ?R
R ? R0

?f ?0

? ?0

?? 1 ?R
R ? R0

?P ?

6? 0 (? 1 ? ? 2 ) p f
3 4?? (? 1 ? 2? 2 ) R0

cos?

? [习题6]在均匀外电场 E0 中置入一自由电荷体密度为 ? f

的绝缘介质球(电容率 ),求空间各点的电势。 [解]: 设球内、外区域的电势为 ?1 , ?2 ,在两区域的电 势满足泊松方程的拉普拉斯方程,
?f ? ?1 ? ? ? 2?2 ? 0
2

?

(1)

边界条件: ?1
?2

r ?0 r ??
0

? 有限 ? ? E0 r cos ?
0

?1 |r ? R ? ?2 |r ? R
??1 ? ?R
r ? R0

??2 ? ?0 ?R

(2)
r ? R0

R0为介质球的半径,且设介质球没有放入时球心的电 势为零。

很明显,球内区域为自由电荷存在的区域,满足拉普 拉斯方程,怎么解呢?微分方程理论告诉我们,如果能 够找到非齐次微分方程的一个特解,那么: “非齐次微分方程的通解”=“非齐次微分方程的特解” +“对应齐次微分方程的通解” ?f 2 ? ?? ?? 令 ?1 ? ?1 ? ?1 ,?1 是泊松方程的一个特解,即 ? ?1?? ? ?;

?1?仍然满足方程 ? ?1? ? 0 。
2

?

则我们原则上可以找到求解泊松方程的方法: (1)寻找泊松方程的特解 ? ?? ——试探法找特解(猜、 蒙……) (2)求出对应的齐次方程——拉普拉斯方程的通解 ? ? (3)泊松方程的通解为 ? ? ? ? ? ? ??,再利用具体问题的 边界条件定出待定常数,得到满足边界条件的泊松 方程的解。

下面我们再加过头来解上面的问题:可以验证

?f 2 ?1?? ? ? r 6? ?f 2 ? ?? 是满足 ? ?1?? ? ? 的一个特解。令 ?1 ? ?1 ? ?1 且 ? 2 ? ?1? ? 0 ,得到如下方程: ? 2?1? ? 0

问题具有轴对称性,解与角度 ? 无关,解的形式如下:

? 2?2 ? 0
?

bn ?1? ? ? (an r ? n ?1 ) Pn ? cos ? ? r n ?0
n

dn ?2 ? ? (cn r ? n ?1 ) Pn ? cos ? ? r n ?0
n

?

所以方程(1)的解为
?f 2 bn ?1 ? ?1? ? ?1?? ? ? (an r ? n ?1 ) Pn ? cos ? ? ? r r 6? n ?0 ? dn n ?2 ? ? (cn r ? n ?1 ) Pn ? cos ? ? r n ?0
? n

把边界条件(2)代入,可以得到:

?f 2 ?1 ? ? an r Pn ? cos ? ? ? r 6? n ?0
? n

?2

r ??

? ? cn r p0 ? cos ? ? ? ? E0 r cos ?
n n ?0

?

所以: c0 ? c2 ? c3 ? ... ? 0
?

c1 ? ? E0

dn ?2 ? ? Pn ? cos ? ? ? E0 r cos ? n ? 0 rn ?1

再利用边值关系(2)的后两个式子,有:
? ?f 2 ? dn n ? R0 ? ? an R0 Pn ? cos ? ? ? ? E0 R0 cos ? ? ? n-1 Pn ? cos ? ? 6? n ?0 n ?0 R
? ?

(3) ? ?f ? ? n ?1 ? ? ? R0 ? ? nan R0 Pn ? cos ? ?? ? ? 0 ?? E0 cos ? E0 R0 ? ? ?(n ? 1 n ?0 n ?0 ? ? 3? ? ? ? dn ? ? n ?1 nan R0 Pn ? cos ? ? ? ? ? 0 ? ? E0 cos ? E0 R0 ? ? ?(n ? 1) n? 2 Pn ? cos ? ?? R n ?0 ? ? ? (4) 由(3)(4)得 当n=0时

?f 2 ?f 2 a0 ? R0 ? R0 3? 0 6? ?f R d0 ? 3? 0
3 0

?3E0? 0 当n=1时 a1 ? 2? 0 ? ?

(? an??)0 0 R0 ? 0 E 3 当n=2时 d ? ? (n ? 2) 1 ? 2? ? ? ?d n 0? 0

(? ? ? 0 ) E0 R d1 ? 2? 0 ? ?

3 0

由此我们求出本问题的最终结果是: (1)当 r ? R0 时, ? f 2 ? f 2 ? f 2 3? 0 E0 ?1 ? ? r ? R0 ? R0 ? r cos ? 6? 3? 0 6? 2? 0 ? ?

? f 2 ? 0 ? 2? 2 3? 0 E0 ?? r ? R0 ? r cos ? 6? 6? 0? 2? 0 ? ? (2)当 r ? R0 时, 3 ? f R03 1 (? ? ? 0 ) E0 R0 1 ?2 ? ? E0 r cos ? ? ? cos ? 2 3? 0 r 2? 0 ? ? r

分离变量法、镜像法

参考

《电磁场理论基础》
钟顺时 钮茂德

西安电子科技大学出版社
2000年 ,1995年

? [例1]求均匀电场 E 0 的电势。
[解]:

? 因为均匀电场中每一点强度 E 相同,其电力线为平行 0 直线,选空间任一点为原点,并设原点的电势为 ? 0 。 ? ? 设原点O到任一点P的矢径为 x ,积分路径也为x ,所以
? ? ( P ) ? ? 0 ? E0 ?

若设 ? ? 0 ,则
0

? ? ? 0 ? E0 ? x

?0?

P

? dl
o

y

? x

P
θ

? E0
x

r

? ? ? ( P ) ? ? E0 ? x

若再设 OP

?r,



? ( P ) ? ? E0r cos?

? ? x ? rer



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