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2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛



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中 等 数 学 

2 0 0 4年 全国高中 数学 联赛福建 赛区 预赛  
选择题( 每小题 4 分, 共2 4 分)   1 . 已知点(  , Y ) 在直线  + 2 y : 3 上移 




( A ) 吉  

( B )  ( c )  ( D )  
4 . 甲、 乙、 丙3 人用擂台赛形式进行训  练. 每局 2 人进行单打比赛, 另1 人当裁判.   每一局的输方去当下一局的裁判, 而由原来  的裁判向胜者挑战. 半天训练结束时, 发现甲   共打了 1 2 局, 乙共打 2 1 局, 而丙共当裁判 8   局. 那么, 整个比赛的第 1 0 局的输方(  
( A ) 必是甲   ( B ) 必是乙  

动. 当2   + 4 r 取最小值时, 点(  , y ) 与原点的 
距离是(   ) .  

( A ) 学( B ) 4 5   ( c )  

9  

2 . 设双曲线  一y ,  :1 的离心率 e ∈  

) .  

【  , 2 j . 则 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 夹 角 n 的  
取值范围是(   ) .  


( C ) 必是丙 

( D ) 不能确定 

( A ) [ 詈 , 詈 】   ( B ) [ 詈 , 詈 】   ( c ) [ 号 , - 丌 y 】   ( D ) [ 号 ,   】  
3 . 正四面体的4 个面上分别写着 1 、 2 、 3 、   4 . 将4 个这样均匀的正四面体同时投掷于桌  面上, 与桌面接触的4 个面上的 4 个数的乘  积被 4 整除的概率是(   ) .  
S i  口 =1 一¥  p —s i n 2 ) , =   1( c 0 8   2 p+c o  ̄ 2 7 )   =C O S(  +y ) ‘ c o s( p—y ) .  

5 . 曲 线  + ’ , 2 一 a y : 0 与   +   +   0 有且只有 3 个不同的公共点. 那么, 必有 
) .  

(  

( A ) ( n   + 4 a b + 4 ) ( a b +1 ) : 0   ( B ) ( a 4 — 4 a b 一 4 ) ( a b +1 ) : 0   ( C ) ( n   + 4 a b + 4 ) ( a b 一1 ) : 0   ( D ) ( n   一 4 a b 一 4 ) ( a b 一 1 ) : 0  

6 . 两个周期函数 Y   、 Y : 的最小正周期分 
s i d口 l + s  / 3 +s  7 l =1 .  

s i n 2 p=C O ¥ ( a+y ) ? c o s( 口一y )   =C O ¥ ( 口 l +7 t ) ? C O ¥( 口 l —y 1 ) .  

当 l f + y ≥ 号 时 , a + l f + y > 争 
当f l + y < 要时, 因 为  
c o s( 』 9 一y ) >c o s( 』 9 +y ) > 0 ,  

因为 口 l —y l ≤口 一y , 所以 ,  
C O ¥( 口 l —y 1 ) ≥c o ¥( 口一y ) .  

又 由 ① 易 知a + y < 号, a 。 + y 。 < 号, 所 以 ,  
C O ¥ (  +y ) ≥c o ¥ ( 口 l +y 1 ) .  

所 以 ,  a >  ( a + 1 f ) =  [ 号 一 ( l f + y ) 】 .  
因 此, a > 要一 ( l f + y ) .  

从而, 口+y ≤口 l +y 1 .  

如果运用调整法, 只要 a 、   、 y 不全相等, 总可  通过调整, 使口 。 + p 。 + y 。 增大.   故当 a =p =y = a m s i n   时, a +   +y 取最大   值3 a r c s i n   .  
广 _  

故d + p + y > 詈.  
另一方面, 不妨设 O t ≥p ≥y , 则 
s   ≥

雩 , s i n   y ≤ 雩 .  

综 上 可 知 , 号< a + I 9 + y ≤ 3 a r c s i n 4 了 3 .  
( 欧阳新龙 黄仁寿 提供)  

令   a 。 = 雩 , s i n   y 。 : √   一 ( 雩 )   一 s   p , 则  

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2 0 0 5 年第 4 期 

3 1  

别为 n 、 6 , 且6 =胍( t / , ≥2 , t / , 为整数 ) . 如果  函数 Y   =Y   +Y   的最小正周期为 t , 那么 ,   下列 5 种情形 :  
①t < n ,   ②t =n ,   ③n <t <6 ,   ④t =6 , ⑤t >6   中, 不可能出现的情形的种数是(  

( 1 ) 求数列的通项公式, 实数 n 、 6 满足  怎样的充要条件时, 存在这样的无穷数列?   ( 2 ) 求  ,  , …,   的调和平均值, 即   的值.   L   台 2  


) .  

( A ) 1   ( B ) 2   ( c ) 3   ( o ) 4   二、 填空题( 每小题 6 分, 共3 6 分)  

1 6 . ( 3 O 分) ( 1 ) 给定正整数 凡 ( 凡 ≥5 ) , 集 

合A   ={ 1 , 2 , …, 凡 } , 是否存在一一映射  :   A   一A   满足条件: 对一切 ( 1 ≤  ≤凡 一1 ) ,   都有 l (  ( 1 ) +  ( 2 ) + …+  (  ) ) ?   ( 2 ) N   为全体正整数的集合, 是否存在 
一 一

‘  7 . 已知 l o g 。   =2 4 , l o g 6  = 4 0 , l o g o  ̄  =   1 2 . 那么 , l o g  = — — .  
4  

8 . 设   (   ) = I I (  一 8 x + c   ) , M= {   l  
f (  ) = 0 } . 已知 M ={  1 ,  2 ,  3 ,   4 ,   5 ,  6 ,  
7,  

映射 : N + 一N + 满足条件: 对一切 ∈  
证明你的结论 .   注: 映射  : A 一 日称为一一映射 , 如果 

N + , 都有 l (  ( 1 ) +  ( 2 ) + …+  (  ) ) ?  

  N. 男   么, m a x{ c 1 , c 2 , c 3 , c 4 } 一   8}

m i n { c 1 , c 2 , c 3 , c 4 } = — — .  

∈B , 有且 只有 一个 n∈A , 使 得  9 . 如果实数 、 Y 满足 3  + 2 y 一1 ≥O , 那  对任意 6 ( n ) = 6 . 题中“ l ” 为整除符号 .   么, “ =   +Y   + 6  一 2 y 的最小值是— — .   1 0 . 不等式组 s i n  > ( 1 0 8  > t a n  > c o t   在( O , 2 兀 ) 中的解集( 用区间表示) 是— — .  

参 考 答 案 


1 1 . 四面体 A B C D中, A B=C D= n , B C=   A D=6 , C A=B D=c . 如果异面直线 A B与  C D所成的角为0 , 那么, ( 1 0 8   0 = —— .   1 2 . 设n 、 6 、  ∈N + , n ≤6 , X为关于 
的不等式 l g   6 一 l g   n < l g  < l g   6 + l g   n的解  集. 已知 c a r d ( X ) =5 0 . 当   取最大可能值  时,   : — — .  



1. A.  

2  +4  t >2  

:4   .  

当  =   3) , =   时, 上式取得最小值 .  


2 . C.  

设渐近线 ) , =   b   的倾斜角为卢 注意到 


三、 解答题( 共9 0 分)  
1 3 . ( 2 0 分) 求函数  f (  ) =l   s i n  + c 0 s  + t a n  + c o t  +  
s e e   +c s c   l  

+   ∈ [ 号 , 4 ] ,  
协 n 卢 =   ∈ 【  ,   ] , 卢 ∈ [ 詈 , 号 ] .  
故 a =   n { 2 卢 ,   一 2 卢 } ∈ [ 号 , 号 ] .  
3 . D.  

的最小值. 其中s e c  = —J _, c s c  = ÷  .  
UU  I J l  
’ 

事件“ 4 个数均为奇数” 的概率为  

1 4 . ( 2 0 分) 椭圆   + 4 y   = 8 中, A B是长 

(   )   =   ;  
事件“ 3 个数为奇数, 1 个数为2 ” 的概率为 

为妄的 动弦, 0为坐标原点. 求△ A O B面积  
二 

的取值范围 .   1 5 . ( 2 0 分) 无穷数列 {  } ( 凡 ≥1 ) 中, 对 

P 2 = q i ?   1 ? ( 吉 )   =   1 .  
故 P=1 -P l -P 2 =   .  
4 . A.  

每个奇数 凡 ,  、  +   、 X n + 2 成等比数列, 而对  每个偶数 凡 ,  、  +   、 X n + 2 成等差数列. 已知  
1 =n,  2 =6.  

共比赛 1 2 + 2 1 — 8 = 2 5 局, 甲当裁判2 5 —1 2 = 1 3  
局. 由干 同一 人不会 棒 谇 当两 局裁 判 . 故 甲县 第 1 . 3 .  

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3 2  


中 等 数 学 



1 1 , …, 2 5 局的裁判, 从而, 第1 0 局的 输方为甲.  
5 . B .  

如图 1 , 在象限图  
J  

上用区间法求解.  

2  

/  

易知 n ≠ 0 . 曲 线a x   + 6  +  = 0 是两条直线 


各分界线为   ( 0  
≤七 ≤ 7 ) 与方程 c 0 s  
= t a n   的解为 
、  


0 与a x +   +1 = 0 . 直线  = 0 与圆  

y 2 一  
  . ~ 



0 有两个不同的 公共点( 0 , 0 ) , ( 0 , n ) , 依题意有两  

种可能 :  

\   \  
\ 

( 1 ) 似 +   + 1 : 0 与 圆 X 2 + ( y 一 号 )   = 等 相   』 _   : 号 切于第三点, 此时, 切于 第三点, 此时, _ L _ —   =   = 詈, 即  


. 

1  

眦0  丁

’  
图1 Ⅲ   

Ⅱ一a   r c 8 i l n n—  —   ?  

V  n

十 0  

一  

由s i n   x > ( 2 0 8   排除区间① ;  

n   一4 n 6—4=0 :  

由t a n  > c o t   排除区间②;   由c 0 s  > t a n   排除区间③ .  

( 2 ) 似+   +1 = 0 过点( 0 , n ) 且不与坐标轴平 
行, 此时, n 6 +1 = 0 .  
6 . B.  

因 此 , 解 集 为 ( 萼 ,   一 眦 s i   ) .  
1 1.   .  

b 是Y 3 的一个周期  故t ≤b . 若t = n , 则由 Y 2  
=y 3 一y   可得 b ≤Ⅱ , 矛盾 . 故②和⑤不可能 .  

下面的例子表明另外三种情形都可能出现:  
取Y 2 =s i n   +s i n— 2   x贝 0   b = 6Ⅱ .  


解法 1 : 记D C: 口 , D A= 西 , D B= c . 由已知条件 
有 
I 口一西I =l   c   1 . n   +b  一2 a? 西=c   .  

( 1 ) 令Y . =一 s i n   , 此时,  
n=3 兀 , Y 3 =s i n  , t =2 兀 , t <n;  

故口 . 西 :   : ±  
同理,   : 旦  

.  

.  
=   .  

( 2 ) 令Y . =一 s i n  , 此时,  
n=2 丌 , Y 3 =s i n   , f =3 兀, n< f <6 ;  

故c o s  =  

( 3 ) 令Y . = s i n  , 此时,  

解法2 : 该四面体各棱是一个长方体的面对角   线. 设长方体三边长为 、 y 、   , 则  
n  = y 2+  


n = 2 丌 , Y 3   2 s i n  + s i n 譬, f : 6  = b .  
二 、 7 . 6 0 .  

b  =   +   , c   =   +, ,   .  

设0 是Y - z 矩形中两对角线的夹角, 故  
。 一  

1 0 g  c =l o g  口 6 c—l o g  n一】 0 g  b  
一   一  

:  
1 . 旦 .  
-  2   2  

二  

‘  

8 . 1 5.  

1 2 . 6 .   <   <n 6 , n≥2 ,  

令  一 8 x +c = 0 的两根为 扒卢 , 则口 + 卢 = 8 .   ( a ,   ) 的不等非负整数值只有( 0 , 8 ) , ( 1 , 7 ) , ( 2 , 6 ) ,  
( 3 , 5 ) . 故} c l , c 2 , c 3 , c 4   f _} 0 , 7 , 1 2 , 1 5 } .  

9 . 一 笔 .  
u =(  +3 )   +( Y 一1 )   一1 0 . 半平面 3  +2 y一1  

5 0 ≥ n 6 一 ÷ 一 1 = n 6 ( 1 一   ) 一 1 ≥   3   n 6 — 1  
故n 6 ≤6 8 .   当且仅当 n= 2 , b =3 4 时, 等号成立 .   三、 1 3 . 设 u =s i n   +c 0 s  , 有 
s i n   x . c 镐x :   1( u 2


≥ 0中 的点 到 定 点 ( 一3 , 1 ) 距 离 的 最 小值 是  
 ̄ /
:  

1 3  


 ̄ /1 3  

所 以,  

1 ) .  

u~

(   8 )  = 一 笔 .  

贝 0   s i n   +c 0 s   +t a n  + c o t  + s e c   +c s c  
2  
“  ‘  

1 0 . ( 荨  一 i n  ) .  

当u >1 时, 有 

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2 O O 5 年第 4 期 
) :1 +u 一1 +   ≥1 + 2   .  
2 t + 2 :2 x 2 t + l —X 2 k  

3 3  

当u <1 时, 有 
) :一1 +1 一u +   ≥2   _l ’  

d  



[  二 (  二   2   ] [ !  ±   2   二  ]  
o  。  

因此 , 公式成立 .  

存在这样的无穷数列的充分必要条件是:  

当u : 1 一   时, 上式等号成立.  
因此,   ) 的最小值是 2  一 1 .   1 4 . 令A (   。 , , , 。 ) , B (   2 , y 2 ) , 直线 A B的方程为   y :   +6 . 代入椭圆方程整理得  
( 4 | i }   +1 )   +8 k b x+ 4 ( 6   一 2 ) = 0 .  


所 有 的   ≠ 暗  { o   L   n 十 l l 【   n ∈ N ) J   .  
( 2 ) 6 ≠o时 ,   1  
X2 k  

0   r  

【   了 

1  

一  

T二 _ i  J ’  

1  

1  

故 , +X 2 -一  8 k b


XI   X2  ̄ --  

.  

故 士
\1  
2t  

:  

由   2 5:  


:( | i }   +1 ) (  

2 一  。  
. 

:n b 一( n 一1 ) o .  

( | i }   +1 ) [ (   l +   2 )   一 4 X l   2 ]  
[ 2 ( 4 n   1 ) _ 6   ] ,  
.  

当6 :o 时, 所有的   : o , 结果也是正确的   l 6 . ( 1 ) 不存在.  
t  

:  

记S t : ∑   (   ) .  
得 6 2 _ 2 ( 4 k 2 +1 ) 一  
i :l  

当n : 2 m+ 1 ( m ≥ 2 ) 时, 由2 mI | s 2   及  , | s   :  

S 2  :   一  ( 2 m+1 )  

又原点 D到 A B的距离 为  

音 ‘   苦   , ’ 记   u : 4 而 k 2 + 1 , ’ 则 有 自  
(   一  u )   : 4 一  ( u 一 罢 )   .  
: 一 

9 ( 2 m+1 ) Em+1 ( m o d   2 m) .  

但9 ( 2 m+ 1 ) ∈ A 2   + l , 故9 ( 2 m+1 ) : m+ 1 .  
再由( 2 m一1 ) I   一   及  | s  一 2 m 一   1 : :—  — — — — — — —   — — — — — 一 一L 一(   m+1 +l ) , 一  L (   2 m) ,  

得  ( 2 m) 一m+l ( m o d( 2 m一1 ) ) .  

u : 4 一  
弦) .  



的取值范0 1 1 Y  ̄ [ 1 , 4 ] ( u : 4 为竖直   l  

所以, 9 ( 2 m ) = m+ 1 , 与   的双射定义矛盾 .   当n = 2 m+ 2 ( m≥ 2 ) 时,  
| ) 2 … m + l : :—  — — — — — — —   — — — — — 一 一  (  L   2 m+2 m+z ) ,  

故当  :   时,  

的最大值为 4 ;   .  

给出 9 ( 2 m+2 ) :1 或2 m+2 , 同上 又得  ( 2 m+1 )   =9 ( 2 m) :m+2 或 m+1 , 矛盾 .  

当u :1 时, S △ 2   的最小值为 

因 此 , | s   ∞ 的 取 值 范 围 是 【   , 2 ] .  
1 5 . ( 1 ) 观 察 前 几 项: 。 , 6 ,   ,   型 
( 2 6 一o )  ( 2 b —n ) ( 3 b 一 2 a )( 3 b 一2 a )  



( 2 ) 存在.   对n 归纳定义9 ( 2 n 一 1 ) 及9 ( 2 n ) 如下:   令 ( 1 ) :1 ,  ( 2 ) : 3 . 设已定义出不同的正整 
,  



猜测 

数值 ( k ) ( 1 ≤k ≤2 n ) 满足整除条件且包含 l , 2 ,   n , 又设 是未取到的最小正整数值. 由于 2 n +l   与2 n +2 互质, 根据孙子定理, 存在不同于  及  






  .

2 k—I  

[ ( 五 一1 ) 6 一 ( | i } 一 2 ) o ]   — — — —   — — 一 ,  

(   ) ( 1 ≤k ≤2 n ) 的正整数 u 满足同余式组 
u E一. S 2   ( m o d( 2 n +1 ) )   E一. S 2   一  ( m o d( 2 n +2 ) ) .  

: 

业 

(  )  

定义  ( 2 n +1 ) :u ,  ( 2 n + 2 ) :  . 则正整数 

对| i } 用数学归纳法证明 通项公式.   当| i } : 1 时, 显然成立.   设 2   、   2 t 如上 , 则 
:  ,  

( | i } ) ( 1 ≤| } i ≤ 2 n + 2 ) 也互不相同, 满足整除条件, 且  
包含 1 , 2 , …, n+1 .  


根据数学归纳法原理, 已经得到符合要求的一   映射 : N + 一N + .   ( 张鹏程 提供)  



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