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导学案025平面向量的概念及线性运算



济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 024

班级:高三()

姓名:

平面向量的概念及线性运算 考纲要求 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其

几何意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 考情分析 1.平面向量的线性运算是考查重点. 2.共线向量定理的理解和应用是重点,也是难点. 3.题型以选择题、填空题为主,常与解析几何相联系. 教学过程 基础梳理 1.向量的有关概念 (1)向量:既有 又有 的量叫向量;向量的大小叫做向量的 (2)零向量:长度等于 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 的向量. (4)平行向量:方向 或 的非零向量,又叫共线向量, 规定:0 与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且 相同的向量. (6)相反向量:长度相等且 相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a + b) + c = a +(b+c)

加法

求两个向量和的运 算 三角形法则

平行四边形法则 减法 求 a 与 b 的相反向 量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差 a-b=a+(- b) 三角形法则

3.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记 作 ,它的长度与方向规定如下: ①|λ a|=|λ ||a|; ②当 λ >0 时,λ a 与 a 的方向 ;当 λ <0 时,λ a 与 a 的方向 ; 当 λ =0 时,λ a=0. (2)运算律:设 λ ,μ 是两个实数,则 ①λ (μ a)=(λ μ )a;②(λ +μ )a=λ a+μ a;③ λ (a+b)=λ a+λ b. 4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ,使得 双基自测 1.下列给出的命题正确的是 A.零向量是唯一没有方向的向量 ( )

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 024

班级:高三()

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B.平面内的单位向量有且仅有一个 C.a 与 b 是共线向量,b 与 c 是平行向量,则 a 与 c 是方向相同的向量 D.相等的向量必是共线向量 2.如右图所示,向量 a-b 等于 ( ) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2

C.e1-3e2 D.3e1-e2 3.(教材习题改编)设 a,b 为不共线向量,AB=a+2b,BC= -4a-b,CD=-5a-3b,则下列关系式中正确的是( ) A.AD=BC B.AD=2BC C.AD=-BC D.AD=-2BC 4.化简:AB+DA+CD=________. 5.已知 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a+λ b 与-(b-3a)共线,则λ = ________. 典例分析 考点一、平面向量的基本概念 [例 1] 给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB=DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充 要条件; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④λ ,μ 为实数,若λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 变式 1.设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a= |a|a0;②若 a 与 a0 平行,则 a=|a|a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0. 上述命题中,假命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 涉及平面向量有关概念的命题的真假判断,准确把握概念是关键;掌握向量与数 的区别,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法. 考点二、平面向量的线性运算 [例 2] (2011·四川高考)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA+CD+EF= ( )

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A.0 B.BE 变式 1 本例条件不变,求 AC+AF.

C.AD

D.CF

变式 2.(2012·杭州五校联考)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC 2 =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|= A.8 C.2 B.4 D.1 ( )

1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中,充分利用 相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质, 把未知向量用已知向量表示出来. 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并 同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用.运用上述法则可简 化运算 考点三、共线向量 [例 3] (2012·南昌模拟)已知向量 a,b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b. 如果 c∥d,那么 ( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 变式 3.(2012·南通月考)设 e1,e2 是两个不共线向量,已知 AB= 2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2. (1)求证:A、B、D 三点共线; (2)若 BF=3e1-ke2,且 B、D、F 三点共线,求 k 的值.

1.向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数λ 使 b=λ a.要注意通常 只有非零向量才能表示与之共线的其他向量, 要注意待定系数法和方程思想的运 用. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意 向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点 共线. 易错矫正 忽略 0 的特殊性导致的错误

[考题范例] (2012·临沂模拟)下列命题正确的是 ( ) A.向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ ,使 b=λ a; B.在△ABC 中,AB+BC+CA=0; C.不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不可能同时成立; D.向量 a、b 不共线,则向量 a+b 与向量 a-b 必不共线 [失误展板]

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错解一:a、b 共线,必然是有且只有一个实数 λ ,使 b=λ a,故选 A. 错解二:首尾相连,始终如一.在△ABC 中,AB、BC、CA 围成 了一个封闭图形,故 AB+BC+CA=0,故选 B. 错解三:当 a 与 b 同向时,式子中第一个等号不成立;当 a 与 b 反向时,式子中 第二个等号不成立,当两个向量不共线时,两个等号都不成立,故两个等号不可 能同时成立,故选 C. 错因:错解一,忽视了 a≠0 这一条件.错解二,忽视了 0 与 0 的区别,AB+BC +CA=0;错解三,忽视了零向量的特殊性,当 a=0 或 b=0 时,两个等号同时 成立. [正确解答] ∵向量 a 与 b 不共线,∴a,b,a+b 与 a-b 均不为零向量. 若 a+b 与 a-b 平行,则存在实数 λ ,使 a+b=λ (a-b), 即(λ -1)a=(1+λ )b, ?λ -1=0 ∴? ?1+λ =0 故选 D. ,λ 无解,故假设不成立,即 a+b 与 a-b 不平行,

一条规律 一般地, 首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量 终点的向量. 两个防范 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则 λ 可能不存在,也可能有无数 个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量 平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.

本节检测

??? ? ??? ? ???? ??? ? AB = DC ,且| AB |=| BC |,那么四 1.(2012·潍坊模拟)在四边形 ABCD 中,
边形 ABCD 为( A.平行四边形 C.长方形 ) B.菱形 D.正方形 ??? ? ??? ? ??? ? 2.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA =2 BP ,则 ( ) ??? ??? ? ? A. PA + PB =0

? ??? ??? ? PB + PC =0 C.

??? ? ??? ? B. PC + PA =0 ? ??? ??? ??? ? ? PA + PB + PC =0 D.

??? ??? ??? ? ? ? OA + OB + CO =0, 3.(2012·揭阳模拟)已知点 O 为△ABC 外接圆的圆心,且
则△ABC 的内角 A 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120°

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? ? ??? ? ??? ??? 1 ??? ? AD =2 DB ,CD = CA 4.(2012·银川模拟)在△ABC 中,D 为 AB 边上一点,若 3
??? ? CB ,则 λ 的值为( +λ
A.1 B. 1 3 ) C. 2 3 D.- 2 3 )

5. 已知向量 p= A.[0, 2] C.(0,2]

a b + , 其中 a、 均为非零向量, b 则|p|的取值范围是( |a| |b| B.[0,1] D.[0,2]

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? 6.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C,若 OA -3 OB +2 OC =0,则 ??? = BC | |

________.

??? ? ??? ? ??? ? 7.设向量 e1,e2 不共线, AB =3(e1+e2), CB =e2-e1, CD =2e1+e2,给出下
列结论:①A、B、C 共线;②A、B、D 共线;③B、C、D 共线;④A、C、D 共线, 其中所有正确结论的序号为________.

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