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2.2.1对数与对数运算(2)



2.2.1对数的运算性质

温故知新
定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?
的b次幂等于N, 就是

a

b

?N

,那么数b 叫做

以a为底 N的对数,记作

loga N ? b
<

br />a叫做对数的底数,N叫做真数。

底数a的取值范围: 真数N的取值范围 :

(0,1) ? (1,??) (0,??)

温故知新
(4)自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 loge N 简记作lnN。 (5)常用对数:

我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。

想一想:若lga2=2,则a= ±10 .

温故知新
有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 )


loga 1 ? 0 ( , a ? 0, a ? 1 )
loga a ? 1, (a ? 0, a ? 1)
log a N

a

?N

对数的运算性质
如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nlog (3) a M (n ? R)
语言表达:

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nlog (3) a M (n ? R) ①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”… ②有时逆向运用公式 log10 5 ? log10 2 ? log10 10 ? 1 ③真数的取值范围必须是 (0,??)
log2 (?3)(?5) ? log2 (?3) ? log2 (?5); log10 (?10)2 ? 2 log10 (?10)

④对公式容易错误记忆,要特别注意: loga (MN ) ? loga M ? loga N ,

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

例题讲解 例2 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
(2) loga x2 y
3

xy (1)loga ; z xy 解(1)
log a z

z

? log a ( xy ) ? log a z

? loga x ? loga y ? loga z

解(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

巩固练习:
(1 ) (2 )

P68

练习第1题

1. 用lgx,lgy,lgz表示下列各式:

lg( xyz) =lgx+lgy+lgz;

(3 )

xy lg z 3 xy lg z

2

=lgx+2lgy-lgz;
1 =lgx+3lgy- lgz; 2

x (4) lg 2 y z

1 ? lg x ? 2 lg y ? lg z 2

例题解析

例2 计算
(1)

log2 (2 ? 4 )
5 7

(2)

lg 100

5

1 (3) log 6 12 ? log 6 2 2

巩固练习:

P68 练习第2.3题

1 2.(1) 7;(2) 4;(3) ? 5;(4) 2
3.求下列各式的值:

6 (1) log2 6 ? log2 3 ? log ? log2 2 ? 1 2 3 (2) lg 5 ? lg 2 ? lg(5 ? 2) ? lg 10 ? 1 1 1 (3) log 5 3 ? log 5 ? log (3 ? ) ? log 1 ? 0 5 5 3 3 5 ?1 (4) log3 5 ? log3 15? log 3 ? log3 3 ? ?1 15

总结: 公式中条件: a ? (0,1) ? (1,??), N ? 0,M ? 0
( 1)

loga 1 ? 0 ( , a ? 0, a ? 1 )
loga a ? 1, (a ? 0, a ? 1)

a

log a N

?N
(1) (2) (3)

(2) loga (MN) ? loga M ? loga N

M loga ? loga M ? loga N N loga M n ? nloga M(n ? R)

学以致用
提高练习:
⑴ 若

lg x ? lg a ? 2lg b ? 3lg c, 则 x ? ____

7 ⑵ lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 3
的值为______

二、对数的换底公式:

logc N loga N ? logc a
(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0)
如何证明呢?

二、几个重要的推论:

n log a m N ? log a N m 1 loga b ? logb a
n

a, b ? (0,1) ? (1,??)
如何证明呢?

例1:计算:

?1?log9 27 ?2?log2 3 ? log3 7 ? log7 8

?3?3

1? log3 2

? 100

1 lg9 2
3

解: ?1?log9 27 ? log32 3

3 3 ? log 3 3 ? 2 2

例1:计算:

?1?log9 27 ?2?log2 3 ? log3 7 ? log7 8

?3?3

1? log3 2

? 100

1 lg9 2

解:?2?log2 3 ? log3 7 ? log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 lg 2 ?3 ? ? ? ? lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
3

例1:计算:

?1?

log9 27
1? log3 2

?2?

log2 3 ? log3 7 ? log7 8
1 lg9 2

?3? 3

? 100

1 lg9 2

解: ?3?31?log3 2 ? 100

? 3? 3

log3 2

? 10
lg 9

? ?

1 2 2 lg 9

? 3 ? 2 ? 10

? 3 ? 2 ? 9 ? 15

总结: 公式中条件: a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)

logc N loga N ? logc a
loga b ? logb a ? 1

(4)
(5)

log a m

n N ? log a N (6) m
n

例2 :已知 log 9 5 ? m, log 3 7 ? n, 试用m, n 表示 log 35 9.
1 解:? m ? log 9 5 ? log 32 5 ? log 3 5, n ? log 3 7 2 ? log 3 5 ? 2m, n ? log 3 7 2 ? log 35 9 ? 2 log 35 3 ? log 3 35
2 2 ? ? log 3 5 ? log 3 7 2m ? n

例3 : 方程 lg x ? (lg 5 ? lg 7) lg x ? lg 5 lg 7 ? 0
2

的两根分别为x1 , x2 , 求x1 ? x2 .
解: ? lg x ? (lg 5 ? lg 7) lg x ? lg 5 lg 7 ? 0
2

1 ? lg x1 ? x2 ? ? lg 35 ? lg 35 ? lg 35 1 ? x1 ? x2 ? 35
?1

?lg x1 ? lg x2 ? ?(lg 5 ? lg 7) ?? ? lg x1 ? lg x2 ? lg 5 lg 7



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