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江苏专用2018版高考数学专题复习专题3导数及其应用第19练导数的极值与最值练习文



(江苏专用) 2018 版高考数学专题复习 专题 3 导数及其应用 第 19 练 导数的极值与最值练习 文
(1)函数极值、最值的概念、求法;(2)函数极值、最值的应用. 训练目标 (1)求函数的极值;(2)求函数的最值;(3)恒成立问题;(4)零点问题. 训练题型 (1)f′(x)=0 是函数 f(x)存在极值点的必要条件,f(x)的极值可用列表法求 解题策略 解;(2)利用最值研究恒成立问题,可分离参数后构造函数,转化为函数的最值 问题;(3)零点问题可借助于函数的图象解决. 1.(2016·无锡模拟)函数 f(x)= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 2. (2016·泰州模拟)已知函数 f(x)=x(x-m) 在 x=1 处取得极小值, 则实数 m=________. 3.已知函数 f(x)=x +ax +bx-a -7a 在 x=1 处取得极大值 10,则 的值为________. 4.(2016·南京模拟)如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
3 2 2 2

x3

2

a b

1? ? ①函数 y=f(x)在区间?-3,- ?内单调递增; 2? ?

? 1 ? ②函数 y=f(x)在区间?- ,3?内单调递减; ? 2 ?
③函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; ④当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; 1 ⑤当 x=- 时,函数 y=f(x)有极大值. 2 其中判断正确的是________. 5.(2016·保定一中模拟)已知 f(x)=ax ,g(x)=9x +3x-1,当 x∈[1,2]时,f(x)≥g(x) 恒成立,则 a 的取值范围为____________. 6.(2016·唐山一模)直线 y=a 分别与曲线 y=2(x+1),y=x+ln x 交于点 A,B,则 AB 的最小值为________. 7.已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是____________.
1
3 2

8. (2016·郑州模拟)已知函数 f(x)=-x +ax -4 在 x=2 处取得极值, 若 m, n∈[-1,1], 则 f(m)+f′(n)的最小值是________. 9.(2015·四川)已知函数 f(x)=2 ,g(x)=x +ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,x2, 设 m=
x
2

3

2

f?x1?-f?x2? g?x1?-g?x2? ,n= ,现有如下命题: x1-x2 x1-x2

①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中真命题有________.(写出所有真命题的序号) 10.(2016·南通一模)已知函数 f(x)=ax +3xln x(a∈R). (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; 1 (2)若 f(x)在区间( ,e)上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. e
3

2

答案精析 17 1.- 3 2 2.1 3.- 4.③ 3

5.[11,+∞) 解析 f(x)≥g(x)恒成立, 即 ax ≥9x +3x-1. 9 3 1 ∵x∈[1,2],∴a≥ + 2- 3.
3 2

x x

x

1 1 令 =t,则当 t∈[ ,1]时, x 2

a≥9t+3t2-t3.
令 h(t)=9t+3t -t , 则 h′(t)=9+6t-3t =-3(t-1) +12. 1 ∴h′(t)在[ ,1]上是增函数. 2 1 3 ∴h′(x)min=h′( )=- +12>0. 2 4 1 ∴h(t)在[ ,1]上是增函数. 2 ∴a≥h(1)=11. 3 6. 2 解析 令 2(x+1)=a,解得 x= -1.设方程 x+ln x=a 的根为 t(x>0,t>0),即 t+ln t 2 =a,则 AB=|t- +1|=|t- 2
2 2 2 3

a

a

t+ln t
2

t ln t t ln t +1|=| - +1|.设 g(t)= - +1(t>0), 2 2 2 2

1 1 t-1 则 g′(t)= - = ,令 g′(t)=0,得 t=1,当 t∈(0,1)时,g′(t)<0;当 t∈(1, 2 2t 2t 3 3 3 +∞)时,g′(t)>0,所以 g(t)min=g(1)= ,所以 AB≥ ,所以 AB 的最小值为 . 2 2 2 1 7.(0, ) 2 1 解析 函数 f(x)=x(ln x-ax)(x>0),则 f′(x)=ln x-ax+x( -a)=ln x-2ax+1.

x

令 f′(x)=ln x-2ax+1=0,得 ln x=2ax-1.函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点, 等价于 f′(x)=ln x-2ax+1 有两个零点,等价于函数 y=ln x 与 y=2ax-1 的图象有两 个交点.在同一个坐标系中作出它们的图象(如图).

3

1 当 a= 时,直线 y=2ax-1 与 y=ln x 的图象相切, 2 1 由图可知,当 0<a< 时,y=ln x 与 y=2ax-1 的图象有两个交点,则实数 a 的取值范围 2 1 是(0, ). 2 8.-13 2a 2 3 2 解析 f′(x)=-3x +2ax,根据已知 =2,得 a=3,即 f(x)=-x +3x -4. 3 根据函数 f(x)的极值点,可得函数 f(m)在[-1,1]上的最小值为 f(0)=-4,

f′(n)=-3n2+6n 在[-1,1]上单调递增,所以 f′(n)的最小值为 f′(-1)=-9.
[f(m)+f′(n)]min=f(m)min+f′(n)min =-4-9=-13. 9.①④ 解析 设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),

C(x1,g(x1)),D(x2,g(x2)),对于①从 y=2x 的图象可看出,m=kAB>0 恒成立,故①正确;
对于②直线 CD 的斜率可为负,即 n<0,故②不正确; 对于③由 m=n, 得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 令 h(x)=f(x)-g(x)=2 -x -ax,
x
2

则 h′(x)=2 ln 2-2x-a, 由 h′(x)=0,得 2 ln 2=2x+a,结合图象知,当 a 很小时,该方程无解,∴函数 h(x)不 一定有极值点,就不一定存在 x1,x2,使 f(x1)-g(x1) =f(x2)-g(x2),即不一定存在 x1,x2 使得 m=n,故③不正确; 对于④由 m=-n,得 f(x1)-f(x2)
x

x

4

=g(x2)-g(x1), 即 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),

令 F(x)=f(x)+g(x)=2 +x +ax, 则 F′(x)=2 ln 2+2x+a, 由 F′(x)=0,得 2 ln 2=-2x-a, 结合如图所示图象可知,该方程有解,即 F(x)必有极值点,∴存在 x1,x2 使 F(x1)=F(x2), 使 m=-n.故④正确. 综上可知①④正确. 10.解 (1)当 a=0 时,f(x)=3xln x, 所以 f′(x)=3(ln x+1). 1 令 f′(x)=0,得 x= , e 1 当 x∈(0, )时,f′(x)<0; e 1 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0, e 1 所以 f(x)在(0, )上单调递减, e 1 在( ,+∞)上单调递增. e 1 所以当 x= 时, e
x x

x

2

f(x)有极小值 f( )=- .
(2)设 g(x)=f′(x)=3(ax +1+ln x), 1 其中 x∈D=( ,e). e 由题意知,g(x)在 D 上有且只有一个零点(设为 x0),且在 x0 两侧 g(x)异号. ①当 a≥0 时,g(x)在 D 上单调递增, 1 所以 g(x)>g( )≥0, e 所以 g(x)在 D 上无零点,不符合题意;
2

1 e

3 e

5

②当 a<0 时,因为 f(x)的定义域为(0,+∞), 则 g′(x)= 6a?x+ - 1 ??x- 2a 1 - ? 2a , 1 - , 2a

x
令 g′(x)=0,得 x=

g(x)在(0,
在(

1 - )上单调递增, 2a

1 - ,+∞)上单调递减. 2a

1 (i)当 g(e)·g( )<0 时, e 2 - 2<a<0, e 此时,g(x)在 D 上有且只有一个零点 x0 , 且在 x0 两侧异号. 1 3a (ii)令 g( )=0,得 2 =0,即 a=0,不符合题意. e e 2 (iii)令 g(e)=0,得 a=- 2, e 所以 1 e - = ∈D, 2a 2 1 e - )=g( ) 2a 2
′ ′

g(

1 e =3(- +1+ln ) 2 2 1 e =3( +ln )>0, 2 2 1 3a 又因为 g( )= 2 <0, e e 所以此时 g(x)在 D 上有且只有一个零点 x0 ,且在 x0 两侧 g(x)异号. 2 综上所述,实数 a 的取值范围是[- 2,0). e
″ ″

6



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