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历年高考数学真题(全国卷整理版)


参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么

球的表面积 公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相 互独立,那么

S ? 4? R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V ?

3 ? R3 4

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 0,1, 2,…n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

其中 R 表示球的半径

2012 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题 1、 复数 A 2+I

?1 ? 3i = 1? i
C 1+2i D 1- 2i

B 2-I

2、已知集合 A={1.3. A 0或 3

m },B={1,m} ,A ? B=A, 则 m=
C 1或 3 D 1或3

B 0或3

3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为 x=-4 ,则该椭圆的方程为 A

x2 y2 + =1 16 12 x2 y2 + =1 8 4

B

x2 y2 + =1 12 8 x2 y2 + =1 12 4
E 为 CC1 的中点,则直线 AC1

C

D

4 已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中 ,AB=2,CC1= 2 2 与平面 BED 的距离为 A 2 B

3

C

2

D

1

(5)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列 (A)

的前 100 项和为

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100
a·b=0,|a|=1,|b|=2,则 (D)

(6)△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 (A) (B) (C)

3 (7)已知α 为第二象限角,sinα +sinβ = 3 ,则 cos2α =

(A)

5 3

5 (B) 9 -

(C)

5 9

5 (D) 3

(8)已知 F1、F2 为双曲线 C:x?-y?=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=|2PF2|,则 cos ∠F1PF2=

1 (A) 4

3 (B) 5

3 (C) 4
1

4 (D) 5

2 (9)已知 x=lnπ ,y=log52, z=e ,则

(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x (10) 已知函数 y=x?-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c= (A)-2 或 2 (B)-9 或 3 (C)-1 或 1 (D)-3 或 1 (11)将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同, 则不同的排列方法共有 (A)12 种(B)18 种(C)24 种(D)36 种

7 (12)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF= 3 。动点
P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动, 每当碰到正方形的方向的边时反弹, 反弹时反射等于入 射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A)16(B)14(C)12(D)10 二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效)

(13)若 x,y 满足约束条件 (14)当函数

则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时,x=___________。

(15)若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 的系数为 _________。 (16)三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17) (本小题满分 10 分) (注意:在试卷上作答无效) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求 c。

(18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 2 ,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BED; (Ⅱ)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角 的大小。

19. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续 发球 2 次,依次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发 球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲 先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期望。

(20)设函数 f(x)=ax+cosx,x∈[0,π ]。 (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 f(x)≤1+sinx,求 a 的取值范围。

21.(本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效)

y?
已知抛物线 C:y=(x+1)2 与圆 M: (x-1)2+(

1 2 )2=r2(r>0)有一个公共点,且在 A 处两曲

线的切线为同一直线 l. (Ⅰ)求 r; (Ⅱ)设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m、n 的交点为 D,求 D 到 l 的距 离。

22(本小题满分 12 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ........ 函数 f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两点 P(4,5) 、Qn(xn,f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标。 (Ⅰ)证明:2 ? xn<xn+1<3; (Ⅱ)求数列{xn}的通项公式。

2011 年高考数学(全国卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的。 1.复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数 y ? 2 x ? x ? 0? 的反函数为

x2 (A) y ? ? x ? R? 4
(C) y ? 4x
2

x2 (B) y ? ? x ? 0? 4
(D) y ? 4x
2

? x ? R?

? x ? 0?
(D) a 3 ? b3

3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a ? b ? 1 (B)

a ? b ? 1 (C) a 2 ? b 2

4.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2, Sk ? 2 ? Sk ? 24 ,则 k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? ,将 y ? f ?x ? 的图像向右平移 像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 (A)

? 个单位长度后,所得的图 3

1 3

(B)

3

(C) 6

(D) 9

6. 已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ?? , AC ? l , C 为垂足, B ? ? , BD ? l , D 为垂足,若

AB ? 2, AC ? BD ? 1,则 D 到平面 ABC 的距离等于

(A)

2 2

(B)

3 3

(C)

6 3

(D) 1

7.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 为朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A) 4 种 (B) 10 种 (C) 18 种 (D) 20 种 8.曲线 y ? e (A)
2x

? 1在点 ? 0, 2 ? 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为
1 2
(C)

1 3

(B)

2 3

(D) 1

9.设 f ? x ? 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? ,则 f ? ? ? ? (A) ?

? 5? ? 2?

1 1 (B) ? 2 4

(C)

1 4

(D)

1 2

10.已知抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点为 F, 直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A、 B 两点, 则 cos ?AFB ? (A)

4 5

(B)

3 5

(C)

?

3 5

(D) ?

4 5

11.已知平面 ? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60? 二面角的平面 ? 截该球面得圆 N,脱 该球面的半径为 4.圆 M 的面积为 4? ,则圆 N 的面积为 (A) 7? (B) 9? (C) 11? (D) 13?

b?? 12. 设向量 a, b, c 满足 a ? b ? 1, a ?
(A) 2 (B)

? ??

?

?

? ?

? 1 ? ? ? ? , a ? c, b ? c ? 60? ,则 c 的最大值等于 2
1

3

(C)

2

(D)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. 1 ? x

?

?

20

的二项展开式中, x 的系数与 x 的系数之差为 .

9

.

14. 已知 ? ? ?

5 ?? ? ,则 tan 2? ? , ? ? , sin ? ? 5 ?2 ?

15. 已知 F1、F2 分别为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、 右焦点, 点 A?C , 点 M 的坐标为 ? 2, 0 ? , 9 27
.

AM 为 ?F 1 AF2 的角平分线,则 AF2 ?

16. 已知点 E 、 F 分别在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 BB 1、CC1 上,且 B 1E ? 2EB ,

CF ? 2FC1 ,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c 。已知 A ? C ? 90? , a ? c ? 2b ,求 C

18.(本小题满分 12 分) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种 保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (Ⅰ)求该地 1 为车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 100 为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 中, AB / /CD, BC ? CD ,侧面 SAB 为等边三角形, AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明: SD ? 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。

20.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,

1 1 ? ?1 1 ? an ?1 1 ? an

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an?1 n

,记 S n ?

?b
k ?1

n

k

,证明: Sn ? 1 。

21.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点, 过 F 且斜率为 ? 2 2

的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一个圆上。

??? ? ??? ? ??? ?

22.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)设函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

2x ,证明:当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续 抽取 20 次,设抽到的 20 个号码互不相同的概率为 p ,证明: p ? ?

1 ?9? ? ? 2 e ? 10 ?

19

2010 年普通高等学校招生全国统一考试
一.选择题 (1)复数 (A) i

3 ? 2i ? 2 ? 3i
(B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100 ? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

? y ? 1, ? (3)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(4) 已知各项均为正数的等比数列{ an },a1a2 a3 =5,a7 a8a9 =10, 则 aaa 4 5 6 = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一 门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

(7)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为 A
2 3

B

3 3

C

2 3
? 1 2

D
,则

6 3

(8)设 a= log 3 2,b=In2,c= 5 A a<b<c Bb<c<a

C c<a<b
2 2

D c<b<a
0

( 9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F1 p F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效 )
(13)不等式 2x2 ? 1 ? x ? 1 的解集是 (14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ?
2

.

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

. .

(15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是

(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为

uu r

uur

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. b 满足 a ? b ? a cot A ? b cot B , B 及其对边 a , (17)已知 VABC 的内角 A , 求内角 C .

(18) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评 审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家 的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不 予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率 为 0.3.各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC .

(Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

(20 )(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无 ........

效 ) .
已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; ( Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ? ??? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

2009 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题
(1)设集合 A={4,5,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U=A ? B,则集合 [u (A ? B)中的

元素共有 (A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个 (2)已知

Z =2+I,则复数 z= 1+i
(C)3+I (D)3-i

(A)-1+3i (B)1-3i (3) 不等式

X ?1 <1 的解集为 X ?1

(A) {x 0? x?1?

? ? x x? 1?

(B) x 0? x ?1? (D) x x ? 0?

?

(C) ?x ?1? x?0?

?

(4)设双曲线 率等于 (A) 3

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心 a 2 b2

(B)2 (C) 5

(D) 6

(5) 甲组有 5 名同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种 (6)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 ? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最小值为 (A) ?2 (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2

ABC 上的射影为 BC (7)已知三棱柱 ABC ? A 1 在底面 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等, A
的中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

(A)

3 5 (B ) 4 4

(C)

7 4

(D)

3 4

(8)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? (A)

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为 ? 3 ?

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

(9) 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

(10)已知二面角α -l-β 为 600 ,动点 P、Q 分别在面α 、β 内,P 到β 的距离为 3 ,Q

到α 的距离为 2 3 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为 (A) 2 (B)2 (C) 2 3 (D)4

(11)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则 (A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x) ? f ( x ? 2) (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是奇函数

x2 ? y 2 ? 1的又焦点为 F,右准线为 L,点 A ? L ,线段 AF 交 C 与点 B。 2 ??? ? ??? ? ??? ? 若 FA ? 3FB ,则 AF =
(12) 已知椭圆 C: (A) 2 (B)2 (C)

3

(D)3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... (13) ( x ? y)10 的展开式中, x 7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于
(14)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n .若 s9 =72,则 a2 ? a4 ? a9 = . .
?

BAC = 120 , (15)直三棱柱 ABC - A1B1C1 各顶点都在同一球面上.若 AB ? AC ? AA 1 ? 2, ∠
则此球的表面积等于 (16)若 . .

?
4

< X<

?
2

,则函数 y ? tan 2x tan3 x 的最大值为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 在 ? ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且

sin A cosC ? 3 cos A sin C ,求 b.
18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,SD⊥底面 ABCD,AD= 2 ,DC=SD=2.点 M 在侧棱 SC 上,∠ABM=60 . (Ⅰ)证明:M 是侧棱 SC 的中点;
0

(Ⅱ)求二面角 S—AM—B 的大小。

(19)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)

.........

甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 的分布列及数学期望。

(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........

在数列 ?an

? 中,
a

n+1 ? 1? a1= 1’ an+1=?1+ ? a’ + n . 2 ? n?

? ? ? 设 bn= nn ,求数列 ?bn ? 的通项公式;

? ?? ? 求数列 ?an ? 的前 n 项和 sn .

21. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图,已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r>0) 相 交于 A、B、C、D 四个点。 (I)求 r 的取值范围: (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线

A、B、C、D 的交点 p 的坐标。

22. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3cx 有两个极值点 x1,x2 ???1 ,0?,且x2 ??1,2?.
3 2

(Ⅰ)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b, c)和区域;

(Ⅱ)证明: ?10≤f(x2 )≤-

1 2

2008 年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题 1.函数 y ? A. x | x ≥ 0

x( x ?1) ? x 的定义域为(



?

?

B. x | x ≥ 1

?

?

C. x | x ≥ 1 ? ?0?

?

?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

?

2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

3.在 △ ABC 中, AB ? c , AC ? b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD ? ( A.

??? ?

??? ?

??? ?

????

????



2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3


D. b ?

1 3

2 c 3

4.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ? ( A.2 B.1 C.0 D. ? 1

5.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( A.138 B.135 C.95 D.23



6.若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? ln x ? 1的图像关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? ( A. e )
2 x ?1

B. e

2x

C. e

2 x ?1

D. e 2 x ? 2 )

7.设曲线 y ? A.2

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 B. C. ? D. ? 2 2 2

8.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3?
B.向右平移 D.向右平移



5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12

5π 个长度单位 6 f ( x) ? f (? x) ? 0 的解 x

9.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 集为( ) B. (??, ? 1) ? (0, 1) D. (?1 , 0) ? (0, 1)

A. (?1 , 0) ? (1, ? ?) C. (??, ? 1) ? (1, ? ?)

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, ) sin ? ) ,则( a b 1 1 A. a 2 ? b2 ≤1 B. a 2 ? b2 ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 a b
10.若直线

D.

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

ABC 内的射影为 11 .已知三棱柱 ABC ? A 1 在底面 1 B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等, A △ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(
A. )

1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

12.如图,一环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里 种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A.96 B.84 C.60 D.48 A D

第Ⅱ卷

B

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

? x ? y ≥ 0, ? 13.13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
2



14.已知抛物线 y ? ax ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点 的三角形面积为 .

15.在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ?

椭圆的离心率 e ? . 16 .等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ,二面角 C ? AB ? D 的余弦值为

7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该 18

3 , M ,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM ,AN 所成角的余弦值等于 3



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 18. (本小题满分 12 分)

3 c. 5

BC ? 2 , CD ? 2 , 四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE ,

AB ? AC .

A

B C D

E

(Ⅰ)证明: AD ? CE ; (Ⅱ)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45? ,求二面角 C ? AD ? E 的大小.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数,求 a 的取值范围.

? 2 ? 3

1? 3?

20. (本小题满分 12 分) 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病, 需要通过化验血液来确定患病的动物. 血液化验结果 呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任 取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望.

21. (本小题满分 12 分) 双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

(Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函数; (Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

2007 年全国普通高考全国卷一(理)
一、选择题 1. ? 是第四象限角, tan ? ? ? A.

1 5

5 ,则 sin ? ? 12 1 5 B. ? C. 5 13

D. ?

5 13

2.设 a 是实数,且 A.

a 1? i ? 是实数,则 a ? 1? i 2
B.1 C.

1 2

3 2

D.2

3.已知向量 a ? (?5,6) , b ? (6,5) ,则 a 与 b A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向

?

?

?

?

4.已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 A. 4 12

x2 y 2 ? ?1 B. 12 4

x2 y 2 ? ?1 C. 10 6

x2 y 2 ? ?1 D. 6 10

5.设 a, b ? R ,集合 {1, a ? b, a} ? {0, A.1 B. ? 1

b , b} ,则 b ? a ? a
C.2 D. ? 2

6.下面给出的四个点中,到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 平面区域内的点是 A. (1,1) B. (?1,1)

? x ? y ?1 ? 0 2 ,且位于 ? 表示的 2 ?x ? y ?1 ? 0
D. (1, ?1)
D1 A1 B1

C. (?1, ?1)

7 .如图,正棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA 1 ? 2 AB ,则 异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为

C1

1 5 3 C. 5
A.

2 5 4 D. 5
B.

D A

C B

8.设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a] 上的最大值 与最小值之差为 A. 2

1 ,则 a ? 2
B.2 C. 2 2 D.4

9. f ( x ) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x ) , g ( x) 均为偶函 数”是“ h( x) 为偶函数”的 A.充要条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件

2 n 10. ( x ? ) 的展开式中,常数项为 15,则 n=

1 x

A.3

B.4

C.5

D.6

11.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方 的部分相交于点 A, AK ? l ,垂足为 K,则△AKF 的面积是 A.4 B. 3 3 C. 4 3 D.8

2 2 12.函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos

A. (

? 2?
3 , 3

x 的一个单调增区间是 2

)

B. (

? ? , ) 6 2

C. (0,

?
3

)

D. ( ?

? ?

, ) 6 6

二、填空题 13. 从班委会 5 名成员中选出 3 名, 分别担任班级学习委员、 文娱委员与体育委员, 其中甲、 乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_____种。 (用数字作答) 14 . 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 函 数 y ? log3 x

( x ? 0) 的 图 象 关 于 直 线 y ? x 对 称 , 则

f ( x) ? ____________。
15.等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则 {an } 的公比为 ______。 16. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上, 已知正三棱柱的底面边 长为 2,则该三角形的斜边长为__________。 三、解答题 17.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围。

18.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列为

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元,? 表示经销一件该商品的利润。 (Ⅰ) 求事件 A: “购买该商品的 3 位顾客中, 至少有 1 位采用 1 期付款” 的概率 P ( A) ; (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E? 。 19 .四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD ,已知

?ABC ? 45? , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 。

S

(Ⅰ)证明: SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的 大小。

C D A

B

20.设函数 f ( x) ? e x ? e? x (Ⅰ)证明: f ( x ) 的导数 f '( x) ? 2 ; (Ⅱ)若对所有 x ? 0 都有 f ( x) ? ax ,求 a 的取值范围。

21.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 B、D 两点,过 3 2

F2 的直线交椭圆于 A、C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P
x0 2 y0 2 ? ? 1; (Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,证明: 3 2
(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值。

22.已知数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1, 2,3,? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 中, b1 ? 2 , bn ?1 ?

3bn ? 4 , n ? 1, 2,3,? ,证明: 2bn ? 3

2 ? bn ? a4n?3 , n ? 1, 2,3,?


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