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椭圆离心率



椭圆离心率的求解
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,上顶点为 A ,过点 A 作垂直于 AF 的 a 2 b2 ?? ? ? ? ? 8 直线交椭圆 C 于另外一点 P , 交 x 轴正半轴于点 Q , 且A P ?P Q 求椭圆 C 的离心率; 5
1.设椭圆 C :

[来源 :学&科 &网 Z&X&X&K]

2.已知 F1 、F2 是椭圆的两个焦点, 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点, 若 ?ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( A.
3 2

) D.
2 3

B.

3 3

C.

2 2

???? ? ????? 3.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围是( ) 1 2 2 , 1) 1) A. (0 , B. (0 , ] C. (0 , ) D. [ 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 为右焦点, a 2 b2 若 ?F1 PF2 ? 60° ,则椭圆的离心率为( )

4.过椭圆

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

x2 y 2 5.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,且 | F1 F2 |? 2c ,点 A 在椭圆上, a b ????? ????? ????? ???? ? ) AF 1 ? F1 F2 ? 0 , AF 1 ? AF2 ? c2 ,则椭圆的离心率 e ? (
A.
3 3

B.

3 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

2 2

F2 为焦点的椭圆 6. 已知 P 是以 F1 ,

???? ???? ? x2 y 2 上的一点,若 PF ? PF ? ? 1( a ? b ? 0) 1 2 ?0, a 2 b2
) D.
5 3

tan ?PF1 F2 ?
A.

1 2

1 ,则此椭圆的的离心率为( 2 2 1 B. C. 3 3

7. 椭圆的长轴为 A1 A2 , B 为短轴的一个 端点,若 ∠ A1 BA2 ? 1200 ,则椭圆的离心率为 ( ) 6 3 3 1 A. B. C. D. 3 3 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点为 A 、 B 、 C 、 D ,若四边形 ABCD 的内切圆 a 2 b2 恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( ) 3? 5 3? 5 5 ?1 5 ?1 A. B. C. D. 2 4 2 4
8.椭圆 9.设 F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 a2 上存 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在直线 l : x ? 2 a b c

在 P (其中 c ? a2 ? b2 ) ,使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是 ( ) ? ? ? 2 ? ? 3 ? 2? 3? A. ? B . C . D . 0 , 0 , , 1 , 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? 10.椭圆上一点 A 看两焦点的视角为直角, 设 AF1 的延长线交椭圆于 B , 又| A B || ? A F | 则椭圆的离心率 e ? ( ) A. ?2 ? 2 2 B. 6 ? 3 C. 2 ? 1 D. 3 ? 2 ,

2

11.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 轨 进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞 行,之后卫星在 P 点第二次变 轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行, 最终卫星在 P 点第三次变轨进入 以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行, 若用 2c1 和 2c2 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦 距, 用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:
① a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; ② a1 ? c1 ? a2 ? c2 ; 其中正确式子的序号是( ) A.①③ B.②③
P F III

③ c1a2 ? a1c2 ; ④

c1 c2 ? . a1 a2

[来源:学科网 ZXXK]

C.①④

D.②④

II

I

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A ,在椭圆上 a 2 b2 存在点满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭 圆离心率的取值范围是( ) ? ? 1? 2 ? ?1 ? 1? 2 ? 1, 1 A. ? B. ? 0 , ? C. ? D. ? , ? ?0, 2 ? 2 ? ? ?2 ? ? ?

12.椭圆

?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? , A 是椭圆长轴的一个端点, B 是椭圆短轴的一个 a 2 b2 端点, F 为椭圆的一个焦点. 若 AB ? BF ,则该椭圆的离心率为 ( )

13.已知椭圆
A. 5 ? 1
2

B. 5 ? 1
2

C. 5 ? 1
4

D.

5 ?1 4

14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点, 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 , F2 , 且它们在第一象限的交点为 P , △PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若 PF1 ? 10 , 双曲线的离心率的取值范围为 ?1 , 2 ? .则该椭圆的离心率的取值范围是.
[来源:学 .科 .网 ]

15.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 椭圆的离心率 e ? .

7 B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 .若以 A , 18

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2c ,以点 O 为圆 a 2 b2 ? a2 ? 心, a 为半径作圆 M .若过点 P ? ,0 ? 作圆 M 的两条切线互相垂直,则椭圆的离 c ? ? 心率为.

16.在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆

17 线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B , 该椭圆的离心率为_________.
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 是以 F1F2 为直径的 a 2 b2 圆与椭圆的一个交点,若 ?PF1 F2 ? 2?PF2 F1 ,则椭圆的离心率等于________.
0) , F2 (c , 0) 是椭圆 18. F1 (?c ,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c ,若直线 y ? 2 x 与椭圆一个交点的横坐标恰 a 2 b2 为 c ,椭圆的离心率为________
19.椭圆
B两 20.已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A , 点,若 △ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是_________.
[来源 :学 |科 |网 ]

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的右焦点,以坐标原点 O 为圆心, a 为 a 2 b2 B 两点,过点 A 作圆 P 的切线 半 径作圆 P ,过 F 垂直于 x 轴的直线与圆 P 交于 A , 交 x 轴于点 M . 若直线 l 过点 M 且垂直于 x 轴, 则直线 l 的方程为______________; 若 | OA |?| AM | ,则椭圆的离心率等于_________.

21.已知 F ? c , 0? 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2 四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1 B2 与直线 B1F 相交于点 T ,线段 OT 与椭圆的交 点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 ___ .

22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, A1 ,A2 ,B1 ,B2 为椭圆

y T B2 M A1 O F B1 A2 x

23. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左、右焦点分别为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点, a 2 b2

?F1 PF2 ? 60? ,设

PF1 PF2

?? ,

⑴求椭圆离心率 e 和 ? 的关系式; ⑵设 Q 是离心率最小的椭圆上的动点,若 PQ 的最大值为 2 3 ,求椭圆的方程.

24.设椭圆 C :

x2 y 2 F2 ,若椭圆上存在一点 Q , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦 点分别为 F1 , a 2 b2

使 ?F1QF2 ? 120? ,试求该椭圆的离心率 e 的取值范围.

25.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点为 A 、 B ,若椭圆上存在一点 Q ,使 a 2 b2 ?AQB ? 120? ,试求该椭圆的离心率 e 的取值范围.

b x2 y 2 (c, 0) 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在椭圆上, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 2 a b c 则椭圆的离心率是
26.椭圆

x2 y 2 右焦点分别为 F ( ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 1 -c,0),F2 (c,0) 若椭圆上存在 a 2 b2 a c 点P 使 ,则椭圆离心率的取值范围是 ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1
27.已知椭圆



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