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2016高考数学总复习课时作业堂堂清排列组合二项式定理10-3



高三总复习

数学 (大纲版)

第三节

二项式定理

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考纲要求

掌握二项式定理和二项展开式的性质, 并能用它们计算和证明一些简单的问 题.

考试热点

1.运用二项式定理的通项公式求指定项 或与系数有关的问题; 2.赋值法、转化与化归思想等在二项 展开式中的应用问题.

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注意:(1)要分清展开式中某一项的系数和该项的二项 式系数的区别:二项式系数是指展开式中 二项展开式的通项是第r+1项,而不是第r项. (r=0,1,2?n); 项的系数是指展开式中对应项内某一字母而言的系数.(2)

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注意:当n为偶数时,二项式系数中,以 当n为奇数时,二项式系数中以 最大.

最大; (两者相等)

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注意:二项式定理适用于解决以下问题: (1)近似计算问题; (2)整除性问题或余数问题;

(3)求(证)有关组合数的恒等式;
(4)证明有关不等式.

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1.在(x+ 2)n 的展开式中,第三项的系数是 6, 则展开式的第二项是 ( ) A.3 2x2 B.4 2x2 C.6x D.8 2x

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2 n-2 解析:因为 T3=Cn · x ( 2)2 2 所以 C2 · ( 2) =6,n=3. n

因此,展开式中的第二项为:
1 2 T2=C3 x· ( 2)1=3 2x2.故选 A.

答案:A

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2.要使 A.14 C.13或14 答案:C

有最大值,则m的值是 B.13 D.15

(

)

解析:由二项式系数的性质可知应选C.

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3.若 f(m)= A.2 C.1

log2f(3) ,则 等于 log2f(1) 1 B.2 D.3

(

)

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答案:A

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5 4 3 6 1 6 3 4 4.设 A=37+C2 3 + C 3 + C 3 , B = C 3 + C 7 7 7 7 73 2 +C5 3 7 +1,则 A-B=________.

解析:A-B=(3-1)7=27=128. 答案:128

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5.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7,那么a1+ a2+a3+?+a7=________. 解析:令x=1,则a0+a1+a2+?+a7=-1, 又令x=0,则得a0=1, 所以a1+a2+a3+?+a7=-1-1=-2. 答案:-2

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求二项展开式中的特定项 [例1] 已知 成等差数列. (1)求展开式里所有x的有理项; (2)求展开式里系数最大的项. 的展开式前三项中的x的系数

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3r (1)依题意 4- 4 必为整数, 从而 r 为 4 的倍数, 而 0≤r≤8,故 r=0,4,8,故 x 的有理项为 T1=x4, 35 1 T5= 8 x,T9=256x2.

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求(1+x+

)10的展开式中的常数项.

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1 10 1 10 解:(1+x+x2) =[(1+x)+x2] 10 1 91 2 81 3 =C0 (1 + x ) + C (1 + x ) + C (1 + x ) 2 4 + C 10 (1 10 10 10 x x 71 4 61 +x) x6+C10(1+x) x8+? 4 61 从第五项 C10(1+x) x8起,后面各项不再出现常数 0 2 4 项, 前四项的常数项分别是 C0 C1 C2 10×C10, 10×C9, 10×C8, 6 C3 10×C7. 故原三项展开式中常数项为 0 1 2 2 4 3 6 C0 C + C C + C C + C C 10 10 10 9 10 8 10 7=4351.

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求展开式的各项系数和 [例2] (2009·江西高考)(1+ax+by)n展开式中不含x的 ( ) 项的系数绝对值的和为 243 ,不含 y 的项的系数绝对值的和 为32,则a,b,n的值可能为 A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-2,b=-1,n=6

C.a=-1,b=2,n=6
D.a=1,b=2,n=5 [ 分析 ] 根据展开式的特点,通过特殊值法找到符合

要求的各项系数的绝对值的和,通过方程组解决.

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[解析]

只要令x=0,y=1,即得到(1+ax+by)n展开

式中不含x的项的系数的和(1+b)n,令x=1,y=0,即得到 (1+ax+by)n展开式中不含y的项的系数的和(1+a)n.如果a, b是正值,这些系数的和也就是系数绝对值的和,如果a,b 有负值,相应地,分别令 y =- 1 , x =- 1 等,此时的和式 为 (1 - b)n , (1 - a)n ,由此可知符合要求的各项系数的绝对

值的和为(1+|b|)n,(1+|a|)n.
根据题意(1+|b|)n=243=35,(1+|a|n)=32=25,因此n =5,|a|=1,|b|=2,故选D.

[答案] D

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[ 拓展提升 ]

本题表面上看起来是一个三项式问题,

而实质是以这个三项式为基础设计了两个二项式问题,这 两个二项式是 (1 + by)n , (1 + ax)n ,题目设计的已知条件就 是这两个展开式的各项系数的绝对值的和分别为243,32,最 后落脚于方程思想解题.本题容易出现找错各项系数绝对 值的和的问题,对本题而言就是把符合要求的各项系数的

绝对值的和求为 (1 + a)n , (1 + b)n 也不影响最后结果,但解
答问题是不严谨的.

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若(1+x)6(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+?+a11x11,求: (1)a1+a2+a3+?+a11; (2)a0+a2+a4+?+a10.

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解:(1)(1+x)6(1-2x)5 =a0+a1x+a2x2+?+a11x11. 令x=0,则a0=1. 令x=1,得a0+a1+a2+?+a11=-26① ∴a1+a2+a3+?+a11=-26-1=-65. (2)令x=-1得

a0-a1+a2-a3+?-a11=0②
①+②,得a0+a2+?+a10= =-32.

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[分析] (1)可利用“赋值法”求各项系数的和; (2)可利用展开式中的通项公式确定r的值; (3)可利用通项公式求出r的范围,再确定项.

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4 由题意知,第五项系数为 C4 · ( - 2) ,第三项的 n 4 4 C · ( - 2) 10 n 2 2 2 系数为 Cn· (-2) ,则有 2 = ,化简得 n -5n- Cn· (-2)2 1 24=0, 解得 n=8 或 n=-3(舍去). (1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1. 2 r r 8-r r r 8-r (2)通项公式 Tr+1=C8· ( x) · (-x2) =C8· (-2) · x 2 -2r, 8-r 3 3 令 2 -2r=2,则 r=1,故展开式中含 x2的项为 3 T2=-16x2.

[解]

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(3)设展开式中的第 r 项,第 r+1 项,第 r+2 项 -1 r-1 r r r+1 r+1 的系数绝对值分别为 Cr · 2 , C · 2 , C 2 , 8 8 8 · 若第 r+1 项的系数绝对值最大,则
? ? ? ? ?

-1 r r r+1 r+1 Cr 2r-1≤C8 · 2 ?C8 · 2 ≤Cr 2r , 解得 5≤r≤6. 8 · 8·

又 T6 的系数为负, - ∴系数最大的项为 T7=1792x 11. 由 n=8 知第 5 项二项式系数最大, - 此时 T5=1120x 6.

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已知

的展开式中,某一项的系数是它前一

项系数的2倍,而等于它后一项的系数的. (1)求该展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项

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二项式定理的其他应用 [ 例 4] (n∈N*); (2009·江西高考)(2)若 则x,n的值可能为 ( 能被7整除, ) (1) 求证: 1 + 2 + 22 +?+ 25n - 1 能被 31 整除

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A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 [分析] (1)先求和,再将25n变为32n. (2)逆用二项式定理,结合选项进行分析解决.

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5n 2 -1 2 5n-1 (1)[证明] 1+2+2 +?+2 = 2-1

=25n-1=32n-1=(31+1)n-1 n 1 n-1 n-1 n =C0 × 31 + C 31 + ? + C × 31 + C n n n n -1 -1 n-1 n-2 =31(C0 +C 1 +?+Cn n×31 n×31 n ), 显然上式括号内为整数,∴原式能被 31 整除.

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2 2 n n n (2)[解析] C1 x + C x + ? + C x = (1 + x ) -1, 这 n n n 个结果要是被 7 整除, 最简单的可能就是 x=5, 此时 (1+x)n=6n=(7-1)n,只要 n 再是偶数即可,结合选 项可知应选 C.

[答案] C

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[ 拓展提升 ]

本题主要考查二项式定理的应用,即整

除问题,考查化简、变形及分析问题的能力. (1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理 的变形构造二项式,应注意:要证明一个式子能被另一个 式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项 均能被另一个式子整除即可.

(2) 求 余 数 问 题 时 , 应 明 确 被 除 式 f(x) 与 除 式
g(x)(g(x)≠0),商式q(x)与余式的关系及余式的范围.

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求证:3n>(n+2)·2n-1(n∈N*,且n>2).
证明:∵n∈N*,且n>2. ∴3n=(2+1)n展开至少有四项. (2+1)n=2n+ ≥2n+n·2n-1+2n+1 >2n+n·2n-1 =(n+2)·2n-1, ∴3n>(n+2)·2n-1.

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1.二项展开式的通项及其应用
通项:Tr+1= 应用: (1)求指定项; (2) 求特定项:常数项 ( 字母的次数为 0) ,有理项 ( 字母 的次数为整数)等; (3)特定项的系数. (r=0,1,2,?,n).

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注意:(1)通项公式的书写要准确,特别要注意符号问 题,根式问题的计算要细心认真; (2)要将通项中的系数和字母分离出来,以便解决有关 问题. 对于二项式定理,不仅要会正用,而且要从整体把握, 灵活地应用,对于三项式问题可转化为二项式定理问题去

处理.

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2.赋值法 求二项展开式系数和或部分系数和时,通常利用赋值 法,若要求奇数项的系数之和,或偶数项的系数之和,可 分别令x=-1,x=1,两等式相加或相减即可求得结果. 3.二项式定理的应用 (1)用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有

关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”、“消
去法”配合整除的有关知识解决. (2)用二项展开式证明不等式,根据证明的目标展开有

限项或进行不等式的放缩.

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