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三角函数公式大全



三角函数公式
一、任意角的三角函数 在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦函数: sin ? ? 余切函数: cot? ?
y r
x2 ? y 2 ,

余弦函数: cos ? ? 正割函数: sec ? ?

x r
r x

正切函数:

tan ? ? 余割函数: csc? ?

y x

x y

r y

二、同角三角函数的基本关系式

六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间 1”;记忆方法“对角线上两个 函数的积为 1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方; 任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”

倒数关系: sin x ? csc x ? 1 , cos x ? sec x ? 1 , tan x ? cot x ? 1 。 商数关系: tan x ?
sin x cos x , cot x ? 。 cos x sin x

平方关系: sin 2 x ? cos2 x ? 1 , 1 ? tan2 x ? sec 2 x , 1 ? cot2 x ? csc2 x 。 积的关系:sinx=tanx· cosx cotx=cosx· cscx 三、诱导公式 公式一:设 ? 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα tan(2kπ+α)=tanα cos(2kπ+α)=cosα cot(2kπ+α)=cotα (其中 k∈Z) cosx=sinx· cotx secx=tanx· cscx tanx=sinx· secx cscx=secx· cotx

公式二:设 ? 为任意角,π+α 的三角函数的值与 ? 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα tan(π+α)=tanα cos(π+α)=-cosα cot(π+α)=cotα

1

公式三:任意角 α 与-α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四:利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα ? 公式五: ? ? 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 ? ? sin( ? ? )=cosα cos( ? ? )=sinα 2 2 ? ? tan( ? ? )=cotα cot( ? ? )=tanα 2 2 ? 公式六: ? ? 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 ? ? sin( ? ? )=cosα cos( ? ? )=-sinα 2 2 ? ? tan( ? ? )=-cotα cot( ? ? )=-tanα 2 2 3? ? ? 与 α 的三角函数值之间的关系: 公式七: 2 3? 3? ? ? )=-cosα ? ? )=-sinα sin( cos( 2 2 3? 3? ? ? )=cotα ? ? )=tanα tan( cot( 2 2 3? ? ? 与 α 的三角函数值之间的关系: 公式八: 2 3? 3? ? ? )=-cosα ? ? )=sinα sin( cos( 2 2 3? 3? ? ? )=-cotα ? ? )=-tanα tan( cot( 2 2 公式九:利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα ⑴ ? ? 2k? (k ? Z ) 、 ? ? 、 ? ?? 、 ? ?? 、 2? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的同 名函数值,前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名不变, .. 符号看象限) ⑵

?
2

?? 、

?
2

?? 、

3? 3? ?? 、 ? ? 的三角函数值,等于 ? 的异名函数值,前 2 2

面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名改变,符号看象限) .. 四、和角公式和差角公式
2

sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? ? sin ? ? sin ?

sin ?( ? ? ) ? s i n ? ?c o ? s ? c o? s ?s i n ? cos ?(? ? ) ? c o ? s ?c o ? s ?s i n ? ?s i n ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

t an ?(? ? ) ?

t a? n ?t a n ? 1? t a ? n ?t a n ?

五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2 2 co2 s? ? c o 2s? ? s i n ? ? 2 c o 2s? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ? ? (?)

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
sin 2? ? 2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan2 ? cos 2 ? ? , , tan 2? ? 。 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示。 ..

七、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin

???
2

cos

???
2

sin ? ?s i n ? ? 2c o s

???
2

sin

???
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

???
2

cos

???
2

cos ? ?cos ? ? ?2 s i n

???
2

sin

???
2

八、积化和差公式
sin ? ? cos ? ?
cos ? ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2
1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2

cos ? ?s i n ??

1 ?s i n?( ? ? ) ? s i n?( ? ? )? 2
1 ?c o s?( ? ? ) ? c o s?( ? ? )? 2

sin ? ?s i n ? ??

3

九、辅助角公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
其中:角 ? 的终边所在的象限与点 ( a, b) 所在的象限相同,

sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ?

b 。 a

十、正弦定理
a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

十一、余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

十二、三角形的面积公式
S ?ABC ? S ?ABC ? S ?ABC ? 1 ? 底?高 2 S ?ABC ? 1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2

abc ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 4R a?b?c ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2

S?ABC ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ?海伦公式(其中 p ?

a?b?c ) 2

4



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