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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
三角函数

第一章 三角函数

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第一章
1.4 三角函数的图象与性质

第一章 三角函数

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第一章
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

第一章 三角函数

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第一章

1.4 1.4.1

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课前自主预习

第一章

1.4 1.4.1

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温故知新 1.sin(-1920° )等于( 1 A. 2 1 B.- 2 ) 3 C. 2 3 D.- 2

[答案]

D

第一章

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2.化简sin(-α)cos(2π+α)tan(2π+α)=________.

[答案]

-sin2α

第一章

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1 1 π 1 π 2π - 3. 已知 sin(6-θ)=3, cos(3+θ)= 3 , 3 -θ)= 3 , 则 cos( 1 5π sin( +θ)= 3 . 6

第一章

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π 2 π 4.求sin ( -x)+sin ( +x)的值. 3 6
2

[解析]
2

π x x π 原式=sin2[2-(6+x)]+sin2(6+x)=cos2(6+x)+

π sin (6+x)=1.

第一章

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5.请作出下列各角的正弦线与余弦线. π 5π 25π (1) ;(2) ;(3) . 3 6 3

第一章

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[解析]

(1)

正弦线MP,余弦线OM

(2)

正弦线MP,余弦线OM

(3)

正弦线MP,余弦线OM.
第一章 1.4 1.4.1

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新课引入

第一章

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当我们检查心脏做心电图时,医生会用仪器打印出一条 曲线图,根据曲线图形就可以判断心脏是否有问题.在一摇 摆的沙漏下面放一张均匀行进的纸,沙子落在纸上形成一条 曲线,这些都给我们以正弦曲线和余弦曲线的形象.这样我 们就有必要研究正弦函数和余弦函数的图象,从图象上能直 观形象地得出正弦函数、余弦函数的一些重要性质,如最大 值、最小值、单调区间、对称性等,同时研究函数图象的过 程也为培养学生化归的数学思想有促进作用.

第一章

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自主预习 认真阅读教材P30-33回答下列问题. 1.正、余弦函数图象的画法 (1)几何法:利用正弦线画函数y=sinx,x∈[0,2π]的图 象,是把角x的 正弦线 向右平移,使它的起点与x轴上的点x重 合,再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到 函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象. y=sinx,x∈[0,2π]的图象向 左、 右 平行移动(每次2π个单 位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.
第一章 1.4 1.4.1

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(2)五点法:用“五点法”作函数y=sinx,x∈[0,2π]的图 象的步骤是: ①列表: x y=sinx 0 0 π 2 1 π 0 3π 2 -1 2π 0

第一章

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π ( ,1) ②描点:在平面直角坐标系中描出五点:(0,0), 2 ,

3π (π,0),( ,-1),(2π,0). 2 ③用 光滑的曲线 顺次连接这五个点,得正弦曲线在[0,2π] 上的简图.

第一章

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[小结]①“五点法”只是画出y=sinx和y=cosx在[0,2π]上 的图象. ②若x∈R,可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的图 象,然后通过左、右平移可得到y=sinx和y=cosx的图象.

第一章

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用五点法画y=sinx,x∈[0,2π]的图象时,下列哪个点不 是关键点( ) π B.( ,1) 2 D.(2π,0)

π 1 A.( , ) 6 2 C.(π,0)
[答案] A

第一章

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用五点法作函数 y=2sin2x 的图象时,首先应描出的五点 横坐标可以是( ) π π 3π B.0,4,2, 4 ,π π π π 2π D.0, , , , 6 3 2 3

π 3π A.0,2,π, 2 ,2π C.0,π,2π,3π,4π
[答案]
[解析]

B
π 3π π π 3π 令 2x=0,2,π, 2 ,2π,解得 x=0,4,2, 4 ,π.

第一章

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2.正弦曲线、余弦曲线 (1)定义:正弦函数y=sinx,x∈R和余弦函数y=cosx,x ∈R的图象分别叫做 正弦 曲线和余弦 曲线. (2)图象:如图所示.

第一章

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[小结]将y=sinx,x∈R的图象向左平移

π 2

个单位得y=

cosx,x∈R的图象,因此y=sinx,x∈R与y=cosx,x∈R的图 象形状相同,只是在直角坐标系中的位置不同.

第一章

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下列各点中,不在y=sinx图象上的是( A.(0,0) 3π C.( ,-1) 2 π B.( ,1) 2 D.(π,1)

)

[答案]

D

第一章

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x轴与函数y=cosx的图象的交点个数是( A.0 C.2
[答案] D

)

B.1 D.无数个

第一章

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课堂典例讲练

第一章

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思路方法技巧
命题方向 1 “五点法”画函数简图
用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简 图. (1)y=2-sinx;(2)y=cosx-1. [分析] 在区间[0,2π]上按五个关键点列表、描点,并用光

滑的曲线将这些点连接起来.

第一章

1.4 1.4.1

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[解析] x

(1)按五个关键点列表: 0 0 2 π 2 1 1 π 0 2 3π 2 -1 3 2π 0 2

sinx 2-sinx

第一章

1.4 1.4.1

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描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1)).

第一章

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(2)按五个关键点列表: x cosx cosx-1 0 1 0 π 2 0 -1 π -1 -2 3π 2 0 -1 2π 1 0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(2)).

第一章

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用“五点法”作出函数 y=3+2cosx 在一个周期内的图 象.

第一章

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[解析]

先用“五点法”原理作出函数 y=cosx 的图象, 如

图虚线所示,然后横坐标不变纵坐标伸长到原来的 2 倍,再把 伸长后的图象向上平移 3 个单位长度就得到函数的图象. x cosx 3+2cosx 0 1 5 π 2 0 3 π -1 1 3π 2 0 3 2π 1 5

第一章

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第一章

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命题方向 2

三角函数的图象变换
利用图象变换作出下列函数的简图:

(1)y=1-cosx,x∈[0,2π]. (2)y=|sinx|,x∈[0,4π].

第一章

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[解析]

(1)首先用五点法作出函数y=cosx,x∈[0,2π]的图

象,再作出y=cosx关于x轴对称的图象,最后将图象向上平移 1个单位.如图(1)所示.

第一章

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(2)首先用五点法作出函数y=sinx,x∈[0,4π]的图象,再 将x轴下方的部分对称到x轴的上方.如图(2)所示.

第一章

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[点评]

函数的图象变换除了平移变换外,还有对称变

换.如本例.一般地,函数f(x)的图象与f(-x)的图象关于y轴 对称;-f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称;-f(-x)的图象 与f(x)的图象关于原点对称;f(|x|)的图象关于y轴对称.

第一章

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利用图象变换作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的简 图.

第一章

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[解析]

∵y=sin|x|=

?-sinx -2π≤x<0 ? ? ?sinx 0≤x≤2π ?

为偶函数,

∴首先用五点法作出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象;x∈[- 2π,0]的图象,只需将x∈[0,2π]的图象作出关于y轴对称的图 象.如图所示.

第一章

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探索延拓创新
命题方向 3 正、余弦函数图象的简单应用
画出正弦函数 y=sinx(x∈R)的简图,并根据图象 1 写出 y≥2时 x 的集合.

第一章

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[解析]

用“五点法”作出 y=sinx 的简图.

1 过(0,2)点作 x 轴的平行线, π 1 5π 从图象可看出它在[0,2π]区间与正弦曲线交于(6,2),( 6 , 1 2)点,

第一章

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1 π 5π 在[0,2π]区间内,y≥ 时 x 的集合为{x| ≤x≤ }, 2 6 6 1 π 5π 当 x∈R 时, y≥2, x 的集合为{x|6+2kπ≤x≤ 6 +2kπ, 若 则 k∈Z}.

第一章

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规律总结:利用三角函数的图象或三角函数线,可解简 单的三角不等式,但需注意诱导公式一的应用,确保解的完整 性.

第一章

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函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且 仅有两个不同的交点,求k的取值范围.

第一章

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[解析]

?3sinx,0≤x≤π, ? f(x)= ? ?-sinx,π<x≤2π ?

的图象如图所示,故由

图象知1<k<3.

第一章

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第一章

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