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高中数学必修4测试题及答案



高中数学必修 4 测试题
一.选择题: 1.

? 的正弦值等于 3
3 2
(B)





(A)

1 2

(C) ?

3 2

(D) ?

1 2
( )

2.215° 是 (A)第一象限角 (C)第三象限角 (B)第二象限角 (D)第四象限角 (

3.角 ? 的终边过点 P(4,-3) ,则 cos? 的值为 (A)4 (B)-3 (C)



4 5

(D) ?

3 5
( )

4.若 sin ? <0,则角 ? 的终边在 (A)第一、二象限 (C)第二、四象限 5.函数 y=cos2x 的最小正周期是 (A) ? (B) (B)第二、三象限 (D)第三、四象限 (



? 2

(C)

? 4

(D) 2?

6.给出下面四个命题:① AB ? BA ?   ;② 0  AB ? BC ? AC ;③ AB AC ? BC ; - ④ 0 ? AB ? 0 。其中正确的个数为 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 ( ) ( )

7.向量 a ? (1,?2) , b ? (2,1) ,则 (A) a ∥ b (C) a 与 b 的夹角为 60°
2

(B) a ⊥ b (D) a 与 b 的夹角为 30° ( (C) ? cos160? )

8. 化简 1 ? sin 160? 的结果是 (A) cos160? (B) ? cos160?

(D) ? cos160? ( )

9. 函数 y ? 2 sin(2 x ? ? )cos[2( x ? ?)] 是 (A) 周期为

? 的奇函数 4

(B) 周期为

? 的偶函数 4

(C) 周期为

? 的奇函数 2

(D) 周期为

? 的偶函数 2

10.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解 析式为( )

(A) y ? 2 sin( 2 x ? (C) y ? 2 sin( 二.填空题

x ? ? ) 2 3

2? ) 3

(B) y ? 2 sin( 2 x ? (D) y ? 2 sin( 2 x ?

?

?

3 3

) )

11.已知点 A(2,-4) ,B(-6,2) ,则 AB 的中点 M 的坐标为 12.若 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y = 13.若 tan ? ? ; ;



1 sin ? ? cos ? ,则 = 2 2 sin ? ? 3 cos ?

14.已知 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为

? ,那么 a ? b ? a ? b = 3




15.函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x 的值域是 y ? 三.解答题 16.(1)已知 cos a = -

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4s i n ? 2c o s ? ? (2)已知 tan ? ? 3 ,计算 的值. 5 c o s ? 3s i n ? ?

17.已知向量 a , b 的夹角为 60 , 且 | a |? 2 , | b |? 1 ,
?

?

?

?

?

(1) 求 a ?b ;

? ?

(2) 求 | a ? b | .

? ?

18. 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

19.设 OA ? (3,1) , OB ? (?1,2) , OC ? OB , BC ∥ OA ,试求满足 。 OD ? OA ? OC 的 OD 的坐标(O 为坐标原点)

20.某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与 水深的关系表:

t

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

y

经过长期观测, y ? f (t ) 可近似的看成是函数 y ? A sin ?t ? b (1)根据以上数据,求出 y ? f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以 安全的进出该港?

21. 已知 a ? ( 3sin x, m ? cos x) , b ? (cos x, ?m ? cos x) , 且 f ( x) ? a? b (1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 当 x ? ? ?

?

?

? ?

? ? ?? 时, f ( x) 的最小值是-4 , 求此时函数 f ( x) 的最大值, 并求出相 , ? 6 3? ?

应的 x 的值.

1-10:ACCDABBBCA 11. (-2,-1) 12.
2

-6
2

13. -3

14.

21 15. [-1,3]

16.解: (1)∵ cos ? ? sin ? ? 1 , ? 为第三象限角 ∴ sin ? ? ? 1 ? cos (2)显然 cos ? ? 0
2

? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ?

4 5

3 5

4 s i ? ? 2 c? s n o 4 s i ? ? 2 c? s n o 4 t? n ? a ?2 ? 4 3 2 cos ? ∴ ? ? ? ? s ? 5 c o? ? 3 s i n 5 c o? ? 3 s i n ? 5 ? t a n ? ? 5 3 3 s ? 3 cos ? ? ? ? ? 1 ? b 17.解: (1) a? ?| a || b |cos 60 ? 2 ?1? ? 1 2 ? ? ? ? (2) | a ? b |2 ? (a ? b)2

5 7

?2 ? ? ?2 ? a ? 2a ? ? b b ? 4 ? 2 ?1 ? 1 ?3
所以 | a ? b |? 3 18. ka ? b ? k (1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2)

? ?

?

?

? ? a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10, ?4)
(1) (ka ? b ) ? (a ? 3b ) , 得 (ka ? b )? (a ? 3b ) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0, k ? 19 (2) (ka ? b ) // (a ? 3b ) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2), k ? ? 此时 k a ? b ? (?

?

?

?

?

?

?

?
?

?

?

?

?

?

?

1 3

10 4 1 , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3

19. 解:设 OC ? ( x, y) ,由题意得: ?

?OC ? OB ? 0 ?

?( x, y ) ? (?1.2) ? 0 ?? ?BC ? ? OA ?( x, y ) ? (?1,2) ? ? (3,1) ?

?x ? 2 y ? x ? 14 ? ? ? x ? 1 ? 3? ? ? ? OC ? (14,7) ?y ? 7 ?y ? 2 ? ? ?

OD ? OC ? OA ? (11 6) ,

20. 解: (1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, h ?

13 ? 7 ? 10 , 2

A?

13 ? 7 ?3 2

且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T ? 故 f (t ) ? 3sin

2?

2? t ? 10 9

?

? 9 ,? ?

2? , 9

( 0? t ? 2 4 )
2? t ? 10 ? 11.5 9
解 得 : 9k ?

(2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ? 11.5 ,即 3sin ∴ sin

2? 1 t? 9 2

2 k? ?

?
6

?

2? 5? t? ? 2 k? 9 6

3 15 ? t ? ? 9k 4 4

k ?Z
又 0 ? t ? 24 当 k ? 0 时,

3 3 3 3 3 3 ? t ? 3 ;当 k ? 1 时, 9 ? t ? 12 ;当 k ? 2 时, 18 ? t ? 21 4 4 4 4 4 4

故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3: 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18: 45 ? 21: 45)

21.解: (1) f ( x) ? a? ? ( 3sin x, m ? cos x)? b (cos x, ?m ? cos x) 即 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? m2 (2) f ( x) ?

??

3 sin 2 x 1 ? cos 2 x ? ? m2 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? ? m 2 6 2
由 x ? ??

? ? ? 5? ? ? ? 1 ? ? ? ?? , ? , ? 2 x ? ? ?? , ? , ? sin(2 x ? ) ? ? ? ,1? , 6 ? 6 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 3?

1 1 ?? ? ? m 2 ? ?4 , ? m ? ?2 2 2 ? ? ? 1 1 ? f ( x) max ? 1 ? ? 2 ? ? , 此时 2 x ? ? , x ? . 6 6 2 2 2



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