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四川省资阳市高中2012级(2015届)高三第二次诊断性考试理科数学试题含答案



资阳市高中 2012 级第二次诊断性考试

数 学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题) 。第Ⅰ 卷1至2页,第Ⅱ 卷3 至4页。满分150 分。考试时间120分钟。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。 考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ 卷 (选择题 共 50 分)<

br />注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.复数 m2 ? 1 ? (m ? 1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 (A)-1 (C) ?1 (B)1 (D) ?2

2.集合 M ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} , N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是 (A) [2, ??) (C) [1, ??) (B) (2, ??) (D) (1, ??)

3. “ a ? 2 ”是“直线 (a2 ? a) x ? y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 互相平行”的 (A) 充要条件 (C)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

4.设抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离为 (A)3 (C)5 (B)4 (D)6

5.有 5 名同学站成一排照相,则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是 (A)8 (C)36 (B)12 (D)48
资阳高三数学(理科)试卷 第 1 页(共 4 页)

?0 ? x ? 2, 6.在不等式组 ? 所表示的平面区域内任取一点 P,若点 P 的坐标(x,y)满足 y ? kx 的 ?0 ? y ? 2

概率为 (A) 4 (C)

3 ,则实数 k= 4
(B)2 (D)

2 3

1 2

7.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为 (A) 3 (C) 0 8.已知 a、b 为平面向量,若 a+b 与 a 的夹角为
3 3 5 3

(B)

3 2

(D) ? 3
|a| ? ? ? ,a+b 与 b 的夹角为 ,则 |b| 3 4

(A) (C)

(B) (D)

6 4 6 3

9.已知 F1、F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,点 F1 关于渐近线的对称点恰 a 2 b2

好落在以 F2 为圆心,|OF2|为半径的圆上,则该双曲线的离心率为 (A) 2 (C) 2 (B) 3 (D) 3

?1 2 ? 2 ? 2 x ,0 ? x ? 1, 1 ,2 ) 时, f ( x) ? ? 10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? [0 函 2 | ? 1? | x ? 3 2 , 1 ? x ? 2. ?? 2
数 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? m .若 ?s ? [?4, ?2) , ?t ? [?4, ?2) ,不等式 f (s) ? g (t ) ? 0 成立,则实 数 m 的取值范围是 (A) (??, ?12] (C) (??,8] (B) (??, ?4] (D) (??,

31 ] 2

资阳高三数学(理科)试卷 第 2 页(共 4 页)

第Ⅱ 卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先 用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.二项式 (2 ? x)5 展开式中 x 3 的系数是________. 12.某年级有 1000 名学生,现从中抽取 100 人作为样本,采用系统 抽样的方法, 将全体学生按照 1~1000 编号,并按照编号顺序平 均分成 100 组(1~10 号,11~20 号,?,991~1000 号).若从 第 1 组抽出的编号为 6,则从第 10 组抽出的编号为_________. 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________. 14.若直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 8 相交于 A、B 两点,则 AC ? CB =______. 15.已知函数 f ( x) ,若对给定的△ ABC,它的三边的长 a, b, c 均在函数 f ( x) 的定义域内,且
f (a), f (b), f (c) 也为某三角形的三边的长,则称 f ( x) 是 “保三角形函数”,给出下列命题:

① 函数 f ( x) ? x2 ? 1 是“保三角形函数”; ② 函数 f ( x) ? x ( x ? 0) 是“保三角形函数”; ③ 若函数 f ( x) ? kx 是“保三角形函数”,则实数 k 的取值范围是 (0, ??) ; ④ 若函数 f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,值域为 (0, ??) ,则 f ( x) 是“保三角形函数”;

e2 x ? t ? ex ? 1 1 是“保三角形函数”,则实数 t 的取值范是 [? , 4] . 2 e2 x ? ex ? 1 其中所有真命题的序号是_____________.
⑤ 若函数 f ( x) ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? (2cos x ? sin x) ? cos2 x . (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ )设

?
4

?? ?

?
2

,且 f (? ) ? ?

5 2 ,求 sin 2? 的值. 13

资阳高三数学(理科)试卷 第 3 页(共 4 页)

17.(本小题满分 12 分) 在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、乙两名学生的 6 次培训成绩(百分制)制成如 图所示的茎叶图: (Ⅰ )若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛,你会选哪 位?请运用统计学的知识说明理由; (Ⅱ )若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个,记选到的分数 超过 87 分的个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 S-ABCD 中,侧面 SAD 是正三角形,底面 ABCD 是正方形,且平面 SAD⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、SC 的中点. (Ⅰ)求证:MN∥平面 SAD; (Ⅱ)求二面角 S-CM-D 的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) b1 ? 1 , b2 ? S2 ? 10 , 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 数列 {bn } 是等比数列, 满足 a1 ? 3 ,
a5 ? 2b2 ? a3 .

(Ⅰ )求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;
?2 ? , n 为奇数, (Ⅱ )令 cn ? ? S n 设数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,求 T2 n . ?b , ? n n 为偶数,

20.(本小题满分 13 分) 3 x2 y 2 已知椭圆 Ω: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 3 ,且经过点 (1, ) . 2 a b (Ⅰ )求椭圆 Ω 的方程; (Ⅱ )A 是椭圆 Ω 与 y 轴正半轴的交点, 椭圆 Ω 上是否存在两点 M、N,使得△ AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (其中 a ? R ,e 是自然对数的底数,e=2.71828?) . (Ⅰ)当 a ? e 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证:对任意正整数 n,都有

2 22 ? 2 ? 2 ?1 2 ?1

?

2n 1 ? . 2 ?1 e
n

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资阳市高中 2012 级第二次诊断性考试 (数学学科)参考答案及评分意见(理工类)
一、选择题:BACCB,DADCC. 二、填空题:11. -40;12. 96;13. 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ ) f ( x) ? sin 2x ? sin 2 x ? cos2 x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ),· 4 故函数 f ( x) 的最小正周期是 π. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
5 2 ? 5 2 ? 5 ,即 2 sin(2? ? ) ? ? ,得 sin(2? ? ) ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · 7分 13 4 13 4 13 ? ? 3? ? 5? ? 12 因为 ? ? ? ,所以 ,可得 cos(2? ? ) ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 2? ? ? 4 2 4 4 4 4 13 2 ? 2 ? ? ? sin(2? ? ) ? cos(2? ? ) · 则 sin 2? ? sin[(2? ? ) ? ] ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 4 2 4 4 4 2 5 2 12 7 2 ? ? (? ) ? ? (? ) ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 13 2 13 26 17.(本小题满分 12 分) 68 ? 76 ? 79 ? 86 ? 88 ? 95 解析:(Ⅰ )学生甲的平均成绩 x甲 ? ? 82 , 6 71 ? 75 ? 82 ? 84 ? 86 ? 94 学生乙的平均成绩 x乙 ? ? 82 , 6 1 又 s2甲 ? [(68 ? 82)2 ? (76 ? 82)2 ? (79 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (88 ? 82)2 ? (95 ? 82)2 ] ? 77 , 6 1 167 , s2乙 ? [(71 ? 82)2 ? (75 ? 82)2 ? (82 ? 82)2 ? (84 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (94 ? 82) 2 ] ? 6 3 则 x甲 ? x乙 , s 2甲 ? s 2乙 ,
? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

8 ;14. 4;15. ②③⑤. 3

?

(Ⅱ )由 f (? ) ? ?

说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳定,故应选择学生乙参加知 识竞赛. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 注:(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.(可给 2 分) (2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在 80 分左右, 其分布对称, 乙的平均成绩在 80 分左 右,但总体成绩稳定性较好,故应选择乙同学.(可给 4 分) (Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,则
P(? ? 0) ?
2 1 1 2 C4 C4 C2 8 C2 2 1 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? , , , 2 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

资阳高三数学(理科)试卷 第 5 页(共 4 页)

? 的分布列为

?
P

0 2 5

1 8 15

2 1 15

2 8 1 2 所以数学期望 E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5 15 15 3 18. (本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ)如图,取 SD 的中点 R,连结 AR、RN, 1 则 RN∥CD,且 RN= CD,AM∥CD, 2 所以 RN∥AM,且 RN=AM, 所以四边形 AMNR 是平行四边形, 所以 MN∥AR, 由于 AR ? 平面 SAD, MN 在平面 SAD 外, 所以 MN∥平面 SAD. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ )解法 1:取 AD 的中点 O,连结 OS,过 O 作 AD 的垂
C (?1, 2,0) , M (1,1,0) , 线交 BC 于 G, 分别以 OA, OG, OS 为 x, y, z 轴, 建立坐标系, S (0,0, 3) ,

CM ? (2, ?1,0) , SM ? (1,1, ? 3) , 设面 SCM 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

? ?2 x ? y ? 0, ?n ? CM ? 0, ? 则? 1 有? ? ? x ? y ? 3z ? 0, ?n1 ? SM ? 0, ? 令 x ?1, 取面 ABCD 的法向量 n2 ? (0,0,1) , n1 ? (1,2, 3) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 n ?n 3 6 ? 则 cos n1 , n2 ? 1 2 ? , | n1 | ? | n2 | 4 8
6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 4 解法 2:如图,取 AD 的中点 O,连结 OS、OB,OB∩CM=H,连结 SH,由 SO⊥ AD, 且面 SAD⊥ 面 ABCD, 所以 SO⊥ 平面 ABCD,SO⊥ CM, 易得△ ABO≌ △ BCM,所以∠ ABO=∠ BCM, 则∠ BMH+∠ ABO=∠ BMH+∠ BCM=90° , 所以 OB⊥ CM,则有 SH⊥ CM, 所以∠SHO 是二面角 S-CM-D 的平面角, 2 5 3 5 设 AB ? 2 ,则 OB ? 5 , BH ? , OH ? , 5 5

所以二面角 S-CM-D 的余弦值为

OS ? 3 , SH ? ( 3)2 ? (

3 5 2 2 30 ) ? , 5 5

OH 6 6 ? ,所以二面角 S-CM-D 的余弦值为 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 SH 4 4 19.(本小题满分 12 分) 解析:(Ⅰ )设数列 {an } 的公差为 d,数列 {bn } 的公比为 q,则

则 cos∠SHO=

资阳高三数学(理科)试卷 第 6 页(共 4 页)

?b ? S2 ? 10, ?q ? 6 ? d ? 10, ? d ? 2, 由? 2 得? 解得 ? ? q ? 2, ?a5 ? 2b2 ? a3 , ?3 ? 4d ? 2q ? 3 ? 2d , n ?1 所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 a ? 3 a ? 2 n ? 1 S ? n ( n ? 2) (Ⅱ )由 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 , n 得 n ,·
1 ? 2 ?1 , n 为奇数, ? n(n ? 2) , n 为奇数, c ? ? ? n n ? 2 c ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 则 n ? 即 n ? 2n ?1 , ?2n ?1 , ? n 为偶数, n 为偶数, ?

T2n ? (c1 ? c3 ?

? c2n?1 ) ? (c2 ? c4 ?

? c2n )

1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (2 ? 23 ? ? 22n?1 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 2(1 ? 4n ) ?1? ? 2n ? 1 1? 4 2n 2 n ? ? (4 ? 1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2n ? 1 3 20.(本小题满分 13 分) ?a 2 ? b 2 ? 3, ? 解析:(Ⅰ )由题 ? 1 解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 1 . 3 ? ? 1, ? 2 4b 2 ?a x2 所以椭圆 Ω 的方程为 ? y 2 ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 (Ⅱ )由题意可知,直角边 AM,AN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 AM 所在直线的方 1 程为 y ? kx ? 1 ,不妨设 k ? 0 ,则直线 AM 所在的方程为 y ? ? x ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 k ? y ? kx ? 1, 8k 联立方程 ? 2 消去 y 整理得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 ,解得 xM ? ? ,· · · · 6分 2 1 ? 4k 2 ? x ? 4 y ? 4,
将 xM ? ?

8k ?8k 2 8k ?8k 2 y ? kx ? 1 代入 可得 ,故点 y ? ? 1 ( ? , ? 1) . M M 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
8k 2 8k 2 2 8k 1 ? k 2 ) ? ( ? ) ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 AM ? (? 同理可得 AN ?

8 1? k2 ,由 AM ? AN ,得 k (4 ? k 2 ) ? 1 ? 4k 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 4?k2 3? 5 所以 k 3 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ,则 (k ? 1)(k 2 ? 3k ? 1) ? 0 ,解得 k ? 1 或 k ? .· · · · · · · · · 12 分 2 3? 5 ?3 ? 5 当 AM 斜率 k ? 1 时,AN 斜率 ?1 ;当 AM 斜率 k ? 时,AN 斜率 ;当 AM 2 2 3? 5 ?3 ? 5 斜率 k ? 时,AN 斜率 . 2 2 综上所述,符合条件的三角形有 3 个. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 21.(本小题满分 14 分) 解析:(Ⅰ) 当 a ? e 时, f ( x) ? e x ? ex ? e , f ?( x) ? e x ? e , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .
资阳高三数学(理科)试卷 第 7 页(共 4 页)

所以函数 f ( x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?e ,函数 f ( x) 无极大值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)由 f ( x) ? e x ? ax ? a , f ?( x) ? e x ? a , 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,当 x 趋近于负无穷大时, f ( x) 趋近于负无 穷大; 当 x 趋近于正无穷大时,f ( x) 趋近于正无穷大, 故函数 f ( x) 存在唯一零点 x0 , 当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 .故 a ? 0 不满足条件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 若 a ? 0 , f ( x) ? e x ? 0 恒成立,满足条件. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln a ,当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 (??,ln a) 上单调递减, 在 (ln a, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 在 x ? ln a 处 取得极小值 f (ln a) ? eln a ? a ? ln a ? a ? ?a ? ln a ,由 f (ln a) ? 0 得 ? a ? ln a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 . 综上,满足 f ( x) ? 0 恒成立时实数 a 的取值范围是 [0,1] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 (Ⅲ )由(Ⅱ )知,当 a ? 1 时, f ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) ? e x ? x ? 1 ? 0 恒成立, 1 1 1 即 e x ? x ? 1 ,所以 ln( x ? 1) ? x ,令 x ? n ( n ? N* ),得 ln(1 ? n ) ? n , · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 2 1 1 [1 ? ( )n ] 1 1 1 2 1 1 1 2 ? 1 ? ( 1 )n ? 1 , 则有 ln(1 ? ) ? ln(1 ? 2 ) ? ? ln(1 ? n ) ? ? 2 ? ? n ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 1 1 1 所以 (1 ? )(1 ? 2 ) ? ? (1 ? n ) ? e , 2 2 2 1 1 ? , 所以 1 1 1 (1 ? )(1 ? 2 ) ? ? (1 ? n ) e 2 2 2 2 22 2n 1 即 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ? 2 ? ? n ? .· 2 ?1 2 ?1 2 ?1 e

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