9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

珠海市2017年1月高二上学期理数期末A卷试题与答案



珠海市 2016-2017 学年度第一学期期末学业质量检测 高二理科数学试题(A 卷)
考试用时:120 分钟 总分:150 分 考试内容:数学必修 5,数学选修 2-1 一、选择题(本题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1. 若命题 p : "x ? A, 2 x ? B ,则( A. ?p : $x0 ? A, 2 x0 ? B C.

?p : $x0 ? A, 2 x0 ? B 答案:C 2. 下列命题错误 的是( .. ) ) B. ?p : $x0 ? A, 2 x0 ? B D. ?p : "x ? A, 2 x ? B

A.命题“若 lg x = 0 ,则 x = 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 lg x ? 0 ” B.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 C.命题 p : $x0 ? R ,使得 sin x0 > 1 ,则 ?p : "x ? R ,均有 sin x ? 1 D. “ x > 2 ”是“ 答案:B

1 1 < ”的充分不必要条件 x 2

3. 已知 a = (-3,2,5) , b = (1, m,3) ,若 a ^ b ,则常数 m = ( A. -6 答案:A 4. 在等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = 400 ,则 a2 + a8 = ( ) B.80 C. 160 B. 6 C. -9

r

r

r

r

) D. 9

A.40 答案:C

D.320

第 1 页 共 12 页

第 5 题图

5. 如图, ABCD—A1B1C1D1 是正方体, B1E1=D1F1=

A1 B1 , 则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是 ( 4
D.



A. 答案:A

15 17

B.

1 2

C.

8 17

3 2

6. 设两点 A 、B 的坐标为 A( -1, 0) 、B(1, 0) , 若动点 M 满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 -2 , 则动点 M 的轨迹方程为( A. x 2



y2 =1 2

B. x 2

y2 = 1( x ? ±1) 2

C. x +
2

y2 =1 2

D. x +
2

y2 = 1( x ? ±1) 2

答案:D 7. 在等比数列 {a n } 中,若 a6 = 6, a9 = 9 ,则 a3 为( A. 2 答案:D 8. 《庄子·天下篇》中记述了一个命题:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.能反映这个命题本质 的式子是( A. 1 + ) B. )

3 2

C.

16 9

D. 4

1 1 1 1 + 2 +L+ n = 2 - n 2 2 2 2 1 1 1 C. + 2 + L + n = 1 2 2 2
答案:B

1 1 1 + 2 +L + n < 1 2 2 2 1 1 1 D. + 2 + L + n > 1 2 2 2
B.

9. 若 m < n , p < q ,且 ( p - m)( p - n) < 0 , ( q - m)( q - n) < 0 ,则 m , n , p , q 的大小顺 序是( ) B. p < m < q < n C. m < p < n < q D. p < m < n < q

A. m < p < q < n 答案:A

10. DABC 的三边长分别为 a , b , c ,且 a = 1 , B = 45 , S DABC = 2 ,则 DABC 的外接圆的
o

面积为(


第 2 页 共 12 页

A. 25p

B. 5p

C.

25p 2

D.

5p 2

1 解析:∵S△ABC=2,∴ acsinB=2. 2 1 2 ∴ ×1×c× =2,∴c=4 2. 2 2 ∵b2=a2+c2-2accosB, ∴b2=12+(4 2)2-2×1×4 2× ∵ 2 =25,∴b=5. 2

b 5 =2R,∴2R= =5 2, sinB sin45°

S外接圆 =p R 2 =
答案:C

25p 故选 C. 2

11.已知 lg( x + y ) = lg x + lg y ,则 x + y 的取值范围是( ) A. (0,1] B. [2, +?) C. (0, 4] D. [4, +?) 解析:法 1:由题设,得 lg(x+y)=lg(xy), x ∴x+y=xy,且 x>0,y>0,∴y= >0, x-1 x 1 ∴x>1.∴x+y=x+ =x-1+ +2≥4, x-1 x-1 1 当且仅当 x-1= ,即 x=2(负值舍去)时等号成立.即 x+y∈[4,+∞). x-1 法 2:由题设,得 lg(x+y)=lg(xy),∴x+y=xy,且 x>0,y>0, 又Q xy ?

( x + y)2 ( x + y )2 \x+ y ? 解得 x + y ? 4 4 4

答案:D

x2 y2 12.已知 P 是双曲线 2 - 2 = 1( a > 0, b > 0) 右支上一点, F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点, a b
I 为 DPF1 F2 的内心,若 S DIPF1 = S DIPF2 +
A. 4 B. 2 C. 2

2 S DIF1F2 成立,则该双曲线的离心率为( 2
D.2 2



解析:设内切圆半径为 r,则由

S DIPF1 = S DIPF2 + \ PF1 = PF2 +

2 1 1 2 1 S DIF1 F2 得 PF1 × r = PF2 × r + ? F1 F2 × r 2 2 2 2 2

2 ? 2c ,从而 PF1 - PF2 = 2a = 2c ,故 e = 2 . 2
第 3 页 共 12 页

答案:B

二、填空题(本题共有 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) . 13. 已知抛物线的方程为 y = ax 2 ,且过点 (1, 4) ,则焦点坐标为 .

1? 1 解析:∵抛物线过点(1,4),∴a=4,∴抛物线方程为 x2= y,焦点坐标为? è0,16?. 4 答案: (0,

1 ) 16

14. 已知关于 x 的不等式 ( x - a )( x + 1 - a ) ? 0 的解集为 P ,若 1 ? P ,则实数 a 的取值范围 为 . 院墙

解析:由条件 (1 - a )(2 - a ) < 0 ,解得 1 < a < 2 答案: (1, 2) 15. 如图,某农户计划在自家后院,背靠院墙用篱笆围出一块约 篱笆 第 15 题图

8m 2 的矩形空地用来养鸡,所需篱笆总长度最小为

m.

解 析 : 设 矩 形 的 长 、 宽 分 别 为 x 、 y , 则 xy = 8 , 且 x > 0, y > 0 , 篱 笆 总 长 度

L = x + 2 y ? 2 x × 2 y = 8 ,当且仅当 x = 2 y ,即 x = 4, y = 2 时, Lmin = 8 .
答案: 8 16. 若命题“ "x ? R, ax 2 - ax - 1 ? 0 ”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析:若 a = 0 ,显然符合题意, 若 a ? 0 ,则 í

ìa < 0
2 ? D = a + 4a ? 0

,解得 -4 ? a < 0

综上: -4 ? a ? 0 答案: [ -4, 0] 17. 已知点 P 在圆 x 2 + y 2 = 1 上运动, 点 M 的坐标为 M (2, 0) ,Q 为线段 PM 的中点, 则点 Q 的 轨迹方程为 .
第 4 页 共 12 页

m+2 ì x = ? ìm = 2 x - 2 ? 2 解析:设 P ( m, n) , Q ( x, y ) ,则 í ,解得 í , n + 0 n = 2 y ? ?y = ? ? 2
由点 P 在圆上知 m + n = 1 ,从而 (2 x - 2) 2 + (2 y ) 2 = 1 整理得 ( x - 1) + y =
2 2

2

2

1 4

答案: ( x - 1) + y =
2 2

1 4

18. 已知双曲线

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0) 的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长,则该双 a2 b2


曲线的渐近线方程为

解析:焦点 (c, 0) 到渐近线 y =

b x ? bx - ay = 0 的距离为 a b x = ±2 x . a

| bc | a2 + b2

= b ,由条件 b = 2a ,故渐近线方程为 y = ±

答案: y = ±2 x 19. 四棱锥 P - ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形, AC 与

uuu r r uuu r r BD 交于点 O , 点 G 为 BD 上一点, BG = 2GD , PA = a , PB = b , uuu r r r r r uuu r PC = c ,用基底 a, b, c 表示向量 PG = .

第 19 题图

{

}

r uuu r 2 uuu r uuu r uuu r 2 uuu r uuu r uuu r uuu r 2 uuu BD = PB + BA + BC = PB + PA - PB + PC - PB 3 3 3 r 1 uuu r 2 uuu r 2r 1r 2r 2 uuu = PA - PB + PC = a - b + c 3 3 3 3 3 3 2r 1r 2r 答案: a - b + c 3 3 3
解析: PG = PB + BG = PB +

uuu r

uuu r uuur

uuu r

(

)

(

)

第 5 页 共 12 页

20. 定义:称

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,…, pn 的“均倒数”,若数列 {an } 的前 n 项 p1 + p2 + L + pn


的“均倒数”为

1 ,则数列 {an } 通项公式为 an = 3n - 1

1 n n 解析: 设数{an}的前 n 项和为 Sn,则由已知得 = = , S a1+a2+…+an n 3n - 1
∴Sn=n(3n-1)=3n2-n,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-n-[3(n-1)2-(n-1)]=6n-4 当 n=1 时,a1=S1=3×12-1=2 适合上式,∴an=6n-4. 答案:an=6n-4.

三、解答题(本题共有 5 个小题,每小题 10 分,共 50 分) . 21. (本小题 10 分) 已知△ABC 中,点 D 为 BC 中点,AB=2,AC=4. (1)若 B =

A

p ,求 sin A ; 3

B

D
第 21 题图

C

(2)若 AD= 3 ,求 BC.

解:(1)由正弦定理得

AC AB AB × sin B 3 ,故 sin C = = = sin B sin C AC 4
13 4

……………………………2 分

又Q 0 < C < p ,\ cos C = 1 - sin 2 C =

………………………………………3 分

\ sin A = sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C =

3 13 1 3 39 + 3 ………5 分 ? + ? = 2 4 2 4 8
x 2 + 3 - 22 x 2 - 1 ; = 2 3x 2 3x

(2)设 BC = 2 x ,则在 DABD 中,由余弦定理得 cos ?ADB =

则在 DACD 中,由余弦定理得 cos ?ADC =

x 2 + 3 - 42 x 2 - 13 ;……………………7 分 = 2 3x 2 3x

第 6 页 共 12 页

Q ?ADC = p - ?ADB , \ cos ?ADC = - cos ?ADB


………………………………8 分

x 2 - 13 x2 - 1 =,解得 x = 7 ,故 BC = 2 7 . ………………………………10 分 2 3x 2 3x

22. (本小题 10 分) 某客运公司用 A , B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一 次. A , B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别 为 1600 元/辆和 2400 元/辆. 公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队, 并要求 B 型车不多于 A 型 车 7 辆.若每天要运送不少于 900 名从甲地去乙地的旅客,并于当天返回甲地,为使公司从甲地 去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?营运成本最小为多少元? 解:设配备 A 型车 x 辆、 B 型车 y 辆时,从甲地去乙地的营运成本为 z 元,则……1 分

ì x + y ? 21 ?y ? x + 7 ? ? í36 x + 60 y ? 900 ,……………………4 分 ?x ? N ? ? ?y ? N
目标函数为 z = 1600 x + 2400 y ……5 分 如图,作出可行域及目标函数直线

2 z . l : z = 1600 x + 2400 y ? y = - x + 3 2400 由图,当 l 过点 A 时, z 最小. …………………………7 分
解方程组 í 故z

ìy = x + 7 ,得 A 的坐标为 x = 5, y = 12 .…………………………8 分 ?36 x + 60 y = 900

min

= 1600 ? 5 + 2400 ?12 = 36800 ………………………………9 分

答:应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆,从甲地去乙地的营运成本最小,最小为 36800 元.…10 分 23. (本小题 10 分) 数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + cn (c 是不为零的常数,n=1,2,3,…),且 a1 , a2 , a3 成

等比数列. (1)求常数 c 的值;

(2)求数列 {an } 的通项公式; (3)求数列 í

ì an - c ü 的前 n 项之和 Tn . n ? ? n×c ?

解析:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c.
第 7 页 共 12 页

∵a1,a2,a3 成等比数列,∴(2+c)2=2(2+3c), ………………………………1 分 解得 c=0 或 c=2. ∵c≠0,∴c=2. ………………………………2 分 (2)当 n≥2 时,由于 a2-a1=2,a3-a2=4,…,an-an-1=2(n-1),……………………3 分 ∴an-a1=[1+2+…+(n-1)]×2=n (n-1). ……………………4 分 又 a1=2, 故有 an=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…). 当 n=1 时,上式也成立, ∴an=n2-n+2(n=1,2,3…).……………………5 分 an-c 1?n (3)令 bn= =(n-1)? è2? ,……………………6 分 n·cn 1?2 ?1?3 ?1?4 ?1?n 则 Tn=b1+b2+b3+…+bn=0+? è2? +2×è2? +3×è2? +…+(n-1)è2? ,① 1?3 1 ?1?4 ?1?n ?1?n+1 T =0+? è2? +2×è2? +…+(n-2)è2? +(n-1)è2? .②……………………7 分 2 n 1 ?1? ?1? ?1? ?1? 由①-②得 Tn= ? ÷ + ? ÷ + L + ? ÷ - ( n - 1) ? ÷ 2 è2? è2? è2? è2?
2 3 n n +1

……………………8 分

?1? ?1? n +1 ? ÷ -? ÷ 2 2 ?1? = è ? è ? - (n - 1) ? ÷ ……………………9 分 1 è2? 12 1 n +1 = - n +1 2 2 n +1 故 Tn = 1 - n .……………………10 分 2
24. (本小题 10 分) 如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?BAD = 60o , DE ^ AB 于点 E ,将 DADE 沿 DE 折起到 DA1 DE 的位置,使 A1 E ^ EB . (1)求证: A1 D ^ DC ; (2)求二面角 E - A1 B - C 的余弦值; (3)判断在线段 EB 上是否存在一点 P ,使平面 A1 DP ^ 平面 A1 BC ?若存在,求出 若不存在,说明理由.

2

n +1

EP 的值; EB

第 8 页 共 12 页

第 24 题图

(1)证明:由条件 EA1,EB,ED 两两垂直,如图所示建立空间直角坐标 E-xyz ,………1 分 易得 DE= 2 3 从而 A1(2,0,0) ,B(0,2,0) ,C(0,4, 2 3 ) ,D(0,0, 2 3 )

uuuu r uuur \ A1 D = (-2, 0, 2 3) , DC = (0, 4, 0) …………2 分 uuuu r uuur \ A1 D × DC = 0 ,故 A1 D ^ DC …………3 分
(2)解:平面 A1BE 的一个法向量为 n = (0,0,1) ,…………4 分 由(1)∴ BA1 = (2, -2, 0) , BC = (0, 2, 2 3)

r

uuur

uuu r

ur uuur ì ur ?m × BA1 = 2 x - 2 y = 0 设平面 A1BC 的一个法向量为 m = (x,y,z) ,则 í ur uuu , r m × BC = 2 y + 2 3 z = 0 ? ?
∴令 z = 1 ,得 m = ( - 3, - 3,1) …………5 分

ur

∴ cos < m, n >=

ur r

7 7 7 ;…………6 分 7
EP = l (0 ? l ? 1) ,则 EB
第 9 页 共 12 页

∴二面角 E﹣A1B﹣C 的余弦值为 -

(3)解:若存在点 P 满足题意,设

uuur uuur uuu r uuur uuu r A1 P = A1 E + EP = A1 E + l EB = (-2, 0, 0) + l (0, 2, 0) = (-2, 2l , 0) …………7 分 uuuu r A1 D = (-2, 0, 2 3)
r uuur ì r ?u × A1 P = -2a + 2bl = 0 设平面 A1DP 的法向量为 u = ( a, b, c ) ,则 í r uuuu r u × A D = -2a + 2 3c = 0 ? ? 1
令 c = l ,则 u = ( 3l , 3, l ) …………8 分 由(2)平面 A1BC 的法向量 m = ( - 3, - 3,1) ∵平面 A1DP⊥平面 A1BC, ∴ u × m = -3l - 3 + l = 0 , 解得 l = -

r

ur

r ur

3 …………9 分 2

与 0 ? l ? 1 矛盾 ∴在线段 EB 上不存在一点 P,使平面 A1DP⊥平面 A1BC.…………10 分 25. (本小题 10 分)

x2 y2 2 过点 C (0, 2) 的椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 , 椭圆与 x 轴交于两点 A( a, 0) , a b 2 B (- a, 0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与 BD 交于点 Q.
(1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (3)当点 P 异于点 B 时,求证: OP × OQ 为定值. 解析:

uuu r uuur

2 c 2 2 2 (1)由已知得 b= 2 , = ,又 b = a - c ……1 分 a 2
解得 a=2,c= 2 ,所以椭圆方程为 (2)椭圆的右焦点为( 2 ,0),
第 10 页 共 12 页

x2 y 2 + = 1 ……2 分 4 2

第 25 题图

此时直线 l 的方程为 y=-x+ 2 ,
2

……………………3 分

代入椭圆方程化简得 3x - 4 2 x = 0 , 解得 x1=0,x2=

4 2 , 3 2 , 3

代入直线 l 的方程得 y1= 2 ,y2= 所以 D 点的坐标为 ( 故|CD|= (

4 2 2 ,) . ………………………………4 分 3 3

4 2 2 8 - 0) 2 + (- 2) 2 = ……………………5 分 3 3 3 (2)证明:当直线 l 与 x 轴垂直时, AC // BD ,与题意不符. 2 设直线 l 的方程为 y = kx + 2 (k≠0 且 k≠ ),……………………6 分 2 代入椭圆方程化简得 (2 k 2 + 1) x 2 + 4 2kx = 0 ,
解得 x1=0,x2=

-4 2 k , 2k 2 + 1

-2 2k 2 + 2 , 2k 2 + 1 -4 2k -2 2k 2 + 2 所以 D 点坐标为( , ). ……………………7 分 2k 2 + 1 2k 2 + 1 -2 2k 2 + 2 2(1 - 2k 2 ) 2(1 - 2k )(1 + 2k ) 2k 2 + 1 所以 k BD = = = 2 -4 2 k 2 - 4 2k + 4k ( 2 - 2k ) 2 + 2 2k 2 + 1 ( 2 - 2k )(1 + 2k ) 1 + 2k = = ( 2 - 2k ) 2 2 - 2k
代入直线 l 的方程得 y1= 2 ,y2=

2k + 1 ( x + 2) ,……………………8 分 2 - 2k x y 又直线 AC 的方程为 + = 1, 2 2
故直线 BD 的方程为 y = 联立解得 í

ì ? x = -2 2k ? ? y = 2k + 2

,因此 Q 点坐标为 (-2 2k , 2k + 2) .……………………9 分

又由 l 方程易得 P 点坐标为 ( -

2 , 0) , k
第 11 页 共 12 页

→ → 所以OP·OQ= ( -

2 , 0) · (-2 2k , 2k + 2) =4. k

→ → 故OP·OQ为定值.……………………10 分

第 12 页 共 12 页



更多相关文章:
广东省珠海市2015-2016学年高二上学期期末考试数学理(A...
广东省珠海市2015-2016学年高二上学期期末考试数学理(A卷)试题_高二数学_数学_...数学试题(A 卷)时量:120 分钟 分值:150 分 内容:必修 5,选修 2-1 、...
2016-2017年高二上学期数学(理)期末试题答案
2016-2017 学年度上学期期末考试 高二数学(理)答案 2017-01-04 本试卷分选择...则原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( A. 1 8. 已知双...
2016-2017年高二上学期数学(理)期末试题答案
2016-2017年高二上学期数学(理)期末试题答案_...2016-2017 学年度上学期期末考试 高二理科数学试卷 ...? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点作 x 轴的垂...
2016-2017学年第一学期期末高二数学(理科)试题
2016-2017学年第一学期期末高二数学(理科)试题_高二...选择题每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卷上...? 1 的离心率是 (3)双曲线 16 9 (A) 5 4 ...
珠海市2016-2017学年度第一学期期末质量检测试题 高二...
珠海市2016-2017学年度第一学期期末质量检测试题 高二物理(A卷)_高二理化生_...的中点时合上开关 S, 此时三个电表 A1、 A2 和 V 的示数分别 为 I1、I...
2016-2017年高二上数学(理)期中试题答案
2016-2017年高二上数学(理)期中试题答案_高中教育_教育专区。高中试卷 ...则可确定平面的个数为( A.3 B.1 或 2 C.1 或 3 D.2 或 3 ) ) ...
肇庆2016-2017学年第一学期期末高二数学(理科科)试题+...
肇庆2016-2017学年第一学期期末高二数学(理科科)试题+答案_数学_高中教育_教育...? 1 的离心率是 (3)双曲线 16 9 (A) 5 4 (B) 5 3 (C) 7 4 (...
广东省珠海市2015-2016学年高二上学期期末考试数学理(B...
广东省珠海市2015-2016学年高二上学期期末考试数学理(B卷)试题_高三数学_数学_...到答题卡上) 2 1.命题“ ?a, b ? R ,如果 a ? b ,则 a ? ab ”...
...2017年高二上学期期末考试数学(理)试题(A卷)
【中学数学试题试卷】2016-2017年高二上学期期末考试数学(理)试题(A卷)_数学...=1, 过点 A(1,1)的直线 l 与双曲线只有个公共点, 则 l 的条数为(...
2016-2017学年度高二上学期期中考试理科数学试题(20161...
2016-2017学年度高二上学期期中考试理科数学试题(20161103)参考答案_数学_高中教育....若 2 a b 高二年级数学试题(理科) 第 1 页共 4 页 过坐标原点的直线 ...
更多相关标签:
2017年珠海市入户    珠海市2017年积分入户    2017珠海市幼儿园报名    珠海市房价2017    2017珠海市公务员考试    2017 珠海市一模考试    2017年珠海市人口    珠海市2017年入户政策    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图