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江苏省南京市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题(PDF版,含解析)



南京市 2014-2015 学年度第一学期期末学情调研测试卷 高一数学
注意事项: 1. 本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题-第 14 题) ,解答题(第 15 题-第 20 题)两部分.本试卷满分为 100 分,考试试卷为 100 分钟. 2. 答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答题卡 上 ... 对应题目的答案空格

内,考试结束后,交回答题卡. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案写在答题卡相应位置 上. ....... 1. 已知集合 A ? {0, 2, 4,6} , B ? {x | 3 ? x ? 7} ,则 A I B ? 【答案】 {4,6} ; 【解析】交集定义,细心即可. 2. 函数 y ? sin( x ? 【答案】 2 ; 【解析】 T ?
2 ?

2015.01



4

)( ? 0) 的最小正周期为

,则

的值为





?2.

3. 函数 f ( x) ?

2 ? x 的定义域为



【答案】 (??, 2] ; 【解析】 2 ? x ? 0 , x ? (??, 2] . 4. 设向量 a ? (1,? 2) , b ? (4, x) ,若 a // b ,则实数 x 的值为 【答案】 ?8 ; 【解析】向量平行, ?2 ? 4 ? x ?1 , x ? ?8 .
? 2x , x? 2 5. 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f (1)) 的值为 ? x? 2 , x? 2





【答案】 4 ; 【解析】复合函数求值, f ?1? ? 2 , f ? 2 ? ? 4 . 6. 在平面直角坐标系中,已知角 为 【答案】 ?1, 3 ; 【解析】三角函数定义, x ? 2cos
2 2 ? ?1 , y ? 2sin ? 3. 3 3
2 的终边经过点 P ,且 OP ? 2 ( O 为坐标原点),则点 P 的坐标 3



?

?

高一数学试卷 第 1 页 共 7 页

7. 已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? 3x ? 1 ,则 f (? 1) 的值为 【答案】 2 ; 【解析】为偶函数, f ? ?1? ? f ?1? , f ?1? ? 3 ? 1 ? 2 . 8. 求值: 2log2 12 ? log 2 9 ? 【答案】 4 ; 【解析】 2log2 12 ? log2 9 ? 2log2 12 ? 2log2 3 ? 2log2 4 ? 4 . 9. 函数 f ( x) ? Asin( x ? ?)( A ? 0, ? 0,0 ? ? ? 示,则 ? 的值为 【答案】
4
) 的部分图像如图所
-1 O 3 y







x


(第 9 题图)

【解析】 T ? 4 ? 2 ? 8 ,

?

2 ? , f ( x) ? A sin( x ? ? ) , 4 T 4

从图形中看出 x ? 3 时, f ? x ? ? 0 , 从单调性判断此时
3 ? ? ? 2k ? 4

, k ? Z ,又 0 ? ? ?

,? ?

4



10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 [0,? ?) 上是单调减函数.若 f (2 x ? 1) ? f (1) ? 0 ,则
x 的取值范围是



【答案】 ? ?1, ?? ? ; 【解析】 f (2 x ? 1) ? f (1) ? 0 , f ? 2 x ? 1? ? ? f ?1? ? f ? ?1? ,由于是奇函数,区间 [0,? ?) 上是单调减函数, 所以在定义域上是减函数, 2 x ? 1 ? ?1 , x ? ? ?1, ?? ? .
1 11. 已知函数 y ? log a ( x ? b)(a, b为常数, 其中a ? 0, a ? 1) 的图像如图所示,则 a ? b 4

y 2 O 3
(第 11 题图)

的值为 【答案】
3 ; 4



x

3 ?3 ? 【解析】带入和两个轴的交点, loga b ? 2 , log a ? a ? b ? ? 0 , a ? b ? 1 , 4 4 ? ?

a 2 ? b ,从图看出, 0 ? a ? 1 , b ? 0 ,解得, a ?
1? 2sin 40? cos 40? ? sin 40?? cos140?

1 1 3 ,b ? ,a ?b ? . 2 4 4

12. 化简



【答案】 ?1 ; 【解析】
1 ? 2sin 40? cos 40? sin 2 40? ? cos 2 40? ? 2sin 40? cos 40? ? ? sin 40? ? cos140? sin 40 ? ? cos 40?
sin 40? ? cos40? ,原式 ?

? sin 40? ? cos40??
sin 40 ? ? cos 40?

2



cos 40? ? sin 40? ? ?1 . sin 40? ? cos 40?

高一数学试卷 第 2 页 共 7 页

13. 已知在△ ABC 中, ?A ? 的值为
1 【答案】 ? ; 4

uuu r 1 uuu r uuu r 1 uuu r uuu r 1 uuu r uuu r uuu r , AB ? 2 , AC ? 4 , AF ? AB , CE ? CA , BD ? BC ,则 DE ? DF 2 2 2 4



B F A

D

? 3? 【解析】建立直角坐标系, A ? 0,0 ? , F ? 0,1? , D ?1, ? , E ? 2,0 ? , ? 2? uuu r ? r ? r uuu r 3 ? uuu 1 ? uuu 3 1 DE ? ?1, ? ? , DF ? ? ?1, ? ? , DE ? DF ? ?1 ? ? ? . 2? 2? 4 4 ? ?

E
(第 13 题图)

C

14. 若 f ( x) ? x( x ? 2) 在区间 [? 2, m] 上的最大值为 1 ,则实数 m 的取值范围是
? 【答案】 ? ? ?1, 2 ? 1? ;
y 1



? ? x2 ? 2 x x ? 0 【解析】 f ( x) ? ? 2 ,画出函数图像, ? ?? x ? 2 x x ? 0

x -2 x1 O x2

f ? x ? ? 1 时的两个横坐标 x1 ? ? 1 , x2 ?

2? 1,

? 由图像可知 m 的取值范围是 ? ? ?1, 2 ? 1? .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明过程 ........ 或演算步骤. 15. (本小题满分 8 分) 已知 cos ? ?
3 , 0? 5
?



⑴ 求 tan 的值; ⑵ 求 sin( ? 【答案】⑴ ?
3 ) 的值.

4? 3 3 4 ;⑵ . 3 10
3 4 得 sin ? ? , 5 5 sin 4 ?? ; cos 3

【解析】⑴由 sin 2 ? cos2 ? 1 , cos ? ? 由 0? ⑵ sin( ?
?

得 sin ? 0 ,则 sin ? 0 ,因此 tan ?

4 1 3 3 4? 3 3 ) ? sin cos ? cos sin ? ? ? ? ? . 3 3 3 5 2 5 2 10

高一数学试卷 第 3 页 共 7 页

16. (本小题满分 8 分) 已知向量 a, b 满足 a ? 2 , b ? 1 , a, b 的夹角为 120? . ⑴ 求 a ? b 的值; ⑵ 求向量 a ? 2b 的模. 【答案】⑴ ? 1 ;⑵ 2 3 . 【解析】⑴ a, b 的夹角用 表示,则 a ? b = a b cos ? 2 ? 1? cos120?? ? 1 ; ⑵ a ? 2b ?
? a ? 2b ?
2 2

(a ? 2b)2 ?
2

a 2 ? 4a ? b ? 4b2

a ? 4a ? b ? 4 b ?

4? 4? 4 ? 2 3 .

17. (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (cos ,sin ) , b ? (cos ,? sin ) . ⑴ 若 ?
2

, ??

6

,求向量 a 与 b 的夹角; 为锐角,求 tan 的值.

⑵ 若 a? b =

2 1 , tan ? ,且 , 2 7
3 . 4

【答案】⑴ 60? ;⑵ 【解析】⑴由 ?

2



??

6

得 a ? (0,1) , b ? (

3 1 , ), 2 2

1 a? b 1 a, b 的夹角用 表示,则 cos ? ? 2 ? ,则 ? 60? , a b 1? 1 2

向量 a 与 b 的夹角为 60? ; ⑵由 a ? b = 由 ,
2 2 得 cos cos ? sin sin ? ,则 cos( ? 2 2
? ? 2

)?

2 , 2

均为锐角,则 0 ?

,因此 sin( ?

)?

2 , 2

因此 tan( ?

) ? 1 ,则 tan ? tan( ?

?

1 1? tan( ? ) ? tan 7? 3. )? ? 1 4 1? tan( ? ) tan 1? 7

高一数学试卷 第 4 页 共 7 页

18. (本小题满分 10 分) 如图所示,某住宅小区有一个矩形休闲广场 ABCD ,其中 AB ? 40 米, BC ? 30 米,根据小区业主建 议,需将其扩大成矩形区域 EFGH ,要求 A 、 B 、 C 、 D 四个点分别在矩形 EFGH 的四条边(不含顶 点)上.设 ?BAE ? , EF 长为 y 米.

G D H F A E
(第 18 题图)

⑴ 将 y 表示成 的函数; ⑵ 求矩形区域 EFGH 的面积的最大值. 【答案】⑴ y ? 40sin ? 30cos 【解析】⑴由 ?BAE ?
(0 ? ? 90?) ;⑵ 2450 平方米;

C

, ?E ? 90? 得 ?ABE ? 90?? ,



B

再由 ?ABC ? 90? 得 ?CBF ? 同理 ?DCG ? ,

由 AB ? 40 米, BC ? 30 米,四边形 ABCD 为矩形,得 DC ? 40 米, 因此 EF ? EB ? BF ? 40sin ? 30cos (米) , FG ? 30sin ? 40cos (米) , 因此 y ? 40sin ? 30cos
(0 ? ? 90?) ; ? 90?) ,

⑵ SEFGH ? EF ? FG ? 1200sin 2 ? 1200cos2 ? 2500sin cos ? 1200 ? 1250sin 2 , (0 ? 因此 ? 45? 时 S EFGH 取到最大值,最大值为 2450, 因此矩形区域 EFGH 面积的最大值为 2450 平方米.

19. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?
3 sin x ? cos x .

⑴ 求 f ( x) 的单调递增区间; ⑵ 设 g ( x) ? f ( x)cos x , x ? [0, ] ,求 g ( x) 的值域. 2 【答案】⑴ [2k ?
2 3 , 2k ? ] , k ? Z ;⑵ [0, ] . 3 3 2

【解析】⑴ f ( x) ? 2(

3 1 sin x ? cos x) ? 2(sin x cos ? cos x sin ) ? 2sin( x ? ) , 2 2 6 6 6
2 ? x? 6 ? 2k ? 2

则 f ( x) 的单调增区间满足 2k ? 解得 2k ?

,k ? Z ,

2 ? x ? 2k ? , k ? Z , 3 3 2 , 2k ? ] , k ? Z ; 3 3

因此 f ( x) 的单调增区间的为 [2k ?

高一数学试卷 第 5 页 共 7 页

⑵ g ( x) ? f ( x)cos x ?

3 sin x cos x ? cos 2 x ?

3 cos 2 x ? 1 sin 2 x ? 2 2

1 1 ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? sin(2 x ? ) ? , 6 6 2 6 2 7 1 由 x ? [0, ] 得 ? 2 x ? ? ,因此 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6 6 6 2 6

因此 0 ? sin(2 x ?

6

)?

1 3 3 ? ,则 g ( x) 的值域为 [0, ] . 2 2 2

20. (本小题满分 12 分) 若函数 f ( x) 和 g ( x) 满足:①在区间 [a, b] 上均有定义;②函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [a, b] 上至少有一 个零点,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 [a, b] 上具有关系 G . ⑴ 若 f ( x) ? lg x , g ( x) ? 3? x ,试判断 f ( x) 和 g ( x) 在 [1, 4] 上是否具有关系 G ,并说明理由; ⑵ 若 f ( x) ? 2 x ? 2 ? 1 和 g ( x) ? mx2 在 [1, 4] 上具有关系 G ,求实数 m 的取值范围.
1 【答案】⑴具有,理由详见解析;⑵ [ ,3] . 4

【解析】⑴它们具有关系 G ; 令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? lg x ? x ? 3 , 因为 h(1) ? lg1 ? 1 ? 3 ? ?2 ? 0 , h(4) ? lg 4 ? 4 ? 3 ? lg 4 ? 1 ? 0 , 所以 h(1) ? h(4) ? 0 ,且函数 h( x) 在 [1, 4] 上连续, 根据区间根定理得,函数 h( x) 在 [1, 4] 上至少有一个零点, 所以,该 f ( x) 和 g ( x) 具有关系 G ; ⑵令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?mx2 ? 2 x ? 2 ? 1 , 当 m ? 0 时,因为 ?mx2 ? 0 , 2 x ? 2 ? 0 ,则 h( x) ? ?mx2 ? 2 x ? 2 ? 1 ? 1 ? 0 , 所以函数 h( x) 在 [1, 4] 上不存在零点;
2 ? ??mx ? 2 x ? 3, x ? (2, 4] 当 m ? 0 时,去绝对值得 h( x) ? ? , 2 ? ??mx ? 2 x ? 5, x ? [1, 2]

先考虑函数 h( x) 在 [1, 2] 上的一段, 此时,该二次函数的对称轴为 x ? ? 所以该函数在 [1, 2] 上单调递减, 所以,若该函数在 [1, 2] 上有零点,只要让最大值 h(1) ? 0 ,且最小值 h(2) ? 0 即可,
??m ? 3 ? 0 1 1 所以 ? ,解得 ? m ? 3 ,即 m ? [ ,3] , 4 4 ??4m ? 1 ? 0
1 若该函数在 [1, 2] 上没有零点,则 m ? (0, ) U (3, ??) ; 4 1 ? 0 ,且该函数开口向下, m

高一数学试卷 第 6 页 共 7 页

此时,考虑函数在 (2, 4] 上的一段 h( x) ? ?mx2 ? 2 x ? 3 ,
1 1 1 若 m ? (0, ) ,对称轴为 x ? ,且 ? (4, ??) , ?m ? 0 , 4 m m

所以该函数在 (2, 4] 上单调增, 此时 h(2) ? ?4m ? 1 ? 0 , h(4) ? ?16m ? 5 ? 1 ? 0 , 所以该函数在 (2, 4] 上恒大于零,此时该函数在 (2, 4] 上没有零点; 若 m ? (3, ??) ,对称轴为 x ?
1 1 1 ,且 ? (0, ) , ?m ? 0 , m m 3

所以该函数在 (2, 4] 上单调减, 此时 h(2) ? ?4m ? 1 ? ?11 ? 0 , h(4) ? ?16m ? 5 ? ?43 ? 0 , 所以该函数在 (2, 4] 上恒小于零,此时该函数在 (2, 4] 上没有零点;
1 所以,若 h( x) 在 [1, 2] 上没有零点,即 m ? (0, ) U (3, ??) 时, 4

函数 h( x) 在 (2, 4] 上也没有零点;
1 综上,若函数 h( x) 在 [1, 4] 上有零点,则 m ? [ ,3] . 4

高一数学试卷 第 7 页 共 7 页



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