9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学压轴题精选(一)(老师用)



高考数学压轴题精选(一)
1. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

1? x ? ln x 在 [1,??) 上是增函数。求正实数 a 的取值范围; ax

设 b ? 0, a ? 1 ,求证:

1 a?b a?b ? ln ? . a?b b b

解: (1) f (

x ) ?
'

ax ? 1 ? 0 对 x ?[1,??) 恒成立, ax 2

?a ?

1 对 x ? [1,??) 恒成立 x



1 ? 1 ? a ? 1 为所求。 x

(2)取 x ?

a?b a?b ? 1, ,? a ? 1, b ? 0,? b b 1? x ? ln x 在 [1,??) 上是增函数, ax

一方面,由(1)知 f ( x) ?

?f(

a?b ) ? f (1) ? 0 b

a?b b ? ln a ? b ? 0 ? a?b b a? b 1?
即 ln

a?b 1 ? b a?b

另一方面,设函数 G( x) ? x ? ln x( x ? 1)

G ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0(? x ? 1) x x

∴ G ( x) 在 (1,??) 上是增函数且在 x ? x0 处连续,又 G(1) ? 1 ? 0 ∴当 x ? 1 时, G( x) ? G(1) ? 0 ∴ x ? ln x 即

a?b a?b ? ln b b

综上所述,

1 a?b a?b ? ln ? . a?b b b

2.已知椭圆 C 的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上,右焦点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 (1)求椭圆 C 的方程; ( 2 )过点 F ( 1 , 0 )作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ,设 FA ? ? FB , T(2, 0),若

??? ?

??? ?

? ?[?2,?1],求 | TA ? TB | 的取值范围。
解: (1)由题意得:

| c ? 1| ? 2 ? c ? 1 …………………1 分 2

由题意 b ? 1,?a ? 2

所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1………………………3 分 2

(2)容易验证直线 l 的斜率不为 0。 故可设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1 ,

代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0. 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 y1 ? y 2 ? ?

1 2k y1 y 2 ? ? 2 . ????…………………5 分 k ?2 k ?2
2

∵ FA ? ? FB ∴有 y1 ? ?,且? ? 0. ,
y2

?

( y1 ? y2 )2 4k 2 1 4k 2 ?? 2 ??? ?2?? 2 y1 y2 k ?2 ? k ?2



? ? [?2,?1] ? ? ? ? ?
??

5 2

1

?

? ?2 ? ?

1 1 ??? ?2?0 2 ?

1 4k 2 2 2 ?? 2 ? 0 ? k 2 ? ? 0 ? k 2 ? ????7 分 2 7 7. k ?2

∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ),TB ? ( x2 ? 2, y2 ),?TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ). 又 y1 ? y 2 ? ?
2

2k 4(k 2 ? 1) , ? x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? . 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 )

16(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? ? 2 ? (k 2 ? 2) 2 (k ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2

? 16 ?
令t ?

28 8 ……………………………………………………8 分 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2
2
2

1 2 7 1 1 7 1 .? 0 ? k 2 ? ∴ ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 7 16 k ? 2 2 16 2 k ?2 7 2 17 2 2 . ∴ | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? 4 2 7 1 169 ] 而 t ? [ , ] ,∴ f (t ) ? [4, 16 2 32
∴ | TA ? TB |? [2,

13 2 ]. ………………………………………………………10 分 8

3.设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m (a ? 0) (1)若 a ? 1 时函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点,求 m 的范围; (2)若函数 f ( x ) 在 ??1,1? 内没有极值点,求 a 的范围; (3)若对任意的 a ? ?3,6? ,不等式 f ( x) ? 1 在 x ?? ?2, 2? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 解: (1)当 a ? 1 时 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m , 因为 f ( x ) 有三个互不相同的零点,所以 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? m ? 0 ,
3 2 即 m ? ? x ? x ? x 有三个互不相同的实数根。

令 g ( x) ? ? x ? x ? x ,则 g ( x) ? ?3x ? 2x ? 1 ? ?(3x ?1)( x ? 1) 。
3 2 ' 2

因为 g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( 1 均为减函数,在 ?1, 1 为增函数, 3 , ??) 3
5 m 的取值范围 ? ?1, 27 ?

?

?

(2)由题可知,方程 f ( x) ? 3x ? 2ax ? a ? 0 在 ??1,1? 上没有实数根,
' 2 2

? f ' (1) ? 3 ? 2a ? a 2 ? 0 ? ' 2 因为 ? f ( ?1) ? 3 ? 2a ? a ? 0 ,所以 a ? 3 ? a?0 ?
(3)∵ f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? 3( x ? a ,且 a ? 0 , 3 )( x ? a)
a ∴函数 f ( x ) 的递减区间为 (?a, a 3 ) ,递增区间为 ( ??, ? a ) 和 ( 3 , ??) ;

当 a ? ?3,6? 时, a 3 ??1,2? , ?a ? ?3, 又 x ?? ?2, 2? , ∴ f ( x)max ? max ? f (?2), f (2)? 而 f (2) ? f (?2) ? 16 ? 4a ? 0
2

∴ f ( x)max ? f (?2) ? ?8 ? 4a ? 2a2 ? m , 又∵ f ( x) ? 1 在 x ?? ?2, 2? 上恒成立, ∴ f ( x)max ? 1 ,即 ?8 ? 4a ? 2a 2 ? m ? 1 ,即 m ? 9 ? 4a ? 2a 2 在 a ? ?3,6? 恒成立。

∵ 9 ? 4a ? 2a 2 的最小值为 ?87

4. (本题满分 14 分)已知椭圆 C1 :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 2 2 a b 2

与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切。 (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线 l 2 垂 直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (Ⅲ)若 AC、BD 为椭圆 C1 的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点 F2,求四边形 ABCD 的面积的最小 值.

2 c 2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? a 2 ? 2b 2 2 a a2 2 2 2 ? 直线l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b 2 相切? ? b,?b ? 2, b2 ? 4,? a 2 ? 8, 2 2 2 x y ? ? 1. ∴椭圆 C1 的方程是 ????3 分 8 4 (Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?2 的距离等于它到定点 F2(2,0)的距离,∴动点
解: (Ⅰ)? e ? M 的轨迹 C 是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 8x ????6 分 (Ⅲ)当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的斜率为 k, A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) ,则直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 2).

x2 y 2 ? ? 1及y ? k ( x ? 2)得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0. 8 4 8k 2 8k 2 ? 8 , x1 x2 ? . 所以 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 32(k 2 ? 1) ….9 分 | AC |? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 )2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? 1 ? 2k 2 1 1 32(1 ? k 2 ) 由于直线 BD 的斜率为 ? , 用 ? 代换上式中的 k 可得 | BD |? k k k2 ? 2 ∵ AC ? BD , 1 16(1 ? k 2 )2 ∴四边形 ABCD 的面积为 S ? | AC | ? | BD |? 2 ……. .12 分 2 (k ? 2)(1 ? 2k 2 ) (1 ? 2k 2 ) ? (k 2 ? 2) 2 3(k 2 ? 1) 2 2 2 ] ?[ ] 由 (1 ? 2k )(k ? 2) ? [ 2 2 64 , 当1 ? 2k 2 ? k 2 ? 2时, 即k ? ?1 时取等号. 所以 S ? ????13 分 9
联立

易知,当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形 ABCD 的面积 S ? 8
x2 y2 2 5.(本小题满分 14 分)已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的左.右焦点分别为 F1.F2,离心率 e= ,右 a b 2 准线方程为 x=2. (1)求椭圆的标准方程; 2 26 → → (2)过点 F1 的直线 l 与该椭圆相交于 M.N 两点,且|F2M+F2N|= ,求直线 l 的方程. 3 2 = , ?c a 2 解析:(1)由条件有? a ? c =2
2

解得 a= 2,c=1.

∴b= a2-c2=1.

x2 所以,所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)由(1)知 F1(-1,0).F2(1,0). 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1, 2 将 x=-1 代入椭圆方程得 y=± . 2 2 2 不妨设 M?-1, ?.N?-1,- ?, 2? 2? ? ? 2 2 → → ∴F2M+F2N=?-2, ?+?-2,- ?=(-4,0). 2? ? 2? ? → → ∴|F2M+F2N|=4,与题设矛盾. ∴直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+1). x2 ? ? 2 +y2=1, 设 M(x ,y ).N(x ,y ),联立?
1 1 2 2

?y=k(x+1) ?

消 y 得(1+2k )x +4k x+2k -2=0. -4k2 2k 由根与系数的关系知 x1+x2= ,从而 y1+y2=k(x1+x2+2)= . 1+2k2 1+2k2 → → 又∵F2M=(x1-1,y1),F2N=(x2-1,y2), → → ∴F2M+F2N=(x1+x2-2,y1+y2). → → ∴|F2M+F2N|2=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2 2 8k +2?2 ? 2k ?2 4(16k4+9k2+1) =? + . 2 = 4k4+4k2+1 ?1+2k2? ?1+2k ? 4 2 4(16k +9k +1) ?2 26?2 ∴ = 4k4+4k2+1 ? 3 ?. 化简得 40k4-23k2-17=0, 17 解得 k2=1 或 k2=- (舍).∴k=± 1. 40 ∴所求直线 l 的方程为 y=x+1 或 y=-x-1.

2

2

2

2

6.(本小题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ? ln x ? 1 , g ( x) ? ? ln x ? 1? ex ? x (其中 e 为自然对
数的底数) . (1)判断函数 f ( x) 在区间 ? 0, e? 上的单调性; 值;若不存在,请说明理由. 解(1) :∵ f ( x) ?

a x

(2)是否存在实数 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在,求出 x0 的

a 1 x?a a ? ln x ? 1 ,∴ f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a .

①若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e 上单调递增. ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a, e 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e 上单调递增, ③若 a ? e ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e 上单调递减. ……6分 (2)解: ∵ g ( x) ? ? ln x ?1? e ? x , x ? ? 0, e ,
x

?

?

?

?

?

ex ?1 ? g ?( x) ? ? ln x ? 1?? e x ? ? ln x ?1? ? e x ?? ? 1 ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 由(1)可知, x ?x ? 1 当 a ? 1 时, f ( x) ? ? ln x ? 1 . x 1 此时 f ( x ) 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 ln1 ? 0 ,即 ? ln x ? 1 ? 0 . x ?1 ? 1 x 当 x0 ? ? 0, e? , e ? 0 , ? ln x0 ? 1 ? 0 ,∴ g ?( x0 ) ? ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1 ? 1 ? 0 . x0 ? x0 ? 曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数解.
0

而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g ?( x0 ) ? 0 无实数解. 故不存在 x0 ? ? 0, e ,使曲线 y ? g ( x) 在

?

x ? x0 处的切线与 y 轴垂直……12分

7. (本小题满分12分)已知线段 CD ? 2 3 , CD 的中点为 O ,动点 A 满足 AC ? AD ? 2 a ( a 为正 常数) . (1)建立适当的直角坐标系,求动点 A 所在的曲线方程; (2)若 a ? 2 ,动点 B 满足 BC ? BD ? 4 ,且 OA ? OB ,试求 ?AOB 面积的最大值和最小值. 解 (1) 以 O 为圆心,CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 , 即0? a ? 3 , 动点 A 所在的曲线不存在;若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在的曲线方程为

y ? 0(? 3 ? x ? 3) ;若 AC ? AD ? 2a ? 2 3 ,即 a ? 3 ,动点 A 所在的曲线方程为 x2 y2 ? ? 1 .……4 分 a2 a2 ? 3 x2 x2 ? y 2 ? 1 . 由 条 件 知 A, B 两 点 均 在椭 圆 ? y2 ? 1 上 , 且 (2) 当 a ? 2 时 , 其 曲 线 方 程 为椭 圆 4 4
OA? OB

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , OA 的斜率为 k (k ? 0) ,则 OA 的方程为 y ? kx , OB 的方程为 y ? ? x

1 k

? y ? kx ? 解方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?4 4k 2 4 2 y ? 得 x12 ? , 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 4k 4 2 2 ? 2 同理可求得 x2 , y2 ? 2 k ?4 k ?4
?AOB 面积 S ?

1 1 (1 ? k 2 )2 1 ? k 2 x1 1 ? 2 x2 = 2 ………………8 分 2 k (1 ? 4k 2 )(k 2 ? 4)

令 1 ? k 2 ? t (t ? 1) 则

t2 1 ?2 2 9 9 4t ? 9t ? 9 ? 2 ? ?4 t t 9 9 1 1 2 25 25 4 令 g (t ) ? ? 2 ? ? 4 ? ?9( ? ) ? (t ? 1) 所以 4 ? g (t ) ? ,即 ? S ? 1 t t t 2 4 4 5 4 当 k ? 0 时,可求得 S ? 1 ,故 ? S ? 1 , 5 4 故 S 的最小值为 ,最大值为 1. ……12 分 5 S ?2

8.(本小题满分 12 分)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )是椭圆

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的两点,已知向量 a2 b2

x y x y 3 m ? ( 1 , 1 ), n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n ? 0 且椭圆的离心率 e= ,短轴长为 2 , O 为坐标原点. 2 b a b a
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由
[来源:Zxxk.Com]

y2 c a 2 ? b2 3 ? x2 ? 1 解: 2b ? 2.b ? 1, e ? ? ? ? a ? 2,c ? 3 椭圆的方程为 4 a a 2 (2) ①当直线 AB 斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 ,由 m ? n ? 0

4分

y12 ? 0 ? y12 ? 4 x12 ????5 分 4 4x 2 2 2 又 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x1 ? 1 ? 1 ? x1 ? , y1 ? 2 4 2 1 1 s ? x1 y1 ? y2 ? x1 2 y1 ? 1 2 2 x12 ?
所以三角形的面积为定值.??6 分 ②当直线 AB 斜率存在时:设 AB 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2kb ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4

b2 ? 4 2 2 2 x1 x 2 ? 2 ,?=(2kb) ?4(k +4)(b ?4)>0?????8 分而 m ? n ? 0 , k ?4 yy (kx ? b)(kx2 ? b) x1 x 2 ? 1 2 ? 0 ? x1 x 2 ? 1 ? 0代入整理得: 4 4 2b2 ? k 2 ? 4 ?????10 分
1 |b| 1 |b| 4k2?4b2+16 4b2 2 S=2 |AB|=2|b| (x1+x2) ?4x1x2= = 2|b| =1 2(k2+4) 1+k2 综上三角形的面积为定值 1.??…………………12 分

f (0) ? b .a,b 为实数, 1 ? a ? 2 . 9.已知函数 f ( x) 的导数 f '( x) ? 3x 2 ? 3ax, 1] 上的最小值、最大值分别为 ?2 、1,求 a、b 的值; (1) 若 f ( x) 在区间 [?1,

(2) 在 (1) 的条件下,求曲线在点 P(2,1)处的切线方程; (3) 设函数 F ( x) ? [ f '( x) ? 6 x ? 1] ?e2 x ,试判断函数 F ( x) 的极值点个数. 解:(1) 由已知得, f ( x) ? x 3 ? ∵ x ? [?1, 1] , 1 ? a ? 2 , ∴ 当 x ? [?1, 0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递增;当 x ? (0, 1] 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递减. ∴ f ( x ) 在区间 [?1, 1] 上的最大值为 f (0) ? b ,∴ b ? 1 . 3 3 又 f (1) ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? a , 2 2 3 3 f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a , 2 2 ∴ f (?1) ? f (1) . 4 4 3 由题意得 f (?1) ? ?2 ,即 ? a ? ?2 ,得 a ? . 故 a ? , b ? 1 为所求. 3 3 2 (2) 由 (1) 得 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 , f ?( x) ? 3x ? 4x ,点 P (2, 1) 在曲线 f ( x ) 上.
3 2 2

3 2 ax ? b , 由 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? a . 2

当切点为 P (2, 1) 时,切线 l 的斜率 k ? f ?( x) |x?2 ? 4 , ∴ l 的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 2) , 即 4x ? y ? 7 ? 0 . (3
2 2x F ( x) ? (3x 2 ? 3ax ? 6 x ? 1) ? e 2 x ? ? ?3x ? 3(a ? 2) x ? 1? ??e 2 2x F ?( x) ? ? 6 x ? 3(a ? 2) ? ? e 2 x ? 2 ? ?3x ? 3(a ? 2) x ? 1? ??e

? [6 x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a] ? e2 x
二次函数 y ? 6 x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a 的判别式为
2 ? ? 36(a ? 3)2 ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a 2 ? 12a ? 11) ? 12 ? ?3(a ? 2) ? 1? ? 令 ? ? 0 ,得: 1 3 3 3 3 1? a ? 2, 得a ? 2? (a ? 2)2 ? , 2 ? ? a ? 2? .令 ? ? 0 , , 或a ? 2 ? . ∵ e2 x ? 0 , 3 3 3 3 3 3 ∴当 2- ? a ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为单调递增,极值点个数为 0; 3 3 当1 ? a ? 2 ? 时,此时方程 F ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根, 3 根据极值点的定义,可知函数 F ( x ) 有两个极值点.

10.已知函数 f(x)=
1 4

a ? x2 ? ln x x

1 ? ? ? a ? R , x ? [ , 2] ? 2 ? ?

(1)当 a ?[?2, ) 时, 求 f ( x) 的最大值; (2) 设 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x 2 , k 是 g ( x) 图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数 a ,使得 k ? 1

恒成立?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

(2)存在 a ? (??, ] 符合条件 解: 因为 g ( x) ? [ f ( x) ? ln x] ? x2 = ax ? x3

7 4

不妨设任意不同两点 p1 ( x1, y1 ), p2 ( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2
k?
3 y1 ? y2 a ( x1 ? x2 ) ? ( x2 ? x13 ) ? x1 ? x2 x1 ? x2



2 ? a ? ( x12 ? x1 x2 ? x2 )

2 由 k ? 1 知: a ? 1+ ( x12 ? x1x2 ? x2 )
2 又 ? x2 ? 4故a ?

1 4

7 4

故存在 a ? (??, ) 符合条件.?12 分 解法二:据题意在 y ? g ( x) 图象上总可以在找一点 P( x0 , y0 ) 使以 P 为切点的切线平行图象 上任意两点的连线,即存在 k ?
g ( x1 ) ? g ( x2 ) 2 ? g '( x0 ) ? a ? 3x0 ?1 x1 ? x2

7 4

7 7 2 ? a ? 1 ? 3x0 ? 故存在 a ? (??, ) 符合条件. 4 4

11 . A ﹑ B ﹑ C

是 直 线 l 上 的 三 点 , 向 量 OA ﹑ OB ﹑ OC 满 足 :

OA -[y+2 f ?(1) ]· OB +ln(x+1)· OC = 0 ;
(Ⅰ)求函数 y=f(x)的表达式; (Ⅲ)当 (Ⅱ)若 x>0, 证明 f(x)>

2x ; x?2

1 2 x ? f ( x 2 ) ? m 2 ? 2bm ? 3 时,x ? ?? 1,1?及 b ? ?? 1,1? 都恒成立,求实数 m 的取值范围。 2

解 I)由三点共线知识,

? ? ∵ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln(x ? 1)] ? OC ? 0 ,∴ OA ? [ y ? 2 f (1)]OB ? ln(x ? 1)] ? OC ,∵A﹑B﹑C 三
点共线,

? ∴ [ y ? 2 f (1)] ? [? ln(x ? 1)] ? 1 ? ∴ y ? f ( x) ? ln(x ? 1) ? 1 ? 2 f (1) .

1 1 ? ? f ( x ) ? f ( 1 ) ? ∴ x ?1 ∴ 2,
∴f(x)=ln(x+1)??????4 分

2x
(Ⅱ)令 g(x)=f(x)- x ? 2 ,

x2 ? 由 g ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2) 2 ,
? ∵x>0∴ g ( x) ? 0

2x ∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故 g(x)>g(0)=0,即 f(x)> x ? 2 ;???8 分 1 2 2 2 (III)原不等式等价于 2 x ? f ( x ) ? m ? 2bm ? 3 ,令

x3 ? x 1 2 1 2 2 2 ? h ( x ) ? , x ? f ( x ) x ? ln( 1 ? x ), h(x)= 2 =2 由 1? x2
当 x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m -2bm-3≥0,令 Q(b)= m -2bm-3,则由 Q(1)≥0 及 Q(-1)≥0 解得 m≤-3 或 m≥3. ????12 分
2 2

12.已知 M 经过点 G(0, ?1) ,且与圆 Q : x ? ( y ?1) ? 8 内切.
2 2

(Ⅰ)求动圆 M 的圆心的轨迹 E 的方程.

B ,在曲线 E 上是否存在点 P (Ⅱ)以 m ? ( 1 , 2) 为方向向量的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 A、
使四边形 OAPB 为平行四边形( O 为坐标原点).若存在,求出所有的 P 点的坐标与直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)依题意,动圆与定圆相内切,得| MG | ? | MQ |? 2 2 ,可知 M 到两个定点 G 、 Q 的距

离和为常数,并且常数大于 | GQ | ,所以 P 点的轨迹为椭圆,可以求得 a ? 所以曲线 E 的方程为 x ?
2

2 , c ? 1 , b ? 1,

y2 ? 1 .……………………5 分 2

(Ⅱ)假设 E 上存在点 P ,使四边形 OAPB 为平行四边形.

y2 ? 1. 由(Ⅰ)可知曲线 E 的方程为 x ? 2
2

设直线 l 的方程为 y ?

2x ? m , A( x1,y1 ) , B( x2,y 2 ) .

? y ? 2 x ? m; ? 由? ,得 y2 2 ? 1. ?x ? 2 ?

4 x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 2 ? 0 ,

m2 ? 2 2m 由 ? ? 0 得 m ? 4 ,且 x1 ? x2 ? ? , x1 x 2 ? ,………7 分 4 2
2

则 y1 y 2 ? ( 2 x1 ? m)( 2 x2 ? m) ?

m2 ? 2 , 2

y1 ? y2 ? ( 2x1 ? m) ? ( 2x2 ? m) ? m ,
E 上的点 P 使四边形 OAPB 为平行四边形的充要条件是 OP ? OA ? OB ,

x1 ? x2 , y1 ? y2) 即 P点的坐标为(
且 ( x1 ? x 2 ) ?
2
2

( y1 ? y 2 ) 2 ? 1, 2
2

又 x1 ?

2

y1 y 2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 ,所以可得 2 x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 0 ,…………9 分 2 2

可得 m 2 ? 1 ,即 m ? 1 或 m ? ?1 . 当 m ? 1 时, P ( ?

2 , 1) ,直线 l 方程为 y ? 2 x ? 1 ; 2 2 , ? 1) ,直线 l 方程为 2

当 m ? ?1 时, P(

y ? 2x ? 1 .……………………12 分

13.已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图象关于原点对称,且 f ? x ? ? x2 ? 2x . (Ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围. 解:(Ⅰ)设函数 y ? f? x ? 的 图 象 上 任 意 一 点 Q ? x0 , y0 ? 关 于 原 点 的 对 称 点 为 P ? x, y? , 则

? x0 ? x ? 0, ? ? x0 ? ? x, ? 2 即? ? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? ? 2 ∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上
∴ ? y ? x2 ? 2x,即y ? ?x2 ? 2x, 故g ? x ? ? ?x2 ? 2x (Ⅱ)由 g ? x ? ? f ? x ? ? x ?1 , 可得2x2 ? x ?1 ? 0 当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,此时不等式无解。
2 2

当 x ? 1 时, 2 x ? x ? 1 ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 因此,原不等式的解集为 ? ?1, ? 。 2
2

1 。 2

? (Ⅲ) h ? x ? ? ? ?1 ? ? ? x ? 2 ?1 ? ? ? x ? 1
? ① 当? ? ?1时,h ? x ? ? 4x ? 1在??1,1?上是增函数,

? ?

1?

? ? ?1

② 当? ? ?1时,对称轴的方程为x ?

1? ? ⅰ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得? ? ?1. 1? ? 1? ? ⅱ) 当? ? ?1时, ? ?1, 解得 ? 1 ? ? ? 0. 综上,? ? 0. 1? ?

1? ? . 1? ?

14.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根,求实数 b 的 2 2

取值范围; (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N *. 求证: an ? 2 n ? 1 解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). x
2

依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立,即 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? 0 恒成立.

则a ?

1? 2x 1 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 恒成立,即 a ? (( ? 1) 2 ? 1) min ( x ? 0) 2 x x x 1 x
2

当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ?1 ∴ a 的取值范围是 (??, ?1] ?? 4 ? (2) a ? ?

1 1 1 3 , f ( x) ? ? x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. 2 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . 列表: 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x

x

(0,1)
?
?

1

(1, 2)
?
?

2

(2, 4)
?
?

g ?( x) g ( x)

0
极大值

0
极小值

∴ g ( x) 极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2 , g ( x) 极大值 ? g (1) ? ?b ?

5 ,又 g (4) ? 2ln 2 ? b ? 2 ?? 6 ? 4

? 方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 ,得 ln 2 ? 2 ? b ? ? ???? 8 ? 4 ? g (4) ? 0 ?
(3)设 h( x) ? ln x ? x ? 1, x ??1, ??? ,则 h?( x ) ?

1 ?1 ? 0 x

? h( x) 在 ?1, ?? ? 为减函数,且 h( x)max ? h(1) ? 0, 故当 x ? 1 时有 ln x ? x ? 1 .

? a1 ? 1. 假设 ak ? 1(k ? N * ), 则 ak ?1 ? ln ak ? ak ? 2 ? 1 ,故 an ? 1(n ? N * ).
从而 an?1 ? ln an ? an ? 2 ? 2an ? 1.?1 ? an?1 ? 2(1 ? an ) ? ?? ? 2n (1 ? a1 ). 即 1 ? an ? 2n ,∴ an ? 2n ? 1 ????

15. (本小题满分 14 分) 如图,设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物线 C
2

的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.

2 解: (1)设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1 , x12 )((x1 ? x0 ) , 2 ∴切线 AP 的方程为: 2x0 x ? y ? x0 ? 0;

2 切线 BP 的方程为: 2x1 x ? y ? x1 ? 0;

解得 P 点的坐标为: x P ?

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x0 ? x1 ? x P ? xP , 3
2

所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ?

2 y ? y1 ? y P x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 x P ? y p yG ? 0 ? ? ? , 3 3 3 3

所以 y p ? ?3 yG ? 4xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
2

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3
(2)方法 1:因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? ( 由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0.
2

1 4

x0 ? x1 1 1 2 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x1 ? ). 2 4 4

x0 ? x1 1 1 1 2 ? x0 ? ( x0 x1 ? )(x0 ? ) x0 x1 ? FP ? FA 4 4 ? 4, ? 2 ∴ cos?AFP ? 1 | FP || FA | | FP | 2 2 | FP | x0 ? ( x0 ? ) 2 4

x0 ? x1 1 1 1 2 ? x1 ? ( x0 x1 ? )(x1 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 2 4 4 ? 4, ? 同理有 cos?BFP ? 1 | FP || FB | | FP | 2 2 | FP | x1 ? ( x1 ? ) 2 4
∴∠AFP=∠PFB. 方法 2: ①当 x1 x0 ? 0时,由于x1 ? x0 , 不妨设x0 ? 0, 则y0 ? 0, 所以 P 点坐标为 (

x1 ,0) ,则 P 2

|x | 1 点到直线 AF 的距离为: d1 ? 1 ; 而直线BF的方程 : y ? ? 2 4
2 即 ( x1 ? ) x ? x1 y ?

x12 ? x1

1 4 x,

1 4

1 x1 ? 0. 4

x 1 x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? ) 2 ? ( x1 ) 2 4 4
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

1 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4
2 x0 ?

1 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程: y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4 x12 ?
所以 P 点到直线 AF 的距离为:

x ? x1 1 x ? x1 1 1 2 2 2 | ( x0 ? )( 0 ) ? x0 x1 ? x0 | | 0 )(x0 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | ,同理可得到 P d1 ? ? 1 2 2 1 2 2 x0 ? ( x0 ? ) 2 ? x0 4 4
点到直线 BF 的距离 d 2 ?

| x1 ? x0 | ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 2

16.已知 y ? f ( x) ? x ln x . (1)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? e 处的切线方程; (2)设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ?

f ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值; a 1 2 ? 成立. x ex e

(3)证明对一切 x ? (0,??) ,都有 ln x ?

解: (1)? f ( x) 定义域为 ?0,??? f ?( x) ? ln x ? 1 ? f (e) ? e 又? k ? f / (e) ? 2

? 函数 y ? f ( x) 的在 x ? e 处的切线方程为: y ? 2(x ? e) ? e ,即 y ? 2 x ? e ……3 分
( 2 ) F ( x) ?
'

1 1 (ln x ? 1) 令 F ' ( x) ? 0 得 x ? 当 x ? 0, 1 , F ' ( x) ? 0 , F ( x) 单调递减,当 e a e

? ?

x ? 1 , ? ? , F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 单调递增. …………5 分 e
(i)当 a ?

?

?

1 时, F ( x) 在 ?a,2a? 单调递增, [ F ( x)]min ? F (a) ? ln a ,…………6 分 e

(ii)当 a ?

1 1 1 1 1 ? 2a 即 ? a ? 时, [ F ( x)] min ? F ( ) ? ? …………7 分 e 2e e e e

(iii)当 2 a ?

1 1 即0 ? a ? 时, F ( x) 在 ?a,2a? 单调递减, e 2e

[ F ( x)]min ? F (2a) ? 2 ln(2a) ………………8 分
(3)问题等价于证明 x ln x ? x ? 2 ( x ? (0, ? ?)) , x

e

e

由(2)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时取得最小值……10 分 e e 设 m( x) ? x ? 2 ( x ? (0, ??)) ,则 m' ( x) ? 1 ?x x , x

e

e

e

当 x ? (0,1) 时 m?( x) ? 0 , m( x) 单 调 递 增 ; 当 x ? (1,??) 时 m?( x) ? 0, m( x) 单 调 递 减 。 故

?m( x)?m a x ?

m(1) ? ?1 ,当且仅当 x ? 1 时取得最大值…………12 分 e

所以 [ f ( x)] min ? ?

1 ? [m( x)] max 且等号不同时成立,即 x ln x ? xx ? 2 ( x ? (0, ? ?)) e e e
e ex

从而对一切 x ? (0, ? ?) ,都有 ln x ? 1 ? 2 成立.…………13 分 x

17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? a) ? x ? x在x ? 0 处取得极值.
2

(I)求实数 a 的值; (II)若关于 x 的方程 f ( x) ? ? 范围; (III)证明:对任意正整数 n,不等式 ln

5 x ? b 在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取值 2

n ?1 n ?1 ? 2 都成立. n n

解: (I) f ?( x) ?

1 ? 2 x ? 1, ?????????????????2 分 x?a

? x ? 0 时, f ( x) 取得极值,

? f ?(0) ? 0, ?????????????????????????3 分


1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 ,解得 a=1, 0?a

经检验 a=1 符合题意.???????????????????????4 分 (II)由 a=1 知 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? x,由f ( x) ? ?
2

5 x ? b, 2

得 ln( x ? 1) ? x ?
2

3 3 x ? b ? 0, 令 ? ( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? x ? b, 2 2

则 f ( x) ? ?

5 x ? b在[0,2] 上恰有两个不同的实数根等价于 2

? ( x) ? 0 在 [0 , 2] 上 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 . ? ? ? ? ? ? ? 5 分
? ?( x) ?
1 3 ? (4 x ? 5)(x ? 1) ? 2x ? ? , ?????6 分 x ?1 2 2( x ? 1)

当 x ? (0,1)时, ? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(0,1) 上单调递增 当 x ? (1,2)时, ? ?( x) ? 0, 于是? ( x)在(1,2) 上单调递减.

?? (0) ? ?b ? 0, ? 3 ? 依题意有 ?? (1) ? ln(1 ? 1) ? 1 ? ? b ? 0, 2 ? ? ?? (2) ? ln(1 ? 2) ? 4 ? 3 ? b ? 0,
1 ? ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . ???????9 分 2
(III) f ( x) ? ln(x ? 1) ? x ? x 的定义域为 {x | x ? ?1}, ?????10 分
2

由(1)知 f ?( x) ?

? x(2 x ? 3) , ???????????????11 分 x ?1 3 (舍去) ,?当 ? 1 ? x ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 2

令 f ?( x) ? 0得, x ? 0或x ? ?

当 x>0 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减.? f (0)为f ( x)在(?1,??) 上的最大值. (12 分)

? f ( x) ? f (0),故 ln(x ? 1) ? x 2 ? x ? 0 (当且仅当 x=0 时,等号成立)???13 分
对任意正整数 n,取 x ?

1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? 0 得, ln( ? 1) ? ? 2 , 故 ln ? 2 . n n n n n n

14 分

18. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 , A 为 a2 b2

椭圆短轴的一个顶点,且 ?AF1 F2 是直角三角形,椭圆上任一点 P 到左焦点 F1 的距离的最大值为

2 ?1
(1)求椭圆 C 的方程; (2)与两坐标轴都不垂直的直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) 交椭圆 C 于 E , F 两点,且以线段 EF 为直径

的圆恒过坐标原点,当 ?OEF 面积的最大值时,求直线 l 的方程.

解: (1)由题意得

c 2 ? , a ? c ? 2 ? 1 ————————2 分 a 2

a ? 2 , c ? 1 ,则 b ? 1 ——————3 分
x2 ? y 2 ? 1 ————————————4 分 2

所以椭圆的方程为

? x2 ? ? y2 ?1 (2)设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) , ? 2 ,联立得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4mkx ? 2m 2 ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ?
? 4mk ? x1 ? x 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ,——————————————————5 分 ? ? 8(2k 2 ? 1 ? m 2 ) ? 0 , ? 2 ? x x ? 2m ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
又以线段 EF 为直径的圆恒过坐标原点,所以 OE ? OF ? 0

即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,代入得 m 2 ?

2 2 (k ? 1) ————————————7 分 3
(2 ? 2k 2 )(1 ? 4k 2 ) -----9 分 (1 ? 2k 2 ) 2

1 8(1 ? 2k 2 ? m 2 ) 1 2 S ? d | EF | = 1 ? k 2 ? 2 2 3 3 2 (1 ? 2k )
2 设 t ? 1 ? 2k ? 1 ,则 S ?

2 1 1 2 1 1 9 2 ? 2 ? ?2? ? ( ? )2 ? ? 3 t 3 t 2 4 2 t
2 2 时,面积 S 取得最大值 ,——————————11 分 2 2 2 x ? 1 ——————————————-12 分 2

2 当 t ? 2 ,即 t ? 1 ? 2k ? 2, k ? ?

又 m ? 1 ,所以直线方程为 y ? ?

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) (1)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ?

f ( x) 1 ,若 x1 , x2 ? ( ,1), x1 ? x2 ? 1 ,求证 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 4 x e

解: (1) f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x ————————1 分

f ' ( x) ? 2x ln(ax) ? x ? x 2 ,即 2 ln ax ? 1 ? x 在 x ? 0 上恒成立

设 u ( x) ? 2 ln ax ? 1 ? x

u' ( x) ?
3分

2 ? 1 ? 0, x ? 2 , x ? 2 时,单调减, x ? 2 单调增,所以 x ? 2 时, u ( x) 有最大值 u (2) ———— x
e ——————————5 分 2

u (2) ? 0,2 ln 2a ? 1 ? 2 ,所以 0 ? a ?
(2)当 a ? 1 时, g ( x) ?

f ( x) ? x ln x , x 1 1 1 g ( x) ? 1 ? ln x ? 0, x ? ,所以在 ( ,?? ) 上 g ( x) 是增函数, (0, ) 上是减函数——————————6 e e e 1 ? x1 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 g ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ln(x1 ? x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 e
x1 ? x 2 ln(x1 ? x 2 ) x1 x1 ? x 2 ln(x1 ? x 2 ) ——————————————————————————8 分 x2

分 因为

即 ln x1 ?

同理 ln x 2 ?

所以 ln x1 ? ln x 2 ? (

x1 ? x 2 x1 ? x 2 x x ? ) ln(x1 ? x 2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln(x1 ? x 2 ) x2 x1 x 2 x1

又因为 2 ?

x1 x 2 ? ? 4, 当且仅当“ x1 ? x 2 ”时,取等号————————————————10 分 x 2 x1

又 x1 , x2 ? ( ,1), x1 ? x2 ? 1 , ln(x1 ? x 2 ) ? 0 ——————————11 分 所以 (2 ?

1 e

x1 x 2 ? ) ln(x1 ? x 2 ) ? 4 ln(x1 ? x 2 ) x 2 x1

所以 ln x1 ? ln x 2 ? 4 ln(x1 ? x 2 ) 所以: x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ————————————12 分
4

20 . 本 小 题 满 分 12 分 ?ABC 的 内 切 圆 与 三 边 AB, BC , CA 的 切 点 分 别 为 D, E, F , 已 知

B(? 2 ,0),C( 2 ,0) ,内切圆圆心 I (1, t ), t ? 0 ,设点 A 的轨迹为 L . (1)求 L 的方程;
(2)过点 C 的动直线 m 交曲线 L 于不同的两点 M , N (点 M 在 x 轴的上方) ,问在 x 轴上是否存

???? ? ???? ???? ???? QM ? QC QN ? QC 在一定点 Q ( Q 不与 C 重合) ,使 ???? ? ? ???? 恒成立,若存在,试求出 Q 点的坐标;若 QM QN
不存在,说明理由. y A D

.I
B O E

F x

C

【解】 (1)设点 A( x, y ) ,由题知 AB ? AC ? BD ? CE ? BE ? CE

? BO ? OE ? ? OC ? OE ? ? 2 OE ? 2 ,根据双曲线定义知,点 A 的轨迹是以 B, C 为焦点,实
轴长为 2 的双曲线的右支(除去点 E ) ,故 L 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1( x ? 1) . …4 分 (2)设点 Q( x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ??? ? QM ? QC cos ? QM , QC ? QN QC cos ? QN , QC ? QM ? QC QN ? QC ? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? ???? | QM | | QN | QM QN
? cos?MQC ? cos?NQC ,? ?MQC ? ?NQC
① 当直线 MN ? x 轴时,点 Q( x0 ,0) 在 立. ……………………… 6 分

x 轴上任何一点处都能使得 ?MQC ? ?NQC 成
………………………7 分

2 2 ? ?x ? y ? 1 ② 当 直 线 MN 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 直 线 MN : y ? k ( x ? 2 ) , 由 ? 得 ? ? y ? k(x ? 2)

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2k 2 x ? (2k 2 ? 1) ? 0
? x1 ? x2 ? 2 2k 2 2k 2 ? 1 , x x ? 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1
…………… 9 分

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? 2 ) ? k ( x2 ? 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2k ? ? tan ?MQC ? kQM ?

2 2k k 2 ?1

y1 y2 ,使 ?MQC ? ?NQC ,只需 , tan ?NQC ? ?kQN ? ? x1 ? x0 x2 ? x0

t an?MQC ? t an?NQC 成立,即

y1 y2 ?? ,即 x2 y1 ? x0 y1 ? x1 y2 ? x0 y2 ? 0 , x1 ? x0 x 2 ? x0

?( y1 ? y2 ) x0 ? x2 ? k ( x1 ? 2 ) ? x1 ? k ( x2 ? 2 ) ? 2kx1 x2 ? 2x( x1 ? x2 ) ,即 ???? ? ???? ???? ???? QM ? QC QN ? QC 2 2k 2k 2 2 ,故 x 0 ? ,故所求的点 Q 的坐标为 ( x0 ? 2 ,0) 时, ???? ? ? ???? 恒 2 2 k 2 ?1 k ?1 QM QN
成立. ………………………12 分



更多相关文章:
高考数学压轴题精选(一)(老师用)
高考数学压轴题精选(一)(老师用)_数学_高中教育_教育专区。高考数学压轴题精选(一) 1. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 1? x ? ln x 在 [1,...
导数系列:一类以自然指数对数为背景的导数压轴题解法教师版
指数对数为背景的导数压轴题解法教师版_数学_高中...本文以目前数学成绩在一本线上下的学子的数学水准,进行...插中不等式很明显是加强,更加精准了,在高考中经常...
华师一附中高考数学压轴题{名师精选}
华师一附中 高考数学压轴题精 数学压轴题 高考数学压轴题精选精练 共 46 道...大学教师个人工作总结 小学英语教学教研工作总结 80份文档 家装材料选购攻略 高端...
高考数学压轴题精编精解99题,名师精选(附解答)
高考数学压轴题精选 100 题 1.设函数 f ( x ) = ? g ( x ) = f (...2 17、一个函数 f ( x ) ,如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a, b...
2012年高考数学压轴题预测(一)
2012 年高考数学压轴题预测(一) 1.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c, 0) ( c 椭圆相交于 P 、 Q 两点。 (1)求椭圆的方程...
2012年高考数学压轴题预测(一)
2012 年高考数学压轴题预测(一) 1.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c, 0) ( c 线与椭圆相交于 P 、 Q 两点。 (1)求椭圆的...
2012年高考数学压轴题预测(一)
2012 年高考数学压轴题预测(一) 1.椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c, 0) ( c 交于 P 、 Q 两点。 (1)求椭圆的方程及离心...
从2014四川省部分地区高三一诊数学压轴题探讨高等数学知识在高考中的应用
从2014 四川省部分地区高三一诊数学压轴题 探讨高等数学知识在高考中的应用 【高等数学知识背景】 (一)罗尔中值定理 【定理描述】设函数 【定理证明】 f ( x)...
[高三数学]毛老师高考选择填空压轴题精讲
[高三数学]毛老师高考选择填空压轴题精讲_数学_高中教育_教育专区。高考数学填空...第一部分 函数 1 、【 2009 年河南 12 】用 min{a,b,c} 表示 a,b,c...
由2014全国1卷高考压轴题想到函数与导数专题的一种解法
由2014全国1高考压轴题想到函数与导数专题的一种解法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。由 2014 全国 1高考压轴题想到函数与导数专题的一种解法 一般的函数...
更多相关标签:
挑战高考数学压轴题    高考数学压轴题    高考数学压轴题解析    高考数学导数压轴题    2016高考数学压轴题    高考数学最难的压轴题    高考数学选择题压轴题    陕西高考数学压轴题    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图