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1.1.1命题



思考:下面的语句的表述形式有什么特点?你
能判断它们的真假吗? (1)若直线a∥b,则a和b无公共点. (2)2+4=7. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)若x2=1,则x=1. (5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除. 这些语句都是陈述句,并且都可以判断真假。 其中语句(1)、(3)、(5)判断为真;
语句(2)、(4)、(6

)判断为假

一、命题的概念
我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断 真假的陈述句称为命题. 其中判断为真的语句称为真命题, 判断为假的语句称为假命题. 例如刚才的例子中(1)、(3)、(5)为真命 题;(2)、(4)、(6)为假命题

例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. (2)若整数a是素数,则a是奇数. (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0. (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行. (5) x>15. (6)91是素数. (7)指数函数是增函数吗? 2 ( ? 2) ? ?2 (8) (9)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b.

思考:

(1) 空集是任何集合的子集. (2)若整数a是素数,则a是奇数. (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0. (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行 (5) x>15. (6)91是素数. (7)指数函数是增函数吗? 2 ( ? 2) ? ?2 (8) (9)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b.
其中命题(2)(4)(9)有什么共同特点? 例1中的命题(2)(4)(9),具有 “若P, 则q”
的形式

二、“若p,则q”形式的命题
在数学中,具有“若P, 则q”这种形式的命题是 最常见的,我们把这种形式的命题中的p叫做命 题的 条件, q叫做命题的 结论 “若p,则q”形式的命题也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:

(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直 且平分.

例3 将下列命题改写成“若P,则q”的形式.

并判断真假;
(1)空间中垂直于同一条直线的两条直线平行;

(2)负数的立方是负数;
(3)对顶角相等.
(1)若空间中两条直线垂直于同一条直线,则这两条直线平行。 假命题 (2)若一个数是负数,则这个数的立方是负数 (3)若两个角是对顶角,则这两个角相等 真命题

真命题

观察与思考

下列两个命题中,命题(1)与命题(2)的条件和结论之 间分别有什么关系?

1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数。
2)若f ( x)是周期函数,则f ( x)是正弦函数。
可以看到,命题(2)的条件是命题(1)的结论, 命题(2)的结论是命题(1)的条件,

即它们的条件和结论互换了。

一、互逆命题: 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和 结论,分别是另一个命题的结论和条件,那么这 两个命题叫做互逆命题。 其中一个命题叫做原命题, 另一个叫做原命题的逆命题。 也就是说,如果原命题为: “若p,则q” 那么它的逆命题为: “若q,则p” 思考:你能举出一些互逆命题的例子吗?

观察与思考 下列2个命题中,命题(1)与命题(3)的条件和结论之 间分别有什么关系?

1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数。
3)若f ( x)不是正弦函数,则f ( x)不是周期函数。
可以看到,命题(3)的条件是命题(1)的条件的否定, 命题(3)的结论是命题(1)的结论的否定, 即其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件 的否定和结论的否定。

二、互否命题: 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否 定,我们把这样的两个命题叫做互否命题 如果其中一个命题叫做原命题, 那么另一个叫做原命题的否命题。 也就是说,如果原命题为: “若p,则q” 那么它的否命题为: “若﹁p,则﹁ q” 思考:你能举出一些互否命题的例子吗?

观察与思考 下列2个命题中,命题(1)与命题(4)的条件和结论之 间分别有什么关系?

1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数。

4)若f ( x)不是周期函数, f ( x)不是正弦函数
可以看到,命题(4)的条件是命题(1)的结论的否定, 命题(4)的结论是命题(1)的条件的否定,

即其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论 的否定和条件的否定。

三、逆否命题: 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否 定,我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题 如果其中一个命题叫做原命题, 那么另一个叫做原命题的逆否命题。 也就是说,如果原命题为: “若p,则q” “若﹁q,则﹁ p” 那么它的逆否命题为: 思考:你能举出一些互为逆否命题的例子吗?

下面我们将上述情况概括一下:

原命题: 若p 则q。 逆命题: 若q 则p。

否命题:若? p 则? q。 逆否命题:若? q 则? p。

四、命题的否定: 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件和结论的否定,我 们把这样的命题叫做另一个命题的否定 如果其中一个命题叫做原命题, 那么另一个叫做原命题的否定。 也就是说,如果原命题为: “若p,则q” 那么原命题的否定为: “若p,则﹁ q” 思考:你能举出一些原命题与原命题的否定的例 子吗?

练习:
1、用否定的形式填空: (1)a > 0; a≤0。 a<0且b≥0。 (2)a ≥0或b<0; (3)a、b都是正数; a、b不都是正数。 (4)A是B的子集; A不是B的子集。 结论:(1)“或”的否定为“且”,
(2)“且”的否定为“或”, (3)“都”的否定为“不都”。

原命题: 命题: 同位角相等,两直线平行。 逆命题: 两直线平行,同位角相等。

否命题: 同位角不相等,两直线不平行。

两直线不平行,同位角不相等。 逆否命题:



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