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2013届高三数学考前冲刺练习1



2013 届高三数学考前冲刺练习 1 1.如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的 的值是
?x ? 2 ? 2.平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0 的点(x,y)形成的区 ? x ? y ? 10 ? 0 ?

开始

整数 H
A 1, S 1 N

A≤H Y S 2S

+1

域为 D, 区域 D 关于直线 y=2x 对称的区域为 E, 则区域 D 和区 域 E 中距离最近的两点的距离为 3.在 ?ABC 中,若 sin A ? cos A ? 4.已知 sin ? ?

输出 S

A

A+ 1 S 1

结束

2 ,则 tan A =_______.
的值为 .

1 2

? cos ? ,则

cos 2?

?? ? sin ? ? ? ? 4? ?

5.正三棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍, 且该正三棱锥的高为 3 , 则其表面积等于 6.在△ ABC 中,若 AB ? AC ? AB ? CB ? 2 ,则边 AB 的长等于 7.G 是



??? ???? ?

??? ??? ? ?



?ABC , A ? ?2, 0 ? , B ? 2, 0 ? , C ?1,1?
2 2

三条中线的交点,则点 G 的坐标是

8.A、B、C 在椭圆 x ? y ? 1 上,点 F(3,0), FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC ?
25 16

9.抛物线 y ? 4 x上的点 P 到抛物线准线距离为 d1,到直线 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离为 d2,
2

则 d1+d2 的最小值是 10.已知函数 f (x)=|x2-6|,若 a<b<0,且 f (a)=f (b),则 a2b 的最小值是 11.已知函数 f (x)=(ax2+x)-xlnx 在[1,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 1 2 12.若函数 f ( x ) ? x 3 ? x 在 a ,10 ? a 上有最小值,则实数 a 的取值范围是 3 .

?

?



13.如图,在直三棱柱 ABC ? A B1 C1 中, ?ACB ? 90 , E , F , G 分别是 AA1 , AC , BB1 的中 1
0

点, CG ? C1G . 且

(Ⅰ)求证:CG // 平面BEF ; (Ⅱ)求证: 平面 BEF ? 平面 A1C1G .

1

14.已知函数 f ( x ) ? ( ax ? x )e ,其中e是自然数的底数, a ? R . (1)当 a ? 0 时,解不
2 x

等式 f ( x ) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求整数k的所有值,使方程 f ( x ) ? x ? 2 在[k,k+1] 上有解; (3)若 f ( x ) 在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围.

15.现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 a(1≤a≤4) 个单位的药剂,它在水中释放的浓度 y(克/升) 随着时间 x (天) 变化的函数关系式为 y=a· f

?8-x-1?0≤x≤4?, (x) ,其中 f(x)=? 1 ?5-2x?4<x≤10?.
16

若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每

次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于 4(克/ 升)时,它才能起到有效治污的作用. (Ⅰ)若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间 可达几天?(Ⅱ)若第一次只能投放 2 个单位的药剂,6 天后可再投放 a 个单位的药剂,要 使接下来的 4 天中能够持续有效治污,试求 a 的最小值.

2

16.已知⊙ O : x ? y ? 1 和点 M (4, 2) .(Ⅰ)过点 M 向⊙ O 引切线 l , 求直线 l 的方程; (Ⅱ)
2 2

求以点 M 为圆心,且被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 4 的⊙ M 的方程;(Ⅲ)设 P 为(Ⅱ) 中⊙ M 上任一点,过点 P 向⊙ O 引切线,切点为 Q . 试探究:平面内是否存在一定点 R , 使得

PQ PR

为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.

y M·

o

x

17.设数列 {an } 、 {bn }满足 a1 ?

1 2

, 2 nan ?1 ? ( n ? 1) an 且bn ? ln(1 ? an ) ?

1 2

2 an , n ? N * .

(1)求数列 {an } 的通项公式;

? (2)对一切 n ? N ,证明: 2bn ? a n ? 2 a n 成立;
2

3

设 AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP 的面积为定值, 则动点 P 的轨迹是 ▲

已 知 点 A, B 分 别 为 椭 圆

? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 右 顶 点 和 上 顶 点 , 点 M 满 足 a2 b2 ???? ? ???? B M ? ? M A? 为正常数 ? ,直线 OM 交椭圆于 C , D 两点, O 为坐标原点), ?ABC 和 ( ?
S1 S2
的值. (2)当 ? 变化时,试写出直

x2

y2

(1)若 ? ? 1 ,求 ?ABD 的面积分别记为 S1 和 S 2 . 线 CD 的方程,并求

S1 S2

的取值范围.
y

(1)当 ? ? 1 时, BM ? MA , M 为线段 AB 的中点,故直线 OM 的方 程为 y ? 与椭圆

???? ?

????

B M

C

b a x2
a
2

x,
? y2 b
2

?1 联立,可得 x ?
2

a2 2

,于是 C? 所

? a ? 2

,

b ? ? , 2?
D

O

A

x

b ? ? a D?? ,? ? 2 2? ?
2


2



S1 S2

?

CM DM

?

a ? ?b b ? ?a ? ? ? ?? ? ? 2? ?2 2? ?2 a ? ?b b ? ?a ? ? ? ?? ? ? 2? ?2 2? ?2
2

2

?

2 ?1 2 ?1

? 3? 2 2

(2)因为 BM ? ? MA ,所以 M ?

???? ?

????

b ? b ? ?a , x ,与椭圆 ? ,故直线 OM 的方程为 y ? ?a ?1? ? 1? ? ?
可 得

x2

a2 b2 ? ?a ? ? b ? C? , , ? D?? 2 ? ? 1? 2? ?? ? 1? ? AB : bx ? ay ? ab ? 0 的距离,则

?

y2

?1







x2 ?

? 2a2 1? ?2







?

? b ,? , 记 dC , d D 分 别 表 示 点 C , D 到 直 线 2 1 ? ?2 ? 1 a

4

S1 S2

?

dC dD

| ? |? 2

? ab
1? ? ? ab
2

? ?

ab 1? ? ab
2

? ab | ?
2

1? ? 1? ?2 1? ? 1? ? ? 1?
2

?1 ? ?1 2

1? ? ? 1? ?2 1? ? ? 1? ?2 ? 1? 2 2 ?1

? 1?

2 1? ?2 1? ? ? 1? ?2

1? ?
2

2

1? ?

? ab |

? 1?

? ? ? 1?

? 1? ?1

2 2? 1? 2 ?1 ? ?1

?2 ?1
?
S1 S2

2? 1? ?1 2?

? 3? 2 2

? 0, 3 ? 2 2 ? ?

?

? 64 -4?0≤x≤4?, ? 解: (Ⅰ)因为 a=4,所以 y=?8-x ?20-2x?4<x≤10?. ?
分 64 则当 0≤x≤4 时,由 -4≥4,解得 x≥0,所以此时 0≤x≤4. 8-x 分 当 4<x≤10 时,由 20-2x≥4,解得 x≤8,所以此时 4<x≤8. 分 综合,得 0≤x≤8,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天. 分 16 1 (Ⅱ)当 6≤x≤10 时,y=2×(5- x)+a?8-?x-6?-1? 2 ? ? 分 16a 16a =10-x+ -a=(14-x)+ -a-4,因为 14-x∈[4,8],而 1≤a≤4, 14-x 14-x 所以 4 a∈[4,8],故当且仅当 14-x=4 a时,y 有最小值为 8 a-a-4. 分 令 8 a-a-4≥4,解得 24-16 2≤a≤4,所以 a 的最小值为 24-16 2. 分 .

2

4

6

8

10

14

16

解 :( Ⅰ ) 设 切 线 l 方 程 为 y ? 2 ? k ( x ? 4)
k? 8? 15 19

,易得

| 4k ? 2 | k 2 ?1

?1 , 解 得

……4 分
8 ? 19 15 ( x ? 4) ……………………………………6 分

∴切线 l 方程为 y ? 2 ?

5

( Ⅱ ) 圆 心 到 直 线 y ? 2x ? 1 的 距 离 为
r ? 2 ? ( 5) ? 9 ,
2 2 2

5 ,设圆的半径为 r ,则

∴⊙ M 的方程为 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 ………………………………… 10 分 (Ⅲ)假设存在这样的点 R ( a , b ) ,点 P 的坐标为 ( x, y ) ,相应的定值为 ? , 根据题意可得 PQ ?
x ? y ? 1 ,∴
2 2

x2 ? y2 ?1 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2

??,

即 x 2 ? y 2 ? 1 ? ? 2 ( x 2 ? y 2 ? 2 ax ? 2by ? a 2 ? b 2 ) (*) , 2 2 2 2 又点 P 在圆上∴ ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 9 ,即 x ? y ? 8 x ? 4 y ? 11 ,代入(*) 式得: 8 x ? 4 y ? 12 ? ? 2 ?(8 ? 2 a ) x ? ( 4 ? 2b ) y ? ( a 2 ? b 2 ? 11) ?
?? 2 (8 ? 2 a ) ? 8 ? 若系数对应相等,则等式恒成立,∴ ?? 2 ( 4 ? 2b ) ? 4 , ? 2 2 2 ?? ( a ? b ? 11) ? ? 12


a ? 2, b ? 1, ? ? 2或 a ? 2 5 ,b ? 1 5 ,? ? 10 3 PQ

得 ………………………………14 分 为定值. 如点 R 的坐标为 ( 2,1) 时,比值

∴可以找到这样的定点 R ,使得 为 2; 点 R 的坐标为 ( , ) 时,比值为
5 5 2 1
10 3

PR

………………………16 分

.⑴因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax 2 ? x ? 0 , 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x ( x ? ) ? 0 ,
a 1

所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (0 , ? ) .………………………………………4 分
a

1

⑵当 a ? 0 时, 方程即为 xe ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解,
x

所以原方程等价于 e x ? 因为 h?( x ) ? e x ?
2 x2

2 x

? 1 ? 0 ,令 h ( x ) ? e x ?

2 x

?1,

? 0 对于 x ? ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? 恒成立,

所以 h ( x ) 在 ? ??, 0 ? 和 ? 0, ?? ? 内是单调增函数,……………………………6 分 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h (2) ? e 2 ? 2 ? 0 , h( ?3) ? e ?3 ?
1 3 ? 0 , h ( ?2) ? e ?2 ? 0 ,

2 ? 所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别在区间 ?1,? 和 ? ?3, 2 ? 上,

6

所以整数 k 的所有值为 ??3,1? .……………………………………………8 分 ⑶ f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? ( ax 2 ? x)e x ? [ ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x , ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e x , f ?( x) ≥ 0 在 [ ?1, 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时 1] 取等号,故 a ? 0 符合要求;………………………………………………………10 分 ②当 a ? 0 时,令 g ( x ) ? ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1) 2 ? 4a ? 4a 2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x2 , 因此 f ( x) 有极大值又有极小值. 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ? a ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( ?1, 内有极值点, 1)
1? 故 f ( x) 在 ? ?1 , 上不单调.………………………………………………………12 分

若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 , 因为 g ( x ) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [ ?1, 上单调,因为 g (0) ? 1 ? 0 , 1] 必须满足 ?
? g (1) ≥ 0, ? g ( ?1) ≥ 0.

即?

? 3a ? 2 ≥ 0 , ? ? a ≥ 0.

所以 ? ≤ a ? 0 .--------------------------14 分
3

2

综上可知, a 的取值范围是 [ ? , 0] .
3

2

1 an ? n ?1 2 n a a a 1 1 1 1 1 ? 数列{ n }是以 1 ? ,以 为公比? n ? ? ( ) n ?1 ? n n 1 2 n 2 2 2 2 n ? an ? n 2
解: (1)? 2 nan ?1 ? ( n ? 1) an ?

an ?1

?

7

8



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