9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高二数学:2.3 数学归纳法 课件(人教A版选修2-2)



? 2.3 数学归纳法

? 理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法 的证题步骤.

? 本节重点:数学归纳法的原理及步骤. ? 本节难点:用数学归纳法证题的步骤、技 巧.

? 在应用数学归纳法的过程中: ? 第①步,验证n=n0时结论成立的n0不一定为1, 根据题目要求,有时可为2、3等. ? 第②步,证明

n=k+1时命题也成立的过程中, 一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳 法. ? 这两个步骤缺一不可,前一步是递推的基础, 后一步是递推的依据,缺了哪一步得出的结论 也是错误的. ? 另外,归纳假设中要保证n从第一个数n0 开始, 即假设n=k(k≥n0)时结论成立,括号内限制条件 改为k>n0就错了.

? 用数学归纳法证明中一个关键问题就是要 抓住项数和项的增减变化,如证明恒等式 和不等式中,n=1时究竟有几项,从n=k 到n=k+1的过渡到底项有哪些变化,添 了几项,减了几项.

? 1.数学归纳法 ? 证明一个与正整数n有关的命题,可按下 列步骤进行: 第一个值n0(n0∈N*) ? ①(归纳奠基)证明当n取 时命题 成立. n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立, ? ②(归纳递推)假设 证明当n=k+1时命题也成立 .

? 2.应用数学归纳法时特别注意: ? (1)用数学归纳法证明的对象是与 正整数n 有关的命题. ? (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤 缺一不可.

[例 1]

1 1 1 证明: + +?+ = 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1)

n .(n∈N*) 2n+1

[分析]

第一步验证 n 取第一个正整数 1 时等式成

立,第二步假定 n=k(k∈N*)时命题成立,即 1 1 1 k + +?+ = 成立, 并以 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) 2k+1 1 1 1 此作为条件来推证等式 + +?+ 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) k+1 1 + = 成立. (2k+1)(2k+3) 2(k+1)+1

[证明]

1 1 (1)当 n=1 时,左边= = ,右边= 1×3 3

1 1 = ,左边=右边,所以等式成立. 2×1+1 3 (2)假设 n=k(k≥1)时等式成立,即有 1 1 1 k + +?+ = , 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) 2k+1 则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 + +?+ + 1×3 3×5 (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(2k+3)+1 k 1 = + = 2k+1 (2k+1)(2k+3) (2k+1)(2k+3) 2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = . (2k+1)(2k+3) 2k+3 2(k+1)+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)、(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立.

? [点评] 证明过程的关键是第二步由n=k 到n=k+1的过渡,要设法将待证式与归 纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标 的表达式变形.

1 1 1 1 1 1 n∈N ,求证:1- + - +?+ - = + 2 3 4 2n n+1 2n-1
*

1 1 +?+ . 2n n+2

[证明]

1 1 1 1 (1)当 n=1 时, 左边=1- = , 右边= = . 2 2 1+1 2

左边=右边. 1 1 1 1 (2)假设 n=k 时等式成立, 1-2+3-4+?+ 即 - 2k-1 1 1 1 1 2k=k+1+k+2+?+2k,

则当 n=k+1 时,
? 1 1 1 1 1? ? 1 1 ? ? ? ? ? 1-2+3-4+?+ -2k?+? - ? ? 2k-1 ? ? ?2k+1 2k+2? ? 1 1 1? ? 1 1 ? ? ? ? =?k+1+k+2+?+2k?+?2k+1-2k+2? ? ? ? ? ?

1 1 1 1 = + +?+ + . k+2 k+3 2k+1 2k+2 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1)、(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立.

[例 2]

用数学归纳法证明:

1 1 1 1 1+ 2+ 2+?+ 2<2- (n≥2). 2 3 n n

? [分析] 按照数学归纳法的步骤证明,在 由n=k到n=k+1的推证过程中应用了放 缩技巧,使问题简单化,这是利用数学归 纳法证明不等式的常用技巧之一.

[证明]

1 5 1 3 1° n=2 时,1+22=4<2-2=2,命题成立. 当

1 1 1 1 2° 假设 n=k 时命题成立,即 1+ 2+ 2+?+ 2<2- 2 3 k k 1 1 1 1 当 n=k+1 时,1+22+32+?+k2+ 2< (k+1) 1 1 1 1 1 1 1 2- + <2- + =2- + - k (k+1)2 k k(k+1) k k k+1 1 =2- 命题成立. k+1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立.

? [点评] 用数学归纳法证明不等式时常常要 用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通 过放大或缩小技巧变换出要证明的目标不 等式.
1 1 1 本例中用 < 放缩是关键一步,有时也常用k2 (k+1)2 k(k+1) 1 > 放缩. k(k+1)

n 1 1 1 1 求证:1+2≤1+2+3+?+2n≤2+n(n∈N*). 1 1 1 [证明] 设 f(n)=1+2+3+?+2n.

1 (1)当 n=1 时,f(1)=1+ ,原不等式成立. 2 (2)设 n=k(k∈N*)时,原不等式成立. k 1 1 1 1 即 1+ ≤1+ + +?+ k≤ +k 成立 2 2 3 2 2

当 n=k+1 时, 1 1 1 f(k+1)=f(k)+ k + k +?+ k+1 2 +1 2 +2 2 k 1 1 1 ≥1+2+ k + +?+ k+1 2 +1 2k+2 2 k 1 1 1 >1+2+ k+1+ k+1+?+ k+1 2 2 2 k+1 k 1 =1+2+2=1+ 2 1 1 1 f(k+1)=f(k)+ k + k +?+ k+1 2 +1 2 +2 2

1 1 1 1 1 ≤2+k+ k + k +?+ k+1<2+k 2 +1 2 +2 2 1 1 1 1 +2k+2k+?+2k=2+(k+1) ∴n=k+1 时,命题成立. 综合(1)、(2)可得:原命题对 n∈N*恒成立.

? [例3] 求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a +1整除,n∈N*,a∈R. ? [分析] 证明整除性问题的关键是“凑 项”,即采用增项、减项、拆项和因式分 解等手段,凑出n=k时的情形,从而利用 归纳假设使问题得以解决.

? [证明] (1)当n=1时,a1+1 +(a+1)2×1-1 =a2+a+1,命题显然成立. ? (2)假设当n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)2k-1 能被a2+a+1整除,则当n=k+1时,ak+2 +(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1 =a[ak+1 +(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1 -a(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+ a+1)(a+1)2k-1. ? 由归纳假设知,上式能被a2+a+1整除, 故当n=k+1时命题也成立. ? 由 (1) , (2) 知 , 对 一 切 n∈N* , 命 题 都 成 立.

? [点评] ①对于多项式A,B,如果A=BC, C也是多项式,那么A能被B整除.②在推 证n=k+1时,为了凑出归纳假设,采用 了“加零分项”技巧:a(a+1)2k-1-a(a+ 1)2k-1.另外,在推证n=k+1命题也成立时, 还可以用整除的定义,将归纳假设表示出 来,假设n=k时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2 +a+1整除,则ak+1+(a+1)2k-1=(a2+a +1)q(a)(q(a)为多项式),

? ? ? ? ?

所以(a+1)2k-1=(a2+a+1)q(a)-ak+1, 所以n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1 =ak+2+(a+1)2(a+1)2k-1 =ak+2+(a+1)2[(a2+a+1)q(a)-ak+1] =ak+2 +(a+1)2(a2 +a+1)q(a)-(a+1)2ak
+1

? =(a+1)2·(a2+a+1)q(a)-ak+1(a2+a+1), ? 显然能被a2+a+1整除,即n=k+1时,命 题亦成立.

? 求证:当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除. ? [证明] (1)显然,当n=1时,命题成立,即x1+ y1能被x+y整除. ? (2)假设当n=2k-1(k∈N*)时命题成立,即(x+y) 能整除x2k-1+y2k-1则当n=2k+1时, ? x2k+1+y2k+1=x2x2k-1+x2y2k-1-x2y2k-1+y2y2k-1 ? =x2(x2k-1+y2k-1)-(x+y)(x-y)y2k-1

? ? ? ?

∵x+y能整除(x2k-1+y2k-1) 又x+y能整除(x+y)(x-y)y2k-1 ∴(x+y)能整除(x2k+1+y2k+1) 由(1)、(2)可知当n为正奇数时,xn +yn 能 被x+y整除.

? [例4] 平面内有n个圆,其中每两个圆都 交于两点,且无三个及以上的圆交于一点, 求证:这n个圆将平面分成n2-n+2(n∈N*) 个区域. ? [分析] 本题关键是弄清第k+1个圆与前k 个圆的交点个数,以及这些交点又将第k +1个圆分成了多少段弧,每一段弧又是 怎样影响平面区域的划分的.

? [证明] (1)当n=1时,1个圆将平面分成2个区域, 命题显然成立. ? (2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即k个圆将平 面分成k2-k+2个区域.则当n=k+1时,第k+ 1个圆交前面k个圆于2k个点,这2k个点将第k+1 个圆分成2k段弧,每段弧将各自所经过的区域一 分为二,于是增加了2k个区域,所以这k+1个圆 将平面分成k2-k+2+2k个区域,即(k+1)2-(k +1)+2个区域,故当n=k+1时,命题也成立. ? 由(1)、(2)可知,对一切n∈N*,命题都成立.

? [点评] 用数学归纳法证明几何问题的关 键是“找项”,即几何元素从k个变成k+ 1个时,所证的几何量将增加多少,这需 用到几何知识或借助于几何中图形来分析, 在实在分析不出来的情况下,将n=k+1 和n=k分别代入所证的式子,然后作差, 即可求出增加量,然后只需稍加说明即可, 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大 技巧.

用数学归纳法证明:凸 n 边形的对角线的条数为:f(n)= 1 n(n-3) (n≥3). 2
[证明] 命题成立. 1 假设 n=k(k≥3)时,命题成立,即 f(k)= k(k-3), 2 则当 n=k+1 时, k 边形由原来的 k 个顶点变为 k 凸 +1 个顶点,对角线条数增加 k-1 条. ∵三角形没有对角线,∴n=3 时,f(3)=0,

1 1 ∴f(k+1)=f(k)+k-1=2k(k-3)+k-1=2(k+1)[(k+ 1)-3] ∴当 n=k+1 时命题成立,∴对任何 n∈N 且 n≥3, 1 凸 n 边形对角线条数为 f(n)= n(n-3). 2

? [例5] 是否存在常数a,b,c使等式1·(n2 -12)+2(n2 -22)+?+n(n2 -n2)=an4 + bn2 +c对一切正整数n成立?证明你的结 论. ? [分析] 先取n=1,2,3探求a,b,c的值, 然后用数学归纳法证明对一切的n∈N*,a, b,c所确定的等式都成立.

[解析]

分别用 n=1,2,3 代入解方程组 ? 1 ?a=4 ? 1 ?? ?b=-4 ? ?c=0

?a+b+c=0 ? ?16a+4b+c=3 ?81a+9b+c=18 ?

下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,由上可知等式成立; (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即 1(k2- 1 4 1 2 1 )+2(k -2 )+?+k(k -k )= k - k , 4 4
2 2 2 2 2

则当 n=k+1 时,左边=1· [(k+1)2-12]+2[(k+1)2- 22]+?+k[(k+1)2 -k2]+(k+1)[(k+1)2 -(k+1)2]=1· 2 (k -12)+2(k2 -22)+?+k(k2 -k2)+1· (2k+1)+2(2k+1) 1 4 ? 1? 2 +?+k(2k+1)= k +?-4?k +(2k+1)+2(2k+1)+?+ 4 ? ? k(2k+1) 1 1 4 =4(k+1) -4(k+1)2.(为什么?) ∴当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1),(2)得等式对一切的 n∈N*均成立.

? [点评] 本题是探索性命题,它通过观察— 归纳—猜想—证明这一完整的思路过程去探 索和发现问题,并证明所得结论的正确性, 这是非常重要的一种思维能力.

? 已 知 数 列 {an} 的 第 一 项 a1 = 5 且 Sn - 1 = an(n≥2,n∈N*), ? (1)求a2 ,a3 ,a4 ,并由此猜想an 的表达式; ? (2)用数学归纳法证明{an}的通项公式. ? [解析] (1)a2=S1=a1=5, ? a3=S2=a1+a2=10, ? a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20, ? 猜想an=5×2n-2(n≥2,n∈N*).

(2)证明:①当 n=2 时,a2=5×22 2=5,猜想成立. ②假设 n=k 时成立,即 ak=5×2k 2(k≥2,k∈N*), 当 n=k+1 时,由已知条件和假设有 ak+1=Sk=a1+a2+?+ak =5+5+10+?+5×2k-2 5(1-2k-1) =5+ 1-2 =5×2k-1.




故 n=k+1 时猜想也成立. 由①②可知,对 n≥2,n∈N*,有 an=5×2n 2. 所以数列{an}的通项公式为
?5,n=1, ? an=? - ?5×2n 2,n≥2. ?


? 一、选择题 ? 1.用数学归纳法证明1+2+?+(2n+1) =(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时, 左边所得的代数式是( ) ? A.1 B.1+3 ? C.1+2+3 D.1+2+3+4 ? [答案] C ? [解析] 当n=1时,2n+1=2×1+1=3, 所以左边为1+2+3.故应选C.

1 1 1 1 n 2. 用数学归纳法证明1·+2·+3·+?+ = 2 3 4 n(n+1) n+1 (n∈N*),从“n=k 到 n=k+1”时,等式左边需要增添的项 是 1 A. k(k+1) 1 1 B. + k(k+1) (k+1)(k+2) 1 C. k(k+2) 1 D. (k+1)(k+2) ( )

?

1 1 [解析] 当 n=k 时,等式左边= + +?+ 1· 2· 2 3 [答案] D

1 k(k+1) 1 1 1 当 n=k+1 时,等式左边=1·+2·+?+ + 2 3 k(k+1) 1 (k+1)(k+2) 1 两者比较需添加的项为 . (k+1)(k+2) 故应选 D.

1 1 1 127 3.用数学归纳法证明不等式 1+2+4+?+ n-1> 64 成 2 立时,起始值 n 至少应取为 A.7 C.9 B.8 D.10
?1? 1-?2?7 ? ?

(

)

? [答案] B
[解析] 27-1 127 26 = 64

1 1 1 ∵1+ 2 + 4 +?+ 7-1 = 2

1 1 =2- 26 = 1-2

1 1 1 127 而 1+2+4+?+ 8-1> 64 ,故应选 B. 2

二、填空题 4.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= (n+3)(n+4) (n∈N*),当 n=1 时,左边应为______. 2

? [答案] 1+2+3+4 ? [解析] 当n=1时,n+3=4, ? 所以等式左边为1+2+3+4.

? 5.用数学归纳法证明某个命题时,左边 为1·2·3·4+2·3·4·5+?+n(n+1)(n+ 2)(n+3),从n=k到n=k+1左边需增加的 代数式为________. ? [答案] (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) ? [ 解 析 ] 当 n = k 时 , 左 边 = 1·2·3·4 + 2·3·4·5+?+k(k+1)(k+2)(k+3). ? 当n=k+1时,左边=1·2·3·4+2·3·4·5 +?+k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k +3)(k+4),所以从n=k到n=k+1左式应 增加(k+1)(k+2)(k+3)(k+4).

三、解答题 6.用数学归纳法证明:12+32+52+?+(2n-1)2= 1 n(4n2-1). 3

[证明]

(1)当 n=1 时,左边=12=1,

1 右边= ×1×(4-1)=1,等式成立. 3 (2)假设当 n=k(k∈N*)时等式成立, 12+32+52+? 即 1 2 +(2k-1) = k(4k2-1). 3 则当 n=k+1 时,2+32+52+?+(2k-1)2+(2k+1)2 1 1 = k(4k2-1)+(2k+1)2 3

1 =3k(4k2-1)+4k2+4k+1 1 1 2 =3k[4(k+1) -1]-3k· 4(2k+1)+4k2+4k+1 1 1 2 =3k[4(k+1) -1]+3(12k2+12k+3-8k2-4k) 1 1 2 =3k[4(k+1) -1]+3[4(k+1)2-1] 1 =3(k+1)[4(k+1)2-1]. 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式都成立.



更多相关文章:
高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:2.3数学归纳法
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高中数学(人教A版,选修2-2)备选练习:2.3数学归纳法_数学_高中教育_教育专区...
高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.3 数学归纳法 课堂达标
搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高中数学(人教A版选修2-2)练习:2.3 数学归纳法 课堂达标_数学_高中教育_...
...年高中数学(人教a版,选修2-2)练习:2.3 数学归纳法
2014-2015学年高中数学(人教a版,选修2-2)练习:2.3 数学归纳法_数学_高中教育_教育专区。选修 2-2 第二章 2.3 一、选择题 1 1 1 1. 用数学归纳法证明...
2.3数学归纳法 学案(人教A版选修2-2)
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...2.3数学归纳法 学案(人教A版选修2-2)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。§...
2015高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2
2015高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。2015 高中数学 2.3 数学归纳法练习 新人教 A 版选修 2-2 一、选择题 1 1 ...
数学:2.3数学归纳法》教案(1)(新人教A版选修2-2)
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...数学:2.3数学归纳法》教案(1)(新人教A版选修2-2)_数学_高中教育_教育专区...
2015高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2
2015高中数学 2.3数学归纳法练习 新人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。2015 高中数学 2.3 数学归纳法练习 新人教 A 版选修 2-2 一、选择题 1 1 ...
...年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.3 数学归纳法
【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.3 数学归纳法_数学_高中教育_教育专区。【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.3 数学归纳法...
人教版高中数学选修2-2(教案)2.3数学归纳法(含2课时)
人教版高中数学选修2-2(教案)2.3数学归纳法(含2课时)_数学_高中教育_教育...对于数学问题,应寻求数学证明 课件展示:多媒体课件(游戏:多米诺骨牌) ,多米诺...
...2.3数学归纳法课后习题 新人教A版选修2-2
2015-2016学年高中数学 2.3数学归纳法课后习题 新人教A版选修2-2_数学_高中教育_教育专区。【优化设计】2015-2016 学年高中数学 2.3 数学归纳法课后习题 新...
更多相关标签:
人教版选修8unit1课件    人教版地理选修3课件    人教版化学选修3课件    数学归纳法课件    数学归纳法优质课课件    数学归纳法课件公开课    人教版物理选修3 5    人教版高中英语选修8    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图