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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 常考问题 函数与方程及函数的应用 文


常考问题 2
[真题感悟]

函数与方程及函数的应用

1.(2013· 湖南卷改编)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为 ________. 解析 由已知 g(x)=(x-2)2+1,所以其顶点为(2,1),又 f(2)=2ln 2∈(1,2),可知点(2,1) 位于函数 f(x)=2ln x 图象的下方, 故函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图 象有 2 个交点. 答案 2 2 . (2012· 江苏卷 ) 设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [ - 1,1] 上, f(x) = ax+1,-1≤x<0, ? ? 1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?bx+2 2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. ? ,0≤x≤1, ? x + 1 ? b+2 1? ?3? 解析 因为函数 f(x)是周期为 2 的函数, 所以 f(-1)=f(1)?-a+1= , 又 f? ?2?=f?2? 2 1 b+2 2 1 1 - ?? =f? =- a+1,联立列成方程组解得 a=2,b=-4,所以 a+3b=2-12 2 ? ? 3 2 2 =-10. 答案 -10
?-x2+2x,x≤0, ? 3.(2013· 新课标全国Ⅰ卷改编)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值 ?ln?x+1?,x>0. ?

范围是________. 解析 当 x≤0 时, f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0, 所以|f(x)|≥ax, 化简为 x2-2x≥ax, 即 x2≥(a+2)x,因为 x≤0,所以 a+2≥x 恒成立,所以 a≥-2;当 x>0 时,f(x)=ln(x +1)>0,所以|f(x)|≥ax 化简为 ln(x+1)>ax 恒成立,由函数图象可知 a≤0,综上,当- 2≤a≤0 时,不等式|f(x)|≥ax 恒成立. 答案 [-2,0]

4.(2013· 天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是 a,b(0<b<a)的铁皮的四角切去相 同的正方形,然后折成一个无盖的长方体的盒子,若这个长方体的外接球的体积存在最 a 小值,则 的取值范围是________. b b? 解析 设切去正方形的边长为 x,x∈? ?0,2?, 则该长方体外接球的半径为 1 r2= [(a-2x)2+(b-2x)2+x2] 4
1

b? 1 = [9x2-4(a+b)x+a2+b2],在 x∈? ?0,2? 4 2?a+b? b 存在最小值时,必有 < , 9 2 a 5 a 解得 < ,又 0<b<a? >1, b 4 b 5 a 1, ? . 故 的取值范围是? 4? ? b 5 1, ? 答案 ? ? 4? [考题分析] 高考对本内容的考查主要有: (1)函数与方程是 A 级要求,但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起 来考查,是重要考点; (2)函数模型及其应用是考查热点,要求是 B 级; 试题类型可能是填空题,也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.

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