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数学杂题



自主招生中的杂题

自主招生中的杂题
一、杂题概述 二、推理问题 三、组合杂题 一、杂题概述 1.什么是杂题 2.杂题的难点 3.如何思考 二、推理问题 1.逻辑推理问题 2.数学推理问题

真题精练
【例 1】珠宝店丢失了一件珍贵珠宝,以下四人只有一人说真话,只有一人偷了珠宝。甲:我没有偷。乙: 丙是小偷。丙:丁是小偷。丁:我没有偷。则说真话的人是______,偷珠宝的人是______。

【例 2】来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人同时参加一个国际会议,他们除了本国语言外, 每人还会说其他三国语言中的一种。有一种语言是三个人都会说的,但没有一种语言人人都懂。 现知道:1.甲是日本人,丁不会说日语,但他俩能自由交谈;2.四个人中,没有一个人既能用 日语交谈,又能用法语交谈;3.乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译;4.乙、丙、丁 交谈时,找不到共同语言沟通。由上述可知,丁会说的两种语言是______、______。

【例 3】6 个球编号为 0、1、2、3、4、5,其中 1-5 中有一个球与 0 编号球的重量不同(谁轻谁重不清楚) , 试用没有砝码的天平称重两次,找出重量不同的小球。

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【例 4】长为 L 的木棒(L 为整数)可以锯成长为整数的两段,要求任何时刻所有木棒中的最长者长度严 格小于最短者长度的 2 倍, 例如长为 4 的木棒可以锯成 2+2 两段, 而长为 7 的木棒第一次可以锯 成 3+4,第二次可以将长为 4 的木棒锯成 2+2,这时 2+2+3 三段不能再锯。问:长为 30 的木棒 至多可以锯成多少段?

三、组合杂题 【例 5】有 200 件物品,可以用 100 个相同的箱子装下(每箱装 2 件) ,现不小心将这 200 件物品弄乱,于 是采用如下装法:任取一件物品,装入第一个箱子里;再取一件,若能装进第一箱则装进第一箱, 否则装入第二箱;再取一件,若能装入第二箱则装入第二箱,否则装入第三箱;以此类推,直至 所有物品都装箱。问:至少需要准备多少箱子才能确保装下这 200 件物品。

【例 6】用有限条抛物线以及它们的内部能否覆盖整个平面?(含焦点的区域称为抛物线内部)

【例 7】现有一游戏:图上有若干个点和若干条线,甲提供若干个硬币,乙可以任意将这些硬币全部摆放 在点上,并且指定一个目标顶点 u,现定义操作:从一个至少有 2 个硬币的点取走 2 个硬币,在 它的一个相邻点上放回一个硬币。若在某时刻,目标顶点上有棋子,则甲获胜。问在以下两种独 立的情形下,甲最少提供多少个硬币,才可以保证自己必胜? ⑴图是一个包含 5 个点的线段。 ⑵图是一个包含 7 个点的圈。

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