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第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质







第二课时

等差数列的性质

预习课本P39练习第4、5题,思考并完成以下问题
(1)等差数列通项公式的推广形式是什么?

(2)等差数列的运算性质是什么?

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[新知初探]
1.等差数列通项公式的推广
通项公式 an=a1+(n-1)d (揭示首末两项的关系)
2.等差数列的性质 若{an}是公差为d的等差数列,正整数m,n,p,q满足m+ n=p+q,则am+an= ap+aq . (1)特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an= 2ak .
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通项公式的推广
(n-m)d an=am+________

(揭示任意两项之间的关系)

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(2)对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等 于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=?=ak+an-k+1=?. (3)若{an}是公差为d的等差数列,则 ①{c+an}(c为任一常数)是公差为 d 的等差数列; ②{can}(c为任一常数)是公差为 cd 的等差数列; ③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为 2d 的等差数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列 {pan+qbn}(p,q是常数)是公差为 pd1+qd2 的等差数列.

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[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列 (2)若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列 (3)若{an}是等差数列,则对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2 ( × ) ( × ) ( √ )

(4)数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与函数y=3x +5的图象的斜率相等 (√ ) 解析:(1)错误.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等 差数列. (2)错误.如数列-1,2,-3,4,-5其绝对值为等差数列,但其本身 不是等差数列. (3)正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*,都有2an+1=an +an+2成立. (4)正确.因为an=3n+5的公差d=3,而直线y=3x+5的斜率也是3.
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2.在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14等于 A.32 C.-33 B.33 D.29

(

)

解析:选B ∵数列{an}是等差数列, ∴a5,a8,a11,a14也成等差数列且公差为9, ∴a14=6+9×3=33.

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3.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8= ( A.90 C.180 B.270 D.360 )

解析:选C 因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450, 所以a5=90,所以a2+a8=2a5=2×90=180.

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4.在等差数列{an}中,已知a2+2a8+a14=120,则2a9-a10 的值为________.
解析:∵a2+a14=2a8,∴a2+2a8+a14=4a8=120, ∴a8=30.∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=30. 答案:30

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等差数列的性质应用
[典例] a4+a5= A.30 B.15 C.5 6 D.10 6 (1)已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+a3+ ( )

(2)设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2= 100,则a37+b37= A.0 B.37 C.100
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( D.-37

)

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[解析]

(1)∵数列{an}为等差数列,

5 5 ∴a1+a2+a3+a4+a5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3= (a2+a4)= 2 2 ×6=15. (2)设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列, 则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100, c2=a2+b2=100, ∴{cn}的公差d=c2-c1=0. ∴c37=100,即a37+b37=100. [答案] (1)B (2)C
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本例(1)求解主要用到了等差数列的性质:若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq. 对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否 则不一定成立.例如,a15≠a7+a8,但a6+a9=a7+a8;a1+ a21≠a22,但a1+a21=2a11. 本例(2)应用了等差数列的性质:若{an},{bn}是等差数列, 则{an+bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质,可以 提高我们分析、解决数列综合问题的能力,应注意加强这方面 的锻炼.
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[活学活用] 1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+?+a7= ( A.14 C.28
解析:选C

)

B.12 D.36
∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,则a4=4,

又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4, 故a1+a2+?+a7=7a4=28.故选C.

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2.已知数列{an}是等差数列,且a1-a5+a9-a13+a17=117,求 a3+a15的值.
解:∵在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap +aq,∴a1+a17=a5+a13.由条件等式,得a9=117. ∴a3+a15=2a9=2×117=234.

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灵活设元求解等差数列

[典例]

(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后

一项的6倍,求这三个数. (2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项 的积为-8,求这四个数.
[解] (1)设这三个数依次为a-d,a,a+d,

? ??a-d?+a+?a+d?=9, 则? ? ??a-d?a=6?a+d?, ? ?a=3, 解得? ? ?d=-1.

∴这三个数为4,3,2.
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(2)法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d), 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 法二:若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d), 依题意,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 3 把a=1- d代入a(a+3d)=-8, 2
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? 3 ? ? 3 ? 得?1-2d? ?1+2d?=-8, ? ? ? ?

9 2 即 1- d =-8, 4 化简得 d2=4,所以 d=2 或-2. 又四个数成递增等差数列,所以 d>0,所以 d=2, a=-2. 故所求的四个数为-2,0,2,4.

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常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这 两个数为:a-d,a+d,公差为 2d; (2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为:a-d,a, a+d,公差为 d; (3)四个数成等差数列且知其和,常设成 a-3d,a-d,a +d,a+3d,公差为 2d.

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[活学活用] 已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三 个数之积为40,求这个等差数列.

解:设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d). 由题设知
? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ? ??a-d??a+d?=40,

? 13 ?a= 2 , 解得? ?d=3 ? 2

? 13 ?a= 2 , 或? ?d=-3. 2 ?
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∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
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等差数列的实际应用
[典例] 某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,

从第二年起由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少 20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营 策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? [解] 设从第一年起,第n年的利润为an万元,

则a1=200,an+1-an=-20(n∈N*), ∴每年的利润构成一个等差数列{an}, 从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=220-20n. 若an<0,则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an=220-20n<0,得n>11, 即从第12年起,该公司经销此产品将亏损.
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解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条 件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时, 则这组数成等差数列. 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解 题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.

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[活学活用] 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km (不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目 的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费________元. 解析:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增
加1 km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来 计算车费.令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,那么当 出租车行至14 km处时,n=11,此时需要支付车费a11=11.2+ (11-1)×1.2=23.2(元). 答案:23.2
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