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高一三角向量z综合题



已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos 2? ,sin 2? ) , c ? (?1, 0) , d ? (0,1) . (Ⅰ)求证: (b ? c ) ? a ; (Ⅱ)设 f (? ) ? a? b ? d ) ,且 ? ? (0, ? ) ,求 f (? ) 的值域. (
? ? ? 17. (Ⅰ)? (b ? c)? ? (cos 2? ? 1, sin 2? ) ? ? , sin ? ) a (cos
? cos? cos2? ? sin? sin 2? ? cos? ? cos(2? ? ? ) ? cos? ? 0 ,

?

?

?

? ?

? ?

?

? ? ? ?

? ? ? ? (b ? c) ? a .
? ? ? (Ⅱ) b ? d ? (cos 2? , sin 2? ? 1) ,

? ? ? ? f (? ) ? a? b ? d ) ? cos? cos2? ? sin? sin 2? ? sin? (

? π ?? ? . 4 ?? ? (0, ? ) ,? π ? ? ? ? ? 3π , π ? .∴ sin ? π ? ? ? ? ?? 1, 2 ? . ? ? 4 2 4 4 4
? cos? ? sin?

? 2 sin

故 f (? ) 的值域为 ? ? 2,1? . 已知 f ( x) ? 4m sin x ? cos 2 x( x ? R) ,若 f ( x) 的最大值为 3,求实数 m 的值. . 解: f ( x) ? 4m sin x ? cos 2 x ? 2sin 2 x ? 4m sin x ? 1 ? 2(sin x ? m) 2 ? (2m2 ? 1) , 令 t ? sin x ,则 f ( x) 可化为 g (t ) ? 2(t ? m) ? (2m ? 1)(?1 ≤ t ≤1) .
2 2

当 ?m ≤ 0 时,则在 t ? 1处, f ( x)max ? 1 ? 4m , 由?

?1 ? 4m ? 3 1 ,得 m ? ;当 ?m ? 0 时, 2 ??m ≤ 0
?1 ? 4m ? 3 , ??m ? 0

则在 t ? ?1 处, f ( x)max ? 1 ? 4m ,由 ? 得m ? ?

1 1 .综上可得, m ? ? . 2 2

(本小题满分 12 分) 已知 A, B 是 △ABC 的两个内角. (Ⅰ)若 A, B ? (

? ?

, ) ,求证 tan A tan B ? 1 ; 4 2

(Ⅱ)若 A, B 满足 3 cos A ? cos(2 B ? A) ,求 tan( B ? A) tan B 的值.
1

19. (Ⅰ)证: tan A tan B ? 1 ?

?

?
4

? A?

? ?
2 4 ,

?B?

?
2

sin A sin B ? cos A cos B ? cos(A ? B) , ? cos A cos B cos A cos B

,?

?

2

? A? B ?? ,

?? cos( A ? B) ? 0,cos A ? 0,cos B ? 0 , ? tan A tan B ?1 ? 0 ,即 tan A tan B ? 1 .
(Ⅱ)解:由 3 cos A ? cos(2 B ? A) ,得 3 cos[( B ? A) ? B] ? cos[( B ? A) ? B] ,

? 3 cos( B ? A) cos B ? 3 sin( B ? A)sin B ? cos( B ? A) cos B ? sin( B ? A)sin B ,
即 (1 ? 3) cos( B ? A) cos B ? ( 3 ? 1)sin( B ? A)sin B ,

? tan(B ? A) tan B ?

1? 3 1? 3

? 3 ? 2.

20. (本小题满分 12 分) 已知平面向量 a ? ( 3, ?1) , b ? ( x, y)( x ? 0) ,且 | b |? 1 . (Ⅰ)若对任意实数 t 都有 | ta ? b |≥ 1 ,求向量 b ;
2 (Ⅱ) 在条件(Ⅰ)下, m ? a ? (sin 2? ? 2 cos ? )b ,n ? ( sin 2? )a ? (cos ? )b ,? 令

?

?

?

? ?

?

??

?

?

?

1 4

?

?

是锐角,若 m ? n ,求角 ? . 解: (I)由题意知 t ? a ? 2ta? ? b ≥1 ,即 4t ? 2ta ? b ≥ 0 恒成立, b
2
2

??

?

?2

??

?2

? ?

? ? ? 3x ? y ? 0 ? ? a? ? 0 . ? ? 2 b 2 ? x ? y ? 1( x ? 0) ?

1 ? ? x?2 ? 1 3 ? ,? b ? ( , ). 解得 ? 2 2 ?y ? 3 ? ? 2

(II)易知 a ? 4, b ? 1, a ? b ? 0.? m ? n,? m ? n ? 0. 即

?2

?2

? ?

??

?

?? ?

?2 ? 1 2 1 ?? ? sin 2a ? a ? ?cos ? ? sin 2 2? (sin 2? ? 2 cos ? ) ? a ? b 4 4 ? ?

?2 ? cos ? (sin 2? ? 2cos ? ) b ? 0
?sin 2 2? ? sin 2? ? cos ? ? 2cos2 ? ? 0 ? (sin 2? ? 2cos ? )(sin 2? ? cos ? ) ? 0

2

?? ? (0, ), 所以 sin 2? ? 2cos ? ? 0 ,故 sin 2? ? cos ? ? 0 2 1 ? . ? sin ? ? , 即 ? ? 2 6
21. (本小题满分 12 分) 设 a, b, c 分别是 △ABC 的边 BC, CA, AB 的长,且 a 2 ? b2 ? mc2 ( m 为常数) ,若

?

cot C ? 2006 ,求常数 m 的值. cot A ? cot B

解:

cot C cos C ? A? B cos C ? A? B sin sin sin sin , ? ? cot A ? cot B sin C ? A ? B) sin( sin C ? C sin
∵ sin C ?
a 2 ? b2 ? c2 c b a , sin B ? , sin A ? , cosC ? 2ab 2R 2R 2R





cos C ? sin A ? sin B a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 2006 sin 2 C 2c 2



又 a 2 ? b2 ? mc2 代入上式得:

(m ? 1)c 2 ? 2006 ,故 m ? 4013 . 2c 2

22. (本题满分 14 分) 已 知 向 量 m ? ( 2 s xi n

??

? x, c no ( 3 cos x, 2 cos x) , 定 义 函 数 , ?s )

f ( x? )

a

?? ? l o? m ( g n ? .

1 )

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)确定函数 f ( x) 的单调递增区间.

n .解: (Ⅰ)? m? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos x ,
2

?? ?

?? ? ? m?n ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 6 ? f ( x) ? log a [2sin(2 x ? )] ,故函数的周期为 ? . 6
(Ⅱ)当 0 ? a ? 1时,函数 y ? 2sin(2 x ?

?

?

6

) 在区间 [k? ?

?
6

, k? ?

递减且有 y ? 0 ,所以此时函数 f ( x) 的增区间是 [k? ?

?
6

, k? ?

5? )(k ? Z ) . 6

5? )(k ? Z ) 上单调 6

3

当 a ? 1 时,函数 y ? 2sin(2x ?

?
6

) 在区间 (k? ?

y ? 0 ,所以此时函数 f ( x) 的增区间是 (k? ?
17. (本小题满分 12 分)

, k? ? ](k ? Z ) . 12 6

?

, k? ? ](k ? Z ) 上单调递增且有 12 6

?

?

?

已知 ? ? ? ? 3? , 0 ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? ? 3 , sin(3? ? ?) ? 5 ,求 s in?? ? ? ? 的值.
4 4

4

4

5

4

13

? 3? ? ? ∴ ? ? ? ? ? ---------------1 分 ??? 4 4 2 4 ? 3 ? 4 又 cos( ? ?) ? ? ∴ sin( ? ?) ? ---------------3 分 4 5 4 5 ? 3? 3? ∵0 ? ? ? ∴ -------------4 分 ? ?? ? ? 4 4 4 3? 5 3? 12 又 sin( ? ?) ? ∴ cos( ? ?) ? ? ----------6 分 4 13 4 13
解:∵ ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] ----------------8 分 = ? sin[( ? ?) ? (

? 3? ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? ? ?[sin( ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] ------10 分 4 4 4 4 4 12 3 5 63 -----------12 分 ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 5 13 5 13 65

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 。 (I)求 f (x) 的周期和振幅; (II)用五点作图法作出 f (x) 在一个周期内的图象; (III)写出函数 f (x) 的递减区间.

? ? 1 3 解: (I) y ? 2( sin x ? cos x) = 2(sin x cos ? cos x sin ) 2 2 3 3 = 2 sin(x ? ? ) -----------2 分 3
函数 f (x) 的周期为 T= 2? ,振幅为 2。 (II)列表:
x
x? ?

----------------4 分

?
3

? 6 ? 2

2? 3

7? 6 3? 2

5? 3

?
3

0

?

2?

4

y ? 2 sin(x ?

?
3

)

0

2

0

-2

0

-----------------7 分

图象如上。 (III)由 2k? ?

----------------9 分

?
2

? x?

?
3

? 2k? ?

2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

7? (k ? Z ) 6

3? (k ? Z ) 解得: ---------10 分 2

所以函数的递减区间为 [2k? ?

?

6

,2k? ?

7? ], (k ? Z ) -------12 分 6

19. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的方程 2 x ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根为 sin? 和 cos? , ∈ π) ? (0, .
2

求: (I)m 的值; (II)

(III)方程的两根及此时 ? 的值.

tan? sin ? cos? 的值; ? tan? ? 1 1 ? tan?
3 ?1 2

(I)由韦达定理得: sin? ? cos? ?

----------1 分

∴ 1 ? 2 sin? cos? ?

2 3?4 4

∴ 2 sin? cos? ?

3 2 3 2

---------2 分

由韦达定理得 sin ? ? cos? ?

m 3 = 2 4

∴m ?

--------3 分

(II)∵ 1 ? 2 sin? cos? ? (

1? 3 2 ) 2

∴ sin? ? cos? ? ?

3 ?1 2

---4 分

5



sin 2 ? cos2 ? tan? sin ? cos? = ? ? tan? ? 1 1 ? tan? sin? ? cos? cos? ? sin?
---------6 分

=

sin 2 ? ? cos2 ? ? sin? ? cos? sin? ? cos?
3 ?1 2 3 >0 2

∴原式= sin? ? cos? ?

-----------------------7 分

(III) 2 sin ? cos? ?

∵ sin? 与 cos? 同号,又∵ sin? ? cos? >0 ∴ sin? 与 cos? 同正号 -------------------------8 分 ∵ ? ∈(0,π) ∴ ? ∈(0, ∵ sin ? ? cos? ?

? ) 2

------------------9 分

3 ?1 3 ?1 ,且 sin ? ? cos? ? ? 2 2
--------11 分

∴ sin? = ∴? =

3 3 1 1 , cos? = ;或 sin? = , cos? = 2 2 2 2

? ? 或? = . 6 3

---------------------------12 分

20. (本小题满分 12 分) 已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈( (I)若| AC |=| BC |,求角 α 的值;

? 3? , ). 2 2

BC (II)若 AC · =-1,求

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan ?

解: (I)∵ AC =(cosα-3,sinα), BC =(cosα,sinα-3), --2 分 ∴| AC |= (cos? ? 3) 2 ? sin 2 ? ? 10 ? 6 cos? , | BC |= cos2 ? ? (sin ? ? 3) 2 ? 10 ? 6 sin ? . 由| AC |=| BC |得 sinα=cosα. 又∵α∈( --------------4 分

5? ? 3? , ),∴α= . 4 2 2

----------------------6 分

6

BC =-1, (II)由 AC ·
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα= 由上式两边平方得 1+2sinαcosα= ∴2sinαcosα= ?

2 ---8 分 3

4 , 9

5 . ----------------------------10 分 9 2 又 2 sin ? ? sin 2? ? 2 sin ? (sin ? ? cos? ) =2sinαcosα. sin ? 1 ? tan? 1? cos?
2 ∴ 2 sin ? ? sin 2? ? ? 5 . 1 ? tan ? 9

-------------------------12 分

? ? 已知向量 a ? ?2 cos(?? ),2 sin(?? ) ?, b ? cos(90 ? ? ? ), sin(90 ? ? ? )

?

?
? ?

(I)求证: a ? b ; (II)若存在不等于 0 的实数 k 和 t ,使 x ? a ? (t ? 3)b , y ? ?ka ? tb 满足 x ? y 。试
2

?

?

?

?

? ?

?

?

k ? t2 求此时 的最小值。 t
解:由诱导公式得: a ? ?2 cos? , ? 2 sin ? ?, b ? ?sin ? , cos? ) ? -------2 分

?

?

? a ?2

? b ?1

-------------------------3 分

(I) a ? b ? 2 cos? ? sin ? ? (?2 sin ? ) ? cos? ? 0 则 a ? b (II) x ? a ? (t ? 3)b , y ? ?ka ? tb
2

? ?
?

?

?

---------5 分

?

? ?

?

?

? ? ? ? ? x ? y ? x? y ?0
?
2

-------------------------6 分

即: [a ? (t ? 3)b ] ? [?ka ? tb ] ? 0

?

?

?

? ? ? ? ? ka 2 ? [t ? (t 2 ? 3)( ?k )]a ? b ? (t 2 ? 3)tb 2 ? 0
(t 2 ? 3)t -----------------------9 分 4 k ? t 2 t 2 ? 4t ? 3 1 1 7 ∴ f (t ) ? ------12 分 ? ? [(t ? 2) 2 ? 7] ? (t ? 2) 2 ? t 4 4 4 4
∴ ? 4k ? (t 2 ? 3)t ? 0

k?

即当 t ? ?2 时,

k ? t2 7 的最小值为 ? . t 4

---------------14 分

7

12 分)已知: f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? a.( a ? R, a 为常数)
2

(1)若 x ? R ,求 f (x) 的最小正周期; (2)若 f (x) 在[ ?

? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值; 6 6

(3)在(2)条件下 f (x) 先按 m 平移后再经过伸缩变换后得到 y ? sin x. 求 m . 解:? f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2 sin(2 x ? (1)最小正周期 T ?

?
6

) ? a ?1

2? ?? 2

(2) x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? [? ? , ? ] ? 2 x ? ? ? [? ? , ? ] 6 6 3 3 6 6 2

??
即?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6
? 2a ? 3 ? 3 ? a ? 0

先向左平移 ? ? 12 (3) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 6 再向上平移 1

? f ( x) max ? 2 ? a ? 1 ? f ( x) min ? ?1 ? a ? 1

f ( x) ? 2 sin 2 x

m ? (?

?

12

,1)
3 4

19. (12 分)已知向量 m ? (1,1), 向量 n 与向量 m 夹角为 ? ,且 m ? n ? ?1 . (1)求向量 n ; (2)若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为 的值. .解: (1)设 n ? ( x, y ),由m ? n ? ?1 ,有 x ? y ? ?1 由 m与n 夹角为 ? ,有 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ? . ∴ | n |? 1, 则x ? y ? 1. ②
2 2

?
2

,向量 p ? (2 sin A,4 cos2

A ) ,求|2 n + p | 2



3 4

3 4

由①②解得 ?

? x ? ?1, ? x ? 0, 或? ? y ? 0. ? y ? ?1.

∴即 | n |? ( ?1,0) 或 n ? (0,?1). (2)由 n与q 垂直知 n ? (0,?1).

8

2n ? p ? (2 sin A,4 cos2
∴ | 2n ? p |? 20 .( 12
?

A ? 2) ? (2 sin A,2 cos A), 2

4 sin 2 A ? 4 cos2 A ? 2 …
? ? ?

n x x 分 ) 已 知 f ? x ? ? m? n , 其 中 m ? s i?x ? c o?s , 3 c o?s

?

n ? ?cos?x ? sin ?x,2 sin ?x ? ,且 ? ? 0 ,若 f ? x ? 相邻两对称轴间的距离不小于

求 ? 的取值范围。 解: f ?x ? ? ?sin ?x ? cos?x ? ? ?cos?x ? sin ?x ? ? 2 3 sin ?x ? cos?x

? 。 2

?



?? ? ? 3 sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin? 2?x ? ? 6? ?
对称轴为 2?x ? ∴x ?

?

k? ? ? 2? 6?

6

? k? ?

?

2

,k ?z

k?z
2? ?? 2?
得0 ? ? ?1

(1)由 T ? ? 得

21. (13 分)定义在非零实数集上的奇函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,且 f (?3) ? 0 . (Ⅰ) 求 f (3) 的值; (Ⅱ) 求满足 f ( x) ? 0 的 x 的集合;
p 3p (Ⅲ) 若 g ( x) ? 2a cos( x ? ) ? 1 ? a (a ? R), x ?[ , 2p ] .是否存在实数 a ,使得 4 2 f [ g ( x)] ? 0 恒成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) 是奇函数,∴ f (?3) ? ? f (3) . ∵ f (?3) ? 0 ,∴ f (3) ? 0 . (Ⅱ)∵奇函数 f ( x) 在 (??, 0) 上是减函数, ∴ f ( x) 在 (0, ?) 上也是减函数. 当 x ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ? f (?3) ,得 x ? ?3 ; 当 x ? 0 时,由 f ( x) ? 0 ? f (3) ,得 0 ? x ? 3 。 ∴当 f ( x) ? 0 时,有 x ? ?3 或 0 ? x ? 3 . 因此,满足 f ( x) ? 0 的 x 的集合为 {x | x ? ?3 或 0 ? x ? 3 }.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,要使 f [ g ( x)] ? 0 在 x ? [ 即只要使 g ( x) ? ?3 或 0 ? g ( x) ? 3 在 x ? [
p ∵ g ( x) ? a[ 2 cos( x ? ) ? 1] ? 1 , 4 p 令 t ? 2 cos( x ? ) ? 1 ,则 g ( x) ? at ? 1 . 4

3p , 2p ] 上恒成立, 2

3p , 2p ] 上恒成立. 2

∵ x ?[

3p , 2p ] , 2

9

∴x?

p 2 p 7p 9p ,1] . ? [ , ] , cos( x ? ) ? [ 4 2 4 4 4

∴ t ? [0, 2 ? 1] . ①当 a ? 0 时, g ( x) 在 x ? [
3p , 2p ] 上的最大值是 ( 2 ? 1)a ? 1 ,最小值是 1. 2 3p , 2p ] 上恒成立, 2

要使 g ( x) ? ?3 或 0 ? g ( x) ? 3 在 x ? [ 只要 ( 2 ? 1)a ? 1 ? 3 , 即 0? a ? 2 2 ? 2. ②当 a ?0 时, g ( x) 在 x ? [ 0

3p , 2p ] 上的最大值是 1,最小值是 ( 2 ? 1)a ? 1 . 2 3p , 2p ] 上恒成立, 2

要使 g ( x) ? ?3 或 0 ? g ( x) ? 3 在 x ? [

只要 ( 2 ? 1)a ? 1 ? 0 ,即 ? 2 ? 1 ? a ? 0 . 综合①②知,实数 a 的取值范围 (? 2 ? 1, 2 2 ? 1) . 22. (13 分)已知向量 a ? (cos ? x, 记 f ( x) ? a ? b ?

?

? 3 cos ? x), b ? (sin ? x, cos ? x) (其中 0 ? ? ? 1 ) ,

? ?

3 ,且满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) 。 2

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [?

, ] ,求函数 y ? f ( x) 的值域; 12 12
2

? 5?

(3)如果关于 x 的方程 3 ? [ f ( x )] ? m ? f ( x ) ? 1 ? 0 在 [? 数根,求实数 m 的取值范围。 解: (1) f ( x) ? sin ? x cos ? x ? 3 cos ? x ?
2

, ] 上有三个不相等的实 12 12

? 5?

3 2

1 3 ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) 2 2 3
由 f ( x ? ? ) ? f ( x) ,得 ? 是函数 f ( x) 的一个周期, 所以, f ( x) 的最小正周期 T ? 又由已知 0 ? ? ? 1 ,得 ? ? 1

2? ? ? ,解得 ? ? 1 2?

10

因此, f ( x) ? sin(2 x ? (2) 由 ? 如图,

?
3

)

?
12

?x?

5? ? ? 7? ,得 ? 2 x ? ? 12 6 3 6

可得

1 ? ? ? s i n (x2? ?) 2 3

1 1 2

因此函数 y ? f ( x) 的值域为 [? ,1] . (3)设 t ? f ( x) ? sin(2 x ?

?
3
2

),

要使关于 x 的方程 3 ? [ f ( x)] ? mf ( x) ? 1 ? 0 在 [?

, ] 上有三个不相等的实数根, 12 12 1 1 1 2 当且仅当关于 t 的方程 3t ? mt ? 1 ? 0 在 [ ,1) 和 [ ? , ) 上分别有一个实数根,或有 2 2 2 1 一个实数根为 1,另一实数根在区间 [ ,1) 上. 2
令 g (t ) ? 3t ? mt ? 1
2

? 5?

①当关于 t 的方程 3t ? mt ? 1 ? 0 在 ( ,1) 和 [ ? , ) 上分别有一个实数根时,
2

1 2

1 1 2 2

1 ? ? g (? 2 ) ? 0 ? ? 1 ?g( ) ? 0 ? 2 ? g (1) ? 0 ? ?
2

解得 ?2 ? m ? ?

1 2

②当方程 3t ? mt ? 1 ? 0 的一个根是 另一个根为 ?
2

1 1 时, m ? , 2 2

2 1 1 ? [? , ) ,不满足条件; 3 2 2

③当方程 3t ? mt ? 1 ? 0 的一个根是 1 时, m ? ?2 , 另一个根为 ? ? [ , 1) ,不满足条件;

1 3

1 2

11

因此,满足条件的实数 m 的取值范围是 ?2 ? m ? ? 已知 ?

?
2

1 2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

(I)求 sinx-cosx 的值;

3 sin 2
(Ⅱ)求

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值. tan x ? cot x
1 1 , 平方得sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos2 x ? , 5 25 49 ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 25

解法一: (Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 即

2 sin x cos x ? ?

7 ? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 故 sin x ? cos x ? ? . 2 5 x x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 (Ⅱ) sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x
又? ?

?

24 . 25

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (? 12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? . 25 5 125
① ②

1 ? ?sin x ? cos x ? , 解法二: (Ⅰ)联立方程 ? 5 ?sin 2 ? cos2 x ? 1. ?
由①得 sin x ?

1 ? cos x, 将其代入②,整理得 25 cos2 x ? 5 cos x ? 12 ? 0, 5
3 ? x ?s i n ? ? 5 , ? ? ? ? x ? 0,? ? 2 ?c o s ? 4 . x ? 5 ?

3 4 ?c o s ? ? 或c o s ? . x x 5 5

?



7 sin x ? cos x ? ? . 5 x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 2 2 2 (Ⅱ) tan x ? cot x x 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 ? sin x cos x ? cos x sin x

12

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 3 4 4 3 108 ? (? ) ? ? (2 ? ? ) ? ? . 5 5 5 5 125

6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? . cos 2 x
(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域和值域; (Ⅱ)判断它的奇偶性. 解: (I)由 cos2x≠0 得 2 x ? k? ?

?
2

,解得 x≠

{x x ? R 且 x≠

k? ? ? ,k ? Z } 2 4

k? ? ? , k ? Z ,所以 f(x)的定义域为 2 4

(II)∵f(x)的定义域关于原点对称且 f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (III)当 x≠ 因为 f ( x) ?

k? ? ? , k ? Z 时, 2 4
6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 (2 cos2 x ? 1)(3 cos2 x ? 1) ? ? 3 cos2 x ? 1 , cos 2 x cos 2 x

所以 f(x)的值域为 { y ? 1 ≤ y ?

1 1 或者 ? y ≤2}. 2 2

19.已知 M=(1+ cos 2 x,1 ) ,N=(1, 3 sin 2x ? a ) x ? R, a ? R, a 是常数) ( , 且 y ? OM ? ON ( O 为坐标原点) 。 (1)求 y 关于 x 的的函数关系式 y ? f ( x); (2)若 x ? ?0,

???? ???? ?

? ?? 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值,并说明此时 f ( x) 的图象可由 ? 2? ?

y ? 2sin( x ? ) 的图象经过怎样的变换而得到。 6 (3)函数 y ? g ( x) 图象和函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 求 y ? g ( x) 表达式。 ???? ???? ? 解: (1) y ? f ( x) ? OM ? ON ? (1 ? cos 2 x,1) ? (1, 3 sin 2 x ? a) = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? a ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? a 6 ? ? ? 7? ? ? ?? (2) x ? ?0, ? ,则 (2 x ? ) ? ? , , 6 ?6 6 ? ? ? 2? 所以 f ( x) 的最大值为 3 ? a ,得 a ? 1 ,

?

?

13

所以此时 f ? x ? ? 2sin(2 x ? 其图象可由 y ? 2sin( x ?

?
6

)?2; 1 , 2

?
6

) 的图象经纵坐标不变横坐标缩小为原来的

再将所得图象向上平移 2 个单位得到。

(3)设 M ? x, y ? 为y ? g (x ) 图象上任意一点, 由函数 y ? g ( x) 图象和函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称, 得 M ? x, y ? 关于 x ? 1 的对称点 M ' ? 2 ? x, y ? 在 y ? f ( x) 的图象上,所以

?? ?? ? ? y ? g ( x) ? f ? 2 ? x ? ? 2sin ? 2 ? 2 ? x ? ? ? ? a ? 1 ? 2sin ? ?2 x ? 4 ? ? ? a ? 1 ; 6? 6? ? ?
? ? ? ? 20. 已知向量 b ? (m,sin 2 x), c ? (cos 2 x, n), x ? R, f ( x) ? b ? c , 若函数 f ( x) 的图象经过点 (0,1)
和 ( ,1). 4 (1)求 m、n 的值; (2)求 f ( x) 的最小正周期,并求 f ( x) 在 x ? [0, ] 上的最小值; 4 ? 1 (3)当 f ( ) ? ,? ?[0, ? ] 时,求 sin ? 的值. 2 5 解: (I) f ( x) ? m cos 2 x ? n sin 2 x, ? f (0) ? 1,? m ? 1.

?

?

? f ( ) ? 1,? n ? 1. 4
(II) f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ?

?

2 sin(2 x ? ) , 4

?

? f ( x) 的最小正周期为 ? .

? ? ? 3? ? x ?[0, ],? ? 2 x ? ? . 4 4 4 4
?当 x ? 0 或 x ?
(III)? f (

?
4

时, f ( x) 的最小值为 1.

a 1 1 1 ) ? ,?cos ? ? sin ? ? ,?cos? ? ? sin ? . 2 5 5 5

两边平方得 25sin 2 ? ? 5sin ? ? 12 ? 0 , 解得

4 3 sin ? ? 或 sin ? ? ? . 5 5

4 ?? ?[0, ? ],?sin ? ? . 5
?? ? f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ? ? 2 ? 的图象与 y 轴交点的纵坐标为1,在相邻 ? 已知函数
14

的两点 (1)求

? x0 , 2 ?
f ? x?

3 ? ? ? x0 ? , ?2 ? ? x0 ? 0 ? f ? x ? 2 ? ,? 上 分别取得最大值和最小值.

的解析式; 的最大和最小值分别为6和2,求 a, b 的值.

(2)若函数

g ? x ? ? af ? x ? ? b

解: (1)依题意,得

T 3 3 2? 2? ? x0 ? ? x0 ? ,?T ? 3 ? ,?? ? 2 2 2 ? 3 最大值为 2,最小值为-2,? A ? 2
? 2? ? ? y ? 2sin ? x ?? ? ? 3 ?
图象经过 ? 0,1? ,? 2sin ? ? 1 ,即 sin ? ? 又

1 2

? ?

?
2

?? ?

?
6

,? f ? x ? ? 2sin ?

?? ? 2? x? ? 6? ? 3

(2)? f ? x ? ? 2sin ?

?? ? 2? x ? ? ,??2 ? f ? x ? ? 2 6? ? 3

? ?2a ? b ? 6 ??2a ? b ? 2 ?? 或? ? 2a ? b ? 2 ? 2a ? b ? 6
解得, ? 1.已知 0 ? x ?

? a ? ?1 ? a ? 1 或? . ?b ? 4 ?b ? 4

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2

?? ? ?? ? f ? x ? ? ?1 ? cot x ? sin 2 x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4 ?。 ? .已知函数
f ? x?

(1) 当 m=0 时,求

? ? 3? ? ? 8 ,4 ? ? 上的取值范围; 在区间 ?

(2) 当 tan a ? 2 时,

f ?a? ?

3 5 ,求 m 的值。
15

已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1( x ? R)
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?

已知函数 f(x)= cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x 的最大值与最小值。
2 4

【解】 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos x ? 4cos x :
2 4

? 7 ? 2sin 2 x ? 4 cos 2 x ?1 ? cos 2 x ?

? 7 ? 2sin 2 x ? 4cos2 x sin 2 x ? 7 ? 2sin 2 x ? sin 2 2 x
? ?1 ? sin 2 x ? ? 6
2

, 由于函数 z ? ? u ? 1? ? 6 在 ? ?11? 中的最大值为
2

zm a x? ? ? ?1 1 ?
最小值为

2

?6 ?1 0

zm i n? ?1 ? 1 ?

2

?6 ?6

故当 sin 2 x ? ?1时 y 取得最大值 10 ,当 sin 2 x ? 1 时 y 取得最小值 6 已知函数 f ( x) ? 2cos ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是
2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合.

? . 2

(17)本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分.
(Ⅰ)解:

16

f ?x ? ? 2 ?

1 ? cos 2?x ? sin 2?x ? 1 2 ? sin 2?x ? cos 2?x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2?x cos ? cos 2?x sin ? ? 2 4 4? ? ?? ? ? 2 sin? 2?x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ? x ? 的最小正周期是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ? x ? ?

2? ? ? ,可得 ? ,所以 ? ? 2 . 2? 2 2

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?

当 4x ?

?
4

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

?
16

?

k? ?k ? Z ? 时, sin? 4 x ? ? ? 取得最大值 1,所以函数 ? ? 4? 2 ?

? k? ? ? ? ,k ? Z?. f ? x ? 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x | x ? 16 2 ? ?
已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

解: (1)? f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 ? 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? s i n (x2? ∴周期T ?
由 2x ?

?
6

)

?
6

2? ?? 2

? k? ?

?

2

(k ? Z ), 得x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

∴函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?

?

3

(k ? Z )

17

(2)? x ? [? 因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
6 ) 在区间 [?

? ?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 12 3 3 2

? ?

? ?

3

时, f ( x) 取最大值 1

又 ? f (?

?
12

)??

3 ? 1 3 ? ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 2 2 2 2 12

所以 函数 f ( x) 在区间 [?

3 ,1] , ] 上的值域为 [? 2 12 2

? ?

? 已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos( x ? ? )(0 ? ? ? π , ? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)
图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

? 解: (Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos( x ? ? )
= 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos( x ? ? )? ? 2 ? 2 ?

=2sin( ?x ? ? -

π ) 6

因为 f(x)为偶函数, 所以 对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立,

π π )=sin( ?x ? ? - ). 6 6 π π π π 即-sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π 整理得 sin ?x cos( ? - )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. 6 6 π π π 又因为 0< ? <π,故 ? - = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2
因此 sin(- ?x ? ? -

2?
由题意得

?

? 2?

?
2

,   所以  ? =2.



f(x)=2cos2x.

18

f ( ) ? 2 cos ? 2. 8 4 ? ? (Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标 6 6
因为 伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f (

?

?

?

? ) 的图象. 4 6

?

所以    g ( x) ? f (

?

? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2 cos?2( ? )? ? 2 cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?

当 即

2kπ≤

?
2

?

?
3

≤2 kπ+ π (k∈Z),

4kπ+≤

2? 8? ≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3
2? 8? ? ? ?4k? ? 3 ,4k? ? 3 ? ? ?
(k∈Z)

因此 g(x)的单调递减区间为 已知函数

f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代 数式的化简变形和运算能力.(满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? cos x?

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x? 1 ? sin x 1 ? cos x

? cos x?

(1 ? sin x) 2 (1 ? cos x) 2 ? sin x? cos 2 x sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? cos x? ? sin x? . cos x sin x

? 17? ? ? x ? ? ?, ? ,? cos x ? ? cos x, sin x ? ? sin x, ? 12 ?

1 ? sin x 1 ? cos x ? g ( x) ? cos x? ? sin x? ? cos x ? sin x

? sin x ? cos x ? 2

19

= 2 sin ? x ? (Ⅱ)由 ?<x ?

? ?

?? ? ? 2. 4?

17? 5? ? 5? 得 , <x ? ? . 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? ?sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?
又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17? ? (当 x ? ? ?, ) , <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin 2 ? 3 4 2 4 4 ? ?
? 4 2 ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 2 4

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 .

?

?

若0 ? x ?

?
2

, 求函数 y ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ??
? sin x ? ?

1 ? ? 的最小值。 cos x ?

解:令 t ? tan

x ,则 2

sin ? x

2t 1? t2 , cos x ? , 1? t2 1? t2

所以y ?

1? t ,即yt 2 ? (1 ? y )t ? 1 ? 0 t (1 ? t )

当y ? 0时,由t ? R,得 ? ? ?1 ? y ? ? 4 y ? 0,
2

即 y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,y ? 3 ? 2 2 或y ? 3 ? 2 2 . 当y ? 0时,t ? ?1 由于 0 ? x ? ,有 2 1 ?? 1 ? ? y ? ?1 ? ? ?1 ? ? ? 1. ? sin x ? ? cos x ?

?

故 y min ? 3 ? 2 2 . 求函数 y ?

sin x ? 1 的最值。 cos x ? 2

解:原函数可变形为

s i n ? y c o s ? ?2 y ? 1,即 x x

20

s i nx ? ? ) ? ? (

1? 2y 1? y2

(其中? ? arctan y)

利用 sin( x ? ? ) ? 1,即 平方整理得 ?

?2 y ? 1 1? y2

? 1,

4 ? y ? 0。 故 3

4 y m i n? ? ,y m a x? 0. 3
求函数 f ( x) ? 2 ? 4a sin x ? cos 2 x 的最大值和最小值。 分析:函数 f ( x ) 的解析式可以变换成关于 sin x 的二次函数,定义域为 ?1,1 ,应该 讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间 ?1,1 的位置,才能确定其最值。 解: y ? f ( x ) ? 2 sin x ? 4a sin x ? 1 ? 2(sin x ? a ) ? 1 ? 2a .
2 2 2

?

?

?

?

设 sin x ? t,则 ? 1 ? t ? 1,

并且y ? g(t ) ? 2(t ? a) 2 ? 1 ? 2a 2 .
当a ? ?1时,如下图所示, 有y max ? g (1) ? 3 ? 4a, y min ? g ( ?1) ? 3 ? 4a.

当 ? 1 ? a ? 1时,如下图所示,有
y m i n? g (a ) ? 1 ? 2a 2 ,y m a 为g ( ?1) 和g (1) 中的较大者,即 x

y m a x? 3 ? 4a ( ?1 ? a ? 0) y m a x? 3 ? 4a (0 ? a ? 1)

21

当a ? 1时,如下图所示,有 y max ? g ( ?1) ? 3 ? 4a y min ? g (1) ? 3 ? 4a.

求函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin x ? cos x 的最值。 解:设 sin x ? cos x ? t ,则 ? 2 ? t ?

2

t 2 ? ?s i n ? cos x ? ? 1 ? 2 sin x cos x x
2

? s i n cos x ? x

t2 ?1 2
t2 ?1 1 ? t ? (t ? 1) 2 ? 1 2 2

因此, f ( x ) ? ? (t ) ?
? f ( x ) m a x? ? ? 2 ?

?

?

2 1 1? 2 2 ? 2 ?1 ?1? 2 2 f ( x ) m i n? ? (1) ? ?1

?

?

已知 f ( x) ?

1 ? cos x ? sin x 1 ? cos x ? sin x ? 1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

(I)化简 f(x);

x (II)是否存在 x,使得 tan ? f ( x)与 2

1 ? tan 2 sin x

x 2 相等?

若存在,求 x 的值,若不存在,请说明理由. 化简: cot 20? cos10? ? 3 sin 10? tan 70? ? 2 cos 40? 已知函数 f ( x) ? a sin x ? cos x ? 3 a cos2 x ? (1)写出函数的单调递减区间; (2)设 x ?[0, ] ,f (x)的最小值是-2,最大值是 3 ,求实数 a、b 的值. 2 )解: f ( x) ? a(sin x ? cos x ? 3 cos x ?
2

3 a ? b (a>0) 2

?

3 )?b 2

1 1? c o s x 2 3 ? ?a?( s i n x ? 3 ? 2 ? ) ? b ? a s i n2( ? ) ? b x 2 2 2 3

22

∵a>0,x∈R,∴f (x)的递减区间是 [k? ?

5 11 ? ,? ? ? ] (k∈Z) k 12 12

(2)解:∵x∈[0, ∴ sin(2 x ?

? ? ? 2? ],∴2x∈[0, ? ],2x- ∈[ ? , ] 2 3 3 3

?
3

) ?[?

3 ,] 1 2 3 a ? b ,最大值是 a ? b 2

∴函数 f (x)的最小值是 ?

? 3 a ? b ? ?2 ?? 由已知 得 ? 3 , 解得 a=2,b= 3 ? 2 ?a ? b ? 3 ?
)已知函数 f ( x) ?

3 sin(? x ? ? ) ? cos( x ? ? )( 0 ? ? ? π , ? ? 0 )为偶函数,且函 ?

数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f ? π ? 的值; ? ? ?8? (Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

π . 2

π 个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标伸 6

长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的单调递减区 间. 已知 A、B、C 的坐标分别是 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cos ? ,sin ? ) . (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1, 求 2sin ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan ? (I)?A(3,0) ,B(0,3) ,C(cos ? ,sin ? ),
2

??? ?

???

??? ??? ?

???? ??? ? ? AC ? (cos ? ? 3,sin ? ), BC ? (cos ? ,sin ? ? 3) .-----------------------------1 分
由 AC ? BC 得 AC ? BC , 所以, (cos ? ? 3) ? sin ? ? cos ? ? (sin ? ? 3) ,--------------------------3 分
2 2 2 2

??? ?

???

??? 2 ?

??? 2

?sin ? ? cos? , ? tan ? ? 1 .---------------------------------------------------5 分

?? ? k? ?

, (k ? Z ) .-------------------------------------7 分 4 ??? ??? ? (II)由 AC ? BC ? ?1, 得 cos ? (cos ? ? 3) ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1 .
即 sin ? ? cos ? ?

?

2 .-------------------------------------------------------------9 分 3
23

5 ? 2sin ? cos ? ? ? .------------------------------------------------------------10 分 9
2 2 ? 2 sin ? ? sin 2? ? 2sin ? ? 2sin ? cos ? 1 ? tan ? 1 ? sin ? cos ? ? 2sin ? cos? 5 ? ? .-----------------------------------------------------12 分 9

已知 f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? a(a ? R) .
2

(I)若 x ? R ,求 f ( x) 的单调增区间; (II)若 x ? ?0,

? ?? 时, f ( x) 的最大值为 4,求 a 的值; ? 2? ?

(III)在(II)的条件下,求满足 f ( x) ? 1 ,且 x ? ? ?? , ? ? 的 x 的集合. (I) f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? a ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a
2

? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 .------------------------------------------------------------------2 分 6
由? 得?

?

?

?

2

? 2k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?

?
6

6

?

?

2

? 2k? , k ? Z ,-------------------------------------------3 分

3

? k? , k ? Z .
? ?

所以, f ( x) 的单调增区间为: ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? .-----------------------4 分 6 ? 3 ? (II) ? x ? ?0, 当 2x ?

?

?

? ? ? 7? ? ? ?? ,? 2 x ? ? ? , ,---------------------------------------6 分 6 ?6 6 ? ? ? 2? ?

?
6

?

?
2

,即x ?

?
6

时, sin(2 x ?

?
6

) 的最大值为 1.

f ( x) 的最大值为 3 ? a ? 4,? a ? 1 .-------------------------------------------8 分

? 1 ) ? 2 ? 1,? sin(2 x ? ) ? ? .-----------------------------10 分 6 6 2 ? ? ? 5? ? 2 x ? ? ? ? 2k? , 或 2 x ? ? ? ? 2k? , k ? Z .----------------------12 分 6 6 6 6
(III) ? 2sin(2 x ? 由已知, x ? ? ?? , ? ? ,所以,x 的集合为 ??

?

? ? 5? ? ? ? , , ? , ? .-----------------14 分 2 2? ? 6 6

已知: a . b . c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2)
24

(1)若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; (2)若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ。 2
2 2

.解:⑴设 c ? ( x, y ),?| c | ? 2 5 ,? x ? y

? 2 5 ,? x 2 ? y 2 ? 20

? c // a, a ? (1,2),? 2 x ? y ? 0,? y ? 2 x
由?

? y ? 2x
2 2 ? x ? y ? 20

∴?

?x ? 2 ?y ? 4

或 ?

? x ? ?2 ? y ? ?4

∴ c ? (2,4), 或c ? (?2,?4) ⑵? (a ? 2b) ? (2a ? b),? (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0 ……(※)

2

2

?| a | 2 ? 5, | b | 2 ? (

5 2 5 ) ? , 代入(※)中, 2 4

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2
? 5 2 ? ?1,

5 a ?b ?| a |? 5 , | b |? ,? cos? ? ? 2 | a |?|b|

5 5? 2

?? ? [0, ? ] ?? ? ?

22.函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m ( x ? R) (1)化简函数 f (x) 的表达式,并求函数 f (x) 的最小正周期; (2)若 x ? [0, ? ] ,是否存在实数 m,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ] ?若存在,请求出 2 2 2

1 7

25

m 的取值;若不存在,请说明理由。 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? m
2

? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? m ? 2 sin(2 x ?
∴函数 f (x) 的最小正周期 T ? ?

?
6

) ? m ?1

(Ⅱ)假设存在实数 m 符合题意, ? x ? [0, ∴

?
2

],

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? 1 ,则sin(2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 2

∴ f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

6

) ? m ? 1 ? [m,3 ? m]

1 7 1 m? 2 2 2 1 1 7 ∴存在实数 m ? ,使函数 f (x) 的值域恰为 [ , ] 2 2 2
又∵ f ( x) ? [ , ] ,解得

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