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培正中学2018届高二上学期10月段考(数学)


培正中学 2018 届高二上学期 10 月段考 数 学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.若集合 M ? ?x ln x ? 1?, N ? ?1,2,3? ,则 M ? N ? ( ) A. ?1? B. ?1, 2? C. ?2,3? D. ?1, 2,3? 2. 下列函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( ) 1 A. y ? x 3 B.y ? 2 x C.y ? x ? D.y ? sin 2 x x 3. 在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶 统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差 分别为( ) A. 5 和 1 . 6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0 .4 D. 5 和 0 .4 4.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是线段 BC 上的动点, F 是线段 CD1 上 的动点,且 E , F 不重合,则直线 AB1 与直线 EF 的位置关系是( ) A.相交且垂直 B.共面 C.平行 D.异面且垂直

? x ? y ? 1 ? 0, ? 5.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值是( ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 1 3 A. ?3 B. C.1 D. 2 2

)

6.在如图所示的“勾股圆方图”中, 四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成 一个边长为 的大正方形,若直角三角形中较小的锐角 ,现在向该大正方形区 域内随机地投掷一枚飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率是 (A) (B) (D)

7. 过点 A ? a,0 ?? a ? 0 ? ,且倾斜角为 30 ? 的直线与圆

O : x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 相切于点 B ,且 AB ? 3 ,则 ?OAB 的面积是 ( ) 3 1 A. B. C. 1 D.2 2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? 8.已知单位向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b , 则 a 与 b ? a 的夹角的大小是

( A.

)

? 6

B.

? 3

C.

? 4

D. )

3? 4

9. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值是( A. ?

1 2

B.0

C.

1 2
1

D.

3 2

10.小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新,现绘制该建筑物的三视 图如图所示,若网格纸上小正方形的边长为 ,则小明绘制的建筑物的体积为 (A) (C) 11. 已知函数 , 关于点 A. B. C. D. 12.若函数 f ( x) ? ,若 (B) (D) ( , ) , 的图象 )

的最小值为 ,且 的单调递增区间是(

对称,则函数 , , , ,

不等式 g ( x) ? 1 的解集为( ) A.(?? ,0) ? (0, )

?a ln x, x ? 0 2x ? a 为奇函数, g ( x) ? ? ax ,则 x 2 ?1 ? e ,x ?0
B.(e,??) C. (??,0) ? (0, e) D.(?? , )

1 e

1 e

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 400 袋牛奶中抽取 5 袋进行 检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行。 第一步,先将 400 袋牛奶编号,可以编为 000,001,…,399。 第二步,在随机数表中任选一个数,如从下表第 1 行第 4 列开始选数,由左往右,这样 选取的 5 个样本的编号是 。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 14. 已知函数 ,若 ,则 __________.

15. 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为 . 16. 已知等差数列 的公差 ,且 , , 成等比数列,若 , 为数 列 的前 项和,则 的最小值为__________.

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (2a ? c) cos B ? b cosC ? 0 . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

18.某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》,共有 学 名,女同学 样的方法抽取 人进行考核.(12 分)

名同学选修,其中男同

名.为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽

2

(1)求抽取的

人中男、女同学的人数; 人中随机选出 名同学进行访谈,求选出的两名 , , , .这 , , ;

(2)考核前,评估小组打算从选出的

同学中恰有一名女同学的概率; (3)考核分答辩和笔试两项. 位同学的笔试成绩分别为 结合答辩情况,他们的考核成绩分别为 绩与考核成绩的方差分别记为 , , 与 , , ,试比较

位同学笔试成

的大小.(只需写出结论)

19. (12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行 分析研究, 他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中 的发芽数,得到如下资料: 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 ? 10 11 13 12 8 温差 x( C) 发芽数 y(颗) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求回归方程, 再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 的数据, 求 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a ; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 颗,则认为得 到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠? (注: b ?
^
^ ^

? xi yi ? n ? x ? y
i ?1

n

?x
i ?1

n

2 i

? n? x

2

?

? ( x ? x)( y ? y )
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx )

^

2

20、 (12 分)已知圆 C 的圆心在直线 x+y=3 上,且点 B(2,3)和 D(0,5)在圆 C 上, , 0? 且与圆 C 相交于 P, Q 两点,点 M 是线段 PQ 的中点. 直线 l 过点 A?? 1 (1)求圆 C 的方程; (2)若 AM ? AC ? 9 ,求直线 l 的方程. 21、 (12 分)已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2x (1) 若函数 f ( x) 在 R 上是增函数,求实数 a 的取值范围。 (2) 若对任意的 x ? [1,2] 时,函数 f ( x) 的图象恒在函数 g ( x) ? 方,求实数 a 的取值范围。 22、 (12 分)已知函数 y=f(x) ,若在定义域内存在 x0,使得 f(﹣x0)=﹣f(x0)

1 2 x ? 2 x ? 2 图象的下 2

成立,则称 x0 为函数 f(x)的局部对称点. (1)若 a∈R 且 a≠0,证明:函数 f(x)=ax2+x﹣a 必有局部对称点; (2)若函数 f(x)=2x+b 在区间[﹣1,2]内有局部对称点,求实数 b 的取值范围; (3)若函数 f(x)=4x﹣m?2x+1+m2﹣3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值 范围.

3

数学参考答案
1-5BABDC 6-10ABDCC 11-12BA 14。2 15、 ?a 13、277,354,378,217,157.

17. (1)因为 (2a ? c) cos B ? b cosC ? 0 由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0 所以 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0, 因为 A+B+C=π,所以 2sinAcosB+sinA=0, 因为 sinA≠0,所以 cosB= ?

7 3

2

16

20 3

1 2? ,因为 0<B<π,所以 B= 2 3 2? (2)将 b ? 13 , a ? c ? 4 ,B= 代入 b2=a2+c2-2accosB, 3 1 1 3 3 即 b2=(a+c)2-2ac-2accosB,所以 13=16-2ac( 1 ? ),可得 ac=3,于是,S△ABC= acsinB= . 2 2 4
18. (1) 抽取的 人中男同学的人数为 女同学的人数为 (2) 记 共 用 是 个. , , 名男同学为 , , ……6 分 中的结果有 个,它们 ……8 分 . ……10 分 , , , . , . ……2 分 ……4 分 .从 , , 人中随机选出 , , , 名同 ,

, 名女同学为 , ,

学,所有可能的结果有

表示:“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则

所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 (3) . ……12 分

19. 解: (1) 由数据, 求得 x ?
3

1 1 3x ? y ? 972 . ?11 ? 13 ? 12 ? ? 12 ,y ? ? 25 ? 30 ? 26 ? ? 27 , 3 3
3

? xi yi ? 11?25 ? 13? 30 ? 12 ? 26 ? 977 , ? xi 2 ? 112 ? 132 ? 122 ? 434 , 3x ? 432 ,
2
i ?1 i ?1

由公式求得 b ?

^

? x y ? 3x ? y
i ?1 i i

3

?x
i ?1

3

2 i

? 3x

2

?

^ 977 ? 972 5 ^ ? , a ? y ? b x ? ?3 434 ? 432 2

∴ y 关于 x 的线性回归方程为 y ? (2)当 x ? 10 时, y ? 当 x ? 8 时, y ?
^ ^

^

5 x ? 3. 2

5 ?10 ? 3 ? 22,| 22 ? 23 |? 2 2

5 ? 8 ? 3 ? 17,|17 ? 16 |? 2 2

∴(1)中所得的线性回归方程是可靠的. 20. 【答案】 (Ⅰ)

;(Ⅱ) (i)7; (ii)

.

4

试题解析:(Ⅰ)设圆的方程为 则依题意,得 解得

, ∴圆的方程为

. (Ⅱ) (i) 为定值. 过点 作直线 与圆相切,切点为,则 ∴ ,∴ (ii)依题意可知,直线的方程为 , 设 , ,将 代入 , ∴ ∴ , ,

, 为定值,且定值为 7. 并整理得:

,即 解得 ,又当 时 ,∴ ,所以直线的方程为

, .

21.已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[﹣1,1]时,不等式:f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的范围. (3)设 g(t)=f(2t+a) ,t∈[﹣1,1],求 g(t)的最大值. 【考点】二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 【分析】 (1)设出二次函数的一般形式后,代入 f(x+1)﹣f(x)=2x,化简后 根据多项式相等的条件求出 a,b 及 c 的值,即可确定出 f(x)的解析式; (2)不等式恒成立即为把不等式变为 x2﹣3x+1>m,令 g(x)等于 x2﹣3x+1, 求出 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值,即可得到 m 的取值范围,求最大值的 方法是:把 g(x)配方成二次函数的顶点形式,找出对称轴,经过判断发现对 称轴在区间内,又二次函数的开口向上,所以得到 g(x)的最小值为 g(1) ,代 入 g(x)的解析式即可得到 g(1)的值,让 m 小于等于 g(1)即可求出 m 的 范围; (3)把 x=2t+a 代入 f(x)的解析式中即可表示出 g(t)的函数关系式,由二次 函数求对称轴的方法表示出 g(t)的对称轴,根据对称轴大于等于 0 和小于 0, 分两种情况考虑, 分别画出相应的函数图象, 根据函数的图象即可分别得到 g (t) 的最大值,并求出相应 t 的范围,联立即可得到 g(t)最大值与 t 的分段函数解 析式. 【解答】解: (1)令 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)代入 f(x+1)﹣f(x)=2x, 得:a(x+1)2+b(x+1)+c﹣(ax2+bx+c)=2x,2ax+a+b=2x,即 2a=2,a+b=0,

5





∴f(x)=x2﹣x+1; (2)当 x∈[﹣1,1]时,f(x)>2x+m 恒成立即:x2﹣3x+1>m 恒成立; 令 x∈[﹣1,1], 则对称轴: , 则 g(x)min=g(1)=﹣1, ∴m<﹣1; (3)g(t)=f(2t+a)=4t2+(4a﹣2)t+a2﹣a+1,t∈[﹣1,1] 对称轴为: ①当 ②当 , 时,即: 时,即: ;如图 1: ;如图 2: ,

g(t)max=g(﹣1)=4﹣(4a﹣2)+a2﹣a+1=a2﹣5a+7 g(t)max=g(1)=4+(4a﹣2)+a2﹣a+1=a2+3a+3, 综上所述: .

[附加题] 21.已知函数 y=f(x) ,若在定义域内存在 x0,使得 f(﹣x0)=﹣f(x0)成立, 则称 x0 为函数 f(x)的局部对称点. (1)若 a∈R 且 a≠0,证明:函数 f(x)=ax2+x﹣a 必有局部对称点; (2)若函数 f(x)=2x+b 在区间[﹣1,2]内有局部对称点,求实数 b 的取值范围; (3)若函数 f(x)=4x﹣m?2x+1+m2﹣3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值 范围. 【考点】函数的图象;函数的值. 【分析】 (1)根据定义构造方程 ax2+x﹣a=0,再利用判别式得到方程有解,问题 得以解决. (2)根据定义构造方程 2x+2﹣x+2b=0 在区间[﹣1,2]上有解,再利用换元法,设 t=2x,求出 b 的范围,问题得以解决.
6

(3)根据定义构造方程 4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2(m2﹣3)=0…(*)在 R 上有 解,再利用换元法,设 t=2x+2﹣x,方程变形为 t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2,+∞) 内有解,再根据判别式求出 m 的范围即可 【解答】解: (1)由 f(x)=ax2+x﹣a 得 f(﹣x)=ax2﹣x﹣a, 代入 f(﹣x)=﹣f(x) 得 ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0 得到关于 x 的方程 ax2﹣a=0(a≠0) , 2 其中△=4a ,由于 a∈R 且 a≠0,所以△>0 恒成立, 所以函数 f(x)=ax2+x﹣a 必有局部对称点; (2)f(x)=2x+b 在区间[﹣1,2]内有局部对称点, ∴方程 2x+2﹣x+2b=0 在区间[﹣1,2]上有解,于是﹣2b=2x+2﹣x, 设 t=2x, ≤t≤4, ∴﹣2b=t+ ,其中 2≤t+ ≤ 所以﹣ ≤b≤﹣1 ,

(3)∵f(﹣x)=4﹣x﹣m?2﹣x+1+m2﹣3, 由 f(﹣x)=﹣f(x) ,∴4﹣x﹣m?2﹣x+1+m2﹣3=﹣(4x﹣m?2x+1+m2﹣3) , x ﹣x x ﹣x 2 于是 4 +4 ﹣2m(2 +2 )+2(m ﹣3)=0…(*)在 R 上有解, 令 t=2x+2﹣x(t≥2) ,则 4x+4﹣x=t2﹣2, ∴方程(*)变为 t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2,+∞)内有解,需满足条件:

即 化简得 1﹣

, ≤m≤2

7


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