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对数函数公式


指数函数和对数函数

y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 定义域为 R,底数是常数,指数是自变量。a 必须 a ? 0且a ? 1 。
图象特征 函数性质

(1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象都经过点(0,1); (3)

ax ? 0; (2)无论 a 取任何正数, x ? 0 时, y ? 1 ;
(1)x 取任何实数值时,都有

y ? 2 x ,y ? 10 x 在第一象限内的纵坐标都大于 1,

在第二象限内的纵坐标都小于 1,

? 1? y?? ? ? 2?

x

的图象正好相反;

? x ? 0,则a x ? 1 ? (3)当 a ? 1 时, ? ? x ? 0,则a x ? 1 ? ? x ? 0,则a x ? 1 ? 当 0 ? a ? 1 时, ? ? x ? 0,则a x ? 1 ?
(4)当 当

(4)

y ? 2 x ,y ? 10 x 的图象自左到右逐渐上升,
x
的图象逐渐下降。

a ? 1 时, y ? a x 是增函数,

? 1? y?? ? ? 2?
如果 数式。)由于

0 ? a ? 1 时, y ? a x 是减函数。

a b ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 b 就叫做以 a 为底的对数,记作 b ? log a N (a 是底数,N 是真数, log a N 是对

N ? a b ? 0 故 log a N 中 N 必须大于 0。


当 N 为零的负数时对数不存在

3 x ? 5 中的 x ,化为对数式 x ? log 3 5 即成。

对数恒等式:由 a

b

? N (1) b ? log a N (2) a log a N ? N 对数的性质:①负数和零没有对数; ②1 的对数是

零; ③底数的对数等于 1。对数的运算法则:

log a ? MN ? ? log a M ? log a N

M ? n ? log a M ? log a N N ?R? a a N N 1 log a n N ? log a N N ? R ? n x 3、对数函数:定义:指数函数 y ? a ( a ? 0 且a ? 1) 的反函数 y ? log a x x ? ( 0,?? ) 叫做对数函数。1、对三个对数 函数 y ? log 2 x,y ? log 1 x, y ? lg x 的图象的认识。: log a

? M,N ? R ? ? M,N ? R ? log ? N ? ? n log
?

?

?

?

?

2
图象特征 (1)图象都位于 y 轴右侧; (2)图象都过点(1,0); (3) (1)定义域:R ,值或:R; (2)
+

函数性质

x ? 1 时, y ? 0 。即 log a 1 ? 0 ;

y ? log 2 x , y ? lg x 当 x ? 1 时,图象在 x 轴上方,(3)当 a ? 1 时,若 x ? 1 ,则 y ? 0 ,若 0 ? x ? 1 ,则 当 0 ? x ? 0 时,图象在 x 轴下方, y ? log 1 x 与上述情况 y ? 0 ;
2
刚好相反; 当 则

0 ? a ? 1 时,若 x ? 0 ,则 y ? 0 ,若 0 ? x ? 1 时,
y ? 0;

(4)

y ? log 2 x,y ? lg x 从左向右图象是上升,而 y ? log 1 x 从左向右图象是下降。
2

(4)

a ? 1 时, y ? log a x 是增函数;

0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是减函数。

4、对数换底公式:

log b N ?

log a N log a b

Ln N ? log e N ( 其中e ? 2.71828… ) 称为N的自然对数 Lg N ? log 10 N 称为常数对数
由换底公式可得:

Ln N ?

lg N lg N ? ? 2.303 lg N lg e 0.4343
1 或 log a b· log b a ? 1 log b a
(4)n

由换底公式推出一些常用的结论: (1)

log a b ?

(2)

log a n b m ?

m log a b n

(3)

log a n b n ? log a b

logaam?

m n

指数方程的题型与解法: 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型 解法 取以 a 为底的对数 取以 a 为底的对数 取同底的对数化为 换元令

a f ? x? ? b

f ? x ? ? log a b f ? x? ? ? ? x?

a f ( x) ? a ? ( x)
a f ? x ? ? b? ? x ? F ax ? 0

f ? x ? · lg a ? ? ? x ? · lg b

? ?

t ? a x 转化为 t 的代数方程

对数方程的题型与解法: 名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 解法 对数式转化为指数式 转化为 换元令

log a f ? x ? ? b log a f ? x ? ? log a ? ? x ? F(log a x ) ? 0

f ? x ? ? ? ? x ? (必须验根)

f ? x? ? a b

t ? log a x 转化为代数方程


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